《极坐标系》导学案

1、第2课时极坐标系，课程学习目标1. 通过实例了解极坐标系的建立 ，会用极坐标表示极坐标系内的点，掌握极坐标的应用.2. 理解极坐标与直角坐标间的相互转化，掌握转化公式，并运用公式实现极坐标与直角坐标间的相互转化.泊5®识记吃与理解-预学K 不右不讲问题3:将点M的极坐标（p，0）化为直角坐标（x，y）的关系式为21" 盘 Ft左呵色A知识体系梳理李先生是个外地人，他想到市教育局去，却不知道该怎么去.于是他向路人询问去市教育局如何走？路人说市教育局就在我们现在的位置东南方3公里处.请问路人的回答，能让李先长度单位和角的正方向（通常取方向）,这样就建立了一个平面极坐标系，简称生

2、找到目的地吗？ “在我们现在的位置东南方3公里处”是一个确定的位置吗问题1：极坐标系的建立；再选定一个在平面内取一个定点0,叫作极点自极点0引一条射线Ox，叫作问题2:对于平面内任意一点M,用P表示点M到极点0的距离用0表示以Ox为始边,以0M为终边的角度，其中P叫作,0叫作，有序数对（p,0）就叫作点M，记为问题4:将点M的直角坐标（x,y）化为极坐标（P, B）的关系式为7t1.在极坐标系中，点M（-2, 6）的位置，可按如下规则确定（).A.作射线0P,使/x0P= n,再在射线0P上取点 M,使|0M|=2B.作射线0P,使/x0P=二，再在射线60P上取点M,使|0M|=2C.作射线

3、OP,使/xOP= ?,再在射线0P的反向延长线上取点 M,使|0M|=2D.作射线0P,使/x0P=- n,再在射线0P上取点 M,使|0M|=22. 若 pi+ P2=0, 01+ 02= n,则点 M1(P 1, 01)与点 M2( p2, 02)的位置关系是().A. 关于极轴所在的直线对称B. 关于极点对称C. 关于过极点且垂直于极轴的直线对称nD. 关于过极点且与极轴成4的直线对称3. 点P的直角坐标为（-v2,v2）,那么它的极坐标可表示为4. 在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系nnn3 n5 n11 n(1)A(2,O)、B(2,6)、C(2, -)、D(2,2

4、)、E(2,-)、F(2,-)、G(2,);nn5 n5 nnA(0, n、B(1, n、C(2,h)、D(3,百)、E(3, n).思彗憩严，比I I IS点难点探究化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标nn2 nn(1)(2, 6);(2)(3, 2);(3)(4,亍);(4)(4,-初极坐标的概念3已知极坐标系中点A(2, 2),B(辺,J),0(0,0),则AAOB为().A.等边三角形B.顶角为钝角的等腰三角形（1）将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标C.顶角为锐角的等腰三角形D.等腰直角三角形极坐标与直角坐标间的互化 在极坐标系中，点P(2,3)和点Q(4,5_n)之间

5、的距离为把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限2n(1)(2,亍)；(2)(2,亍);(3)(2,- 3)；(4)(2,-2).在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(2, nn),B(2, n),C(2,53n).求ABC的面积.3 nn极坐标平面内两点P（4,2）、Q（ p,-4）之间的距离为"10,则卩=1 Ml技能应用与拓展-础智能检测1.在极坐标系中，若点A、B的坐标分别是(2,n)、(3,- £),则 AAOB 为().A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D.等边三角形2.将极坐标（6,?）化为直角坐标为（）.A.(-

6、3 v3,3)B.(-3 v3,-3)C.(-3,-3 霸)D.(-3,3 V§)3. 在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3j）、（4,）,则AOB（其中0为极点）的面积4. 在极坐标系中，已知三点M（2, ¥）収（2,0）,P（2运£）.(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上:寸祕艸心,.一VI ST用：A全新视角拓凤在极坐标系中，已知两点n5 nA(2,4),B(2，z),且MBC为等腰直角三角形，求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积.考题变式(我来改编)：KDete远墾予R-不理不i7. f,'-； ： : ' - r'l

7、 1.1 ?.®维导®构建 ji 灯讣 >, H 习体峻分*第2课时极坐标系知识体系梳理问题1:极轴逆时针极坐标系问题2:极径极角极坐标 M( P, 0)pCOS 0,psin 0x =问题3:y =2p = x2 + y2 问题4: Py，tan 0 = - （x 丸）X基础学习交流1. B 当p<0时，点M( p,0)的位置按下列规定确定：作射线0P,使/xOP二0,在0P的反向延长线上取|0M|=| p|则点M就是坐标(P, 0)的点故选B.2. A 因为点(P, 0)关于极轴所在的直线对称的点为(-P, n- 0),由点M 1（ P 1,01）和 M2（

8、 P2, 02）满足 pi+ P2=0, 01+ 02= n,可知点 Ml 与 M2 关 于极轴所在的直线对称.3 n,3. (2, -4-)(答案不唯一)直接利用极坐标与直角坐标的互化公式求解即P二V(- v2)2 + (V2)2=2,tan0=-1.因为点P在第二象限，所以可取一个极角为?.44.解:(1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上.点B、G关于极轴对称，点D、E关于极轴对称，点C、F关于极点对称.£A T所有点都在倾斜角为f,且过极点的直线上.点D、E关于极点对称.重点难点探究nn探究一：【解析】（1） Tx二 PCOS 0=2cos -二 v3,y= psin 0

9、=2sin -=1.6 6点：(2，n)的直角坐标为(v3,i).n(2) Tx二 pcos 0=3cos 2=0,y= psinn点(3,2)的直角坐标为(0,3).2 n(3) Tx二 pcos 0=4cos =-2,y二 psin3n0=3sin 円.2 n0=4sin =2 v3.2 n3(4) vcos=- 4 - + 冗nA /1+COs24,sin72=飞n3_ _ny-COS 6_2_ v6- v2二点(4,丁)的直角坐标为(-2,2 v3).n石)=-nn x二 pcos 0=4cos(- 12)=4cos 石二+ v2,y= psin 0=4sin(-nn4sin 12=

10、v2-力二点件-齐)的直角坐标为(v2+ v6,v2-v6).x = Pcos 0,【小结】严格按照进行转化,注意准确计算.y = psin 0n探究二：【解析】显然 OA=2,OB= v2,ZAOB=-,由余弦定理得AB= vOa2 + OB2-2OAOBcosZAOB= v2,故 OB二AB, /ABO二寸,即AOB为等腰直角三角形.【答案】D 【小结】极坐标中的p和0分别表示到极点的距离和极轴逆时针转过的角度.探究三:【解析】(法一)由公式 X PCOSB,得点P(2,n)和点Q(4,56n)y = psin 0,的直角坐标分别为P(1, v3)和Q(-2 v3,2),由两点间的距离公式

11、得|PQ|= V(1+2 v3)2+ (v3-2)2=2 v5.n5 nn(法二)在极坐标系中，已知点P(2,-)和点Q(4,),故/P0Q二-所以362|PQ|= V22 + 42=2 v5.【答案】2v5【小结】如果极坐标系中的两点确定，那么它们之间的距离也确定,可以把各点极坐标转化为直角坐标，在平面直角坐标系中计算，也可以利用极径、极角的定义和余弦定理在三角形中计算 思维拓展应用4 n14 n应用一 ：(1)由题意知 x=2cos =2 x(-)=-1,y=2sin =2 X(-323子)二-3,即点(2,于)的直角坐标为(-1,- v3),是第三象限内的点.2 n 2 n丁二即点(2,

12、丁)的直角坐nn3)=- v3,即点(2,-)的直角2 n由题意知 x=2cos 丁=-1,y=2sin3标为(-1, v3),是第二象限内的点.n由题意知 x=2cos(- 3)=1,y=2sin(-坐标为(1,- v3),是第四象限内的点.n 由题意知 x=2cos(-2)=2cos2<0(2<2< n),y=2sin(-2)=-2sin 2<0,即点(2,-2)的直角坐标为(2cos 2,-2sin 2),是第三象限点.应用二：(1)画图可知,A、B、C三点都在以极点为圆心，2为半径的2圆上,且所对的圆心角均为-n,JAB|=|AC|=|BC|, /./ABC为正

13、三角形.3(2)由(1)知-|AB|=2sin n,./AB|=2 V3, /KBC 的面积为232 v3 X2 v3 X=3 v3.应用三:v2或3 V根据 x= pcos 0,y= psinQ( p坐标分别为P (0,-4)0,得 P、Q,-的直角P ).|PQ|= v(0- y p)2 + (-4 + Y p)2二 v10,解得 p= v2或 p=3 v2.基础智能检测., 、”nn n . A .1.B 由题意知/ AOB= 3-(- 6)=2,故选 B.y='3'_所以直角坐标为(-中=-3 v3,x = pCOS 0, = p cos 0,4. 解:(1)将三点坐标

14、代入公式可知点M的直角坐标为(1,-y = psin 0,v3),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,V3). vkMN =:Vr= V3,kN P =浮=v3,kMN 二kN P,M、N、P 三点在同一条2-13-2直线上.全新视角拓展 = 6 X(-2.C 由公式得y = psin 0,y = 6 x (-3,-3 v3),选择 C.1n n3.3 结合图形AOB 的面积 S=-OA OB sin(：-：)=3.23 6（法一）利用坐标转化.点A（2,n的直角坐标为（v2,v2）,点B（2,54n）的直角坐标为（-迈-v2）,设点C的直角坐标为（x,y）.由题意得AC丄BC,

15、|AC|=|BC|.AC BC=0,|AC| 2=|BC| 2,于是(x- v2,y- v2) (x+ v2,y+ v2)=0,即 x2+y2=4.(x- v-)2+(y- v-)2=(x+ v5)2+(y+ v5)2,即 y=-x.将代入得x2=2,解得x= 士v-,.X =迈z或X = - y，y = - V-y = v2,点C的直角坐标为(v-,- V-)或(-v-,v-).7 n. 3 n F3 n . p v2 + 2=2,tan0=-1, 0二或，二点C的极坐标为(2盲)或7 n111(2,-).Skbc = -|AC| fBC|=-|AC|2 = 2 X8=4.(法二)设点 C 的极坐标为(p, 0)( p>0,0 <0<2 %),v|AB|=2|OA|=4,nZC=-,|AC|=|BC|, a|AC|=|BC|=2 v-,22n