双曲线中焦点三角形的探索0001

1、双 曲 线 中 焦 点角 形 的 探 索/J、基本条件：1:该三角形一边长为焦距2c,另两边的差的约对值为定值 2a。2:该二角形中由余弦定理得cos F1PF2IP F1I2 IP F2I2 IF1F2I22IPF1 I IPF2I结合定义，有得在 F1PF2中，由余弦定理得:2ri22212 cos(2c)2.2配方得：(ri r2)2r1r22 r1 r2 cos4c2.2 2 即 4a2r1r2 (1 cos ) 4c .由任意三角形的面积公式得:S f.pf,-rir2 sinb2 sin21 cosb22sin cos2 22si n2 2b2cot2cot 一特别地，当 =90时

2、， 2 = 1,所以S眄PF2b22y同理可证，在双曲线2 x2b21 ( a >0, b >0)中，公式仍然成立.例4 若P是双曲线2 X642y361上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF2 60求 FiPF2的面积.X2解法一：在双曲线642y36中，a 8,b 6,c 10,而 60 .记 | P F1 | r1,| PF2| d.点P在双曲线上,由双曲线定义得:在 F1PF2中，由余弦定理得:2a2116.2r22r1r2 cos(2c)2.2配方，得：（r1 r2） r1r2 400400 AD 256.从而 2144.1解法二：在双曲线6436 中，b236 ，而6

3、0 .考题欣赏（2010全国卷1理）（9）已知Fi、F2为双曲线C： x2 y21的左、右焦点，点3(B) y (C)P在C上，/ F1 PF2=6O0，则P到X轴的距离为（A）43(D) 尿【答案】B1的左、右焦点，点（2010全国卷1文）（8）已知F1、F2为双曲线C：x2P 在 C 上，/ F1 P F2 = 6O0，则 |P Rig PF2I(A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos / F1PF2二|P F2|2 |证|2| PF1 |22|PF1| PF2|1 PF1 |g PF2 | 4【解析2】由焦点三角形面积公式得:1 PFi |g PF2

4、| 42 2匚L 1性质一推论：在双曲线a2 b2（ a >0, b > 0）中，左右焦点分别为F1、F2 ,当点P是双曲线左支上任意一点，若PFiF2Sb2csi n，则 F1PF2a ccos .特别地，当 P FiF290时，有Sf1 pF2 t。当点P是双曲线右支上任意一点，若PF1F2S双曲线渐近线的倾斜角），则FiPF2b2csinccos a证明：i、P为左支上一点时，记|PF1|1，1 PF212 （1 2）,由双曲线的定义得2ri2a,21 2a在 F1PF2中，由余弦定理得:代入得12 4c2 41CCOS（1r 4c22a)2.iCCOS2 2.1求得b2a

5、ccosS F1PF2-11 Fsin2b2a ccos2cs inb2csi na ccos得证特别地，当 =90时,F1PF2b2caii、当P为右支上一点时，记|PFi |1,1 PF2 | 2（12），由双曲线的定义得r1 r2 2a,2r1 2a在 RPF2中，由余弦定理得:2 2代入得1 4c 41CCOS（1214c24riccos22 .1b2求得 ccos a。1S f1pf221F1F2Sin1 _bl2 ccos2a)2.2cs in ab2csi nccos a得证X2例5( 1)若P是双曲线642y361左支上的一点，F1、F2是其焦点，且PFi F260,求 FiP

6、F2的面积.(2)若P是双曲线X21右支上的一点，F1、F2是其焦点，且PFiF260求 FiPF2的面积.(1 )解法在双曲线2 X642z 136 中，a 8, b 6,c10,60.记|P Fi| ri,| PF2I 2.点P在双曲线上,由双曲线定义得:r2 r1 2a16.r216 r1在 F1PF2 中，由余弦定理得:214c24RCCOS2r2.36解得：r1云解法二：在双曲线2 X642y36中,a 8,b6,c10, b236，而60 .(2 )解法一：在双曲线X21,b2,c75,60 .记|P F1I 1,| PF2I 2.点P在双曲线上,由双曲线定义得:r1 r2 2a2.21在 F1PF2中，由余弦定理得:解得：1 8(亦2)214c24r1ccos22 .解法二：在双曲线64 36 中，a 8,b 6,c 10,b2 36，而性质二、双曲线的焦点三角形 P F1F2中,pf1F2, PF2F1当点p在双曲线右支上时, tan cot-有 22当点P在双曲线左支上时,co