全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一. 教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二. 知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)作线段：连接；作平行线：过点 作 / ；作垂线(作高)：过点作丄，垂足为 作中线：取中点，连接； 延长并截取线段：延长使等于 截取等长线段：在上截取，使等于作角平分线：作平分；作角等于已知角 作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法：，通常考虑倍长中线或类中(1 )倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段) 线，构造全

2、等三角形。(2) 截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题(“ K'字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。(4 )角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：用

3、旋转构造三角形全等。(6) 构造特殊三角形：主要是 30 °、60 °、90 °、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三. 基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线D方式1: 延长AD到 E,使DE=AD连接BE方式方式.4CE2:间接倍长，作CF丄AD于F,作BEL AD的延长线于C3: 延长 MD到N,使DN=MD连接CDRe由 ABEA BCD导出由 ABEA BCD导出E,连接BE由 ABEA BCD导出ED=AE-CDEC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全

4、 角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）旋转:E方法：延长其中一个补角的线段(延长CD到E使ED=BM 连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF ) 结论： MN=BM+DNC CMN 2AB AM AN分别平分 / BMNfn / DNM翻折:思路：分别将 ABMFn ADN以 AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M P、N三点共线.(/ B+/ 0=180°且AB=AD(5)手拉手模型ABEn ACF均为等边三角形结论：(ABFA AEC (2)/拓展：BOE=/ BAE=60 (“八字型”模型证明);(3) 0A平分/ EOFE条件： ABCA CDE均为等边三角形结论

5、：(1)、AD=BE ( 2)、/ ACBdAOB ( 3)、 PC创等边三角形(4)、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CC平分/AOE ( 7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD( 7), (8)需构造等边三角形证明)、ABDFHA ACE匀为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD ( 2) BE! CDABEF和ACH的为正方形U结论：(1)、BD丄 CF (2)、BD=CF 变形一：ABEF和ACH均为正方形，AS BC交 FD于 T,求证：T为FD的中点.S ABCS ADF .方法一:方法二:H方法三:If变形二:当以AB AC为边构造正多边形时，总有:/仁/2=

6、JE四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法:核心母题 已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3贝忡线AD的取值范围是练习:1、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DE1 DE D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.2、如图， ABC中，BD=DC=A,C E是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图，CE CB分别是 ABCMA ADC的中线，且/ ACB2 ABC求证：CD=2CE考点二：截长补短法：核心母题女0图，AD/ BC, EA, EB分别平分/ DAB, / CBA, CD过点E,求证：AB=AD+BC.练习：1、在 ABC中，/ BAC=60 , /

7、 C=40°, AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ2、如图，在 ABC中， ABC 60 , AD, CE分别为 BAC, ACB的平分线，求证：AC=AE+CD3、如图，在 ABC中, AB=AC D 是 ABC外一点，且/ ABD=60 , / ACD=60 求证：BD+DC=AB4、已知：如图在 ABC中，AB=AC D为 ABC外一点，/ ABD=60 , / ADB=90 - / BDC 求证：AB=BDh DC2考点三：一线三等角问题（“ K”字图）核心母题 已知：如图，在Rt ABC中，/ BAC=90

8、, AB=AC D是BC边上一点，/ ADE=45 , AD=DE求证：BD=EC.练习：1、已 知：如图，在矩形 ABCD中，E、F分别是边BC、AB上 的点，且 EF=ED, EF丄ED.求证：AE平 分 / BAD.2、两个全等的含30 °,60。角的三角板 ADE和三角板 ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M,连接ME MC.试判断 EMC的形状，并说明理由.3、如图所示，AE丄AB, BC丄CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直线上，如 按照图中所标 注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？考点四：角平分线

9、、中垂线法核心母题1、在 ABC中，AB AC， AD是 BAC的平分线. P是AD上任意一点. 求证：AB AC PB PC .2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./ B的角平分线交AC于D,过 C作CE与BD垂直且交Bp延长线于E,求证：BD=2CE.3、如图， ABC的边BC的中垂线 DF交 BAC的外角平分线 AD于D, F为垂足，DE1AB于E,且AB> AC求证:BE-AC=AE考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法 核心母题如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是BC CD边上的点，/ EAF=45，求证：EF=BE+DF.练习1、如图所示，在五边形 ABCDE中, AB=AE BC+DE=C,D/ ABC+Z AED=180 求证：AD平分/ CDE.2、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=/ AED=90 ° ,求五边形 ABCDE 的面积.3、如图，在 ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC, P 是