25.物体的动态平衡问题解题技巧

1、物体的动态平衡问题解题技巧湖北省恩施高中陈恩谱一、总论1、动态平衡问题的产生 一一三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化， 但物体仍然平衡，典型关键词 一一缓慢转动、缓慢移动 2、动态平衡问题的解法一一解析法、图解法解析法一一画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法一一画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。3、 动态平衡问题的分类一一动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）

2、、其他特殊类型二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 动态三角形Fni，球对木板的压力【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为计摩擦，在此过程中Fni、Fn2随夹角变化的函数，然后由函数大小为Fn2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不A . F ni始终减小，Fn2始终增大B . F ni始终减小，F n2始终减小C . F ni先增大后减小，Fn2始终减小D . Fni先增大后减小，Fn2先减小后增大解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出 讨论；【解

3、析】小球受力如图，由平衡条件，有FN2sin 日-mg =0Fn2COS 日Fni =0联立，解得：Fn2mgmgtanifF木板在顺时针放平过程中,0角一直在增大，可知 Fni、Fn2都一直在减小。选B。讨论变化”，不变的是小解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变,球重力和Fni的方向，然后按 Fn2方向变化规律转动 Fn2，即可看出结果。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，Fni的方向始终水平向右,而Fn2的方向逐渐变得竖直。则由右图可知Fn1、F N2都一直在减小。【拓展】水平地面上有一

4、木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为K0 1）。现对木箱施加一拉力F ,使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平地面的夹角为0如图所示，在 0从0逐渐增大到90的过程中，木箱的速度保持不变，则B . F 一直增大D . F先增大后减小A . F先减小后增大C . F 直减小解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出F随夹角0变化的函数，然后由函数讨论；【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有FnKFn + F sin 0 mg =0其中 Ff =PFn4mgF cos9 - Ff =0FFy联立，解得：F =cos9 + 4sin T4mg* mg由数学知识可知 F =，其中tanaJ1 +P

5、2 cos（9 -a）1当e =a =arctan 时，F最小，贝U 0从0逐渐增大到90 勺过程中,先减小后增大。选 A。 解法二：图解法一一可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力,向是确定的，然后按 动态三角形法的思路分析。这个力的方F合 FnFf【解析】小球受力如图，将支持力Fn和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合,由 Ff =PFn可知，tan P = A。由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三*mg角形，其中重力 mg保持不变，F合的方向始终与竖直方向成B角。则由右图可知，当 0从0逐渐增大到90勺过程中，F先减小后增大。2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大

6、小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行一一相似三角形【例2】半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面 B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力Fn和绳对小球的拉力 Ft的大小变化的情况是A、Fn变大，Ft变小B、Fn变小，Ft变大RD、Fn不变，Ft变小C、Fn变小，Ft先变小后变大解法一：解析法（略）解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个 力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个

7、三角形对FnO应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与 U00的三边始终平行，即力的三角形与似。则有。Fnmg几何三角形AAOO相mgR + h RA, B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置a角变小,B的拉力的大小及 B角，则下列调整方法中可行的是B、增大B的拉力，B角不变D、B的拉力大小不变，增大 B角O,这 那么要BB0aAL其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，Fn不变，Ft变小。3、第三类型：一个力大小方向均确定，一

8、个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定 圆与三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用 时两绳套AO , BO的夹角小于90现在保持弹簧秤 A的示数不变而改变其拉力方向使 使结点仍在位置O,就应该调整弹簧秤A、增大B的拉力，增大B角C、增大B的拉力，减小 B角 解法一：解析法（略）解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变，讨论变化”一一呆持长度不变Fa将Fa绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，Fb的一 个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。【解析】如右图，由于两绳套AO、BO的夹角小于90 在力的三角形中,Fa、Fb的顶角为钝角，当顺时针转动时

9、,Fa、FbFaFaFbFb的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。由图可知，这个过程中 Fb 直增大，但 B角先减小，再增大。故选ABC。4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持 不变一一圆与三角形（正弦定理）【例4】如图所示装置， 若把整个装置顺时针缓慢转过 力Ft2的大小变化情况是A、Ft1先变小后变大C、Ft2 一直变小解法一：解析法1 让整个装置顺时针转过一个角度a画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出Ft1、Ft2随a变化的关系式，然后根据的变化求解。两根细绳拴住一球， 保持两细绳间的夹角0=120 不变,90则在转动过程中，CA

10、绳的拉力Ft1, CB绳的拉B、Fti先变大后变小D、Ft2最终变为零让整个装置顺时针转过一个角度【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC绳与竖直方向夹角为 a,则由平衡条件，有Ft1 cosg + FT2 cos(8 a)- mg = 0CAmgFT1 sin a FT2 sin（0 a） = 0联立，解得mg si n（0a）mg si notFti =， Ft2 = si nosin 0a从90。逐渐减小为0 则由上式可知： 解法二：解析法2F T1先变大后变小，Ft2 一直变小。画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，Fti、3,写出这个三

11、角形的正弦定理方程，即可根据(X、Ft2的夹角（1809保持不变，设另外两个夹角分别为B角从90减小，易知Fti先变大后变小，Ft2 直变小。解法三：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力; 夹角（180 - 9保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的 外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按Fti、Ft2的方向变化规律滑动，即可看出结果。【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的Ft2为直径的圆周，易知Fti先变大到最大为圆周直径，然后变小，Ft2 直变小。答案为：BCD5、其他类型【例5】如图所示.用

12、钢筋弯成的支架，水平虚线MN I的下端笔直竖立.一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物 固定于支架上的 A点，另一端从C点处沿支架缓慢地向最高点 点等高），则绳中拉力A .先变大后不变B .先不变后变大C .先不变后变小D .保持不变解法一：解析法一一分两个阶段画受力分析图，绳端在CN段、NB段，在段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知 这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同, 但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。的上端是半圆形，MN G .现将轻绳的一端:B靠近（C点与ACNNC（解析略）解法二：图解法一一画滑轮受力分析图，构

13、建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律, 个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的 变化规律。可知这是【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形。由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减 小。选Co三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地 移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力 F、半球B. F增大，Fn增大 D . F减小，Fn增大面对小球的支持力 Fn的变化情况是（）A . F增大，Fn减

14、小 C . F减小，Fn减小【解析】-Fn rmg将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形,其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而 Fn的方向逐渐变得水平。则由上图可知F、Fn都一直在增大。 故B正确2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，.滑轮固定在 A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力A . BC绳中的拉力Ft越来越大C . AC杆中的支撑力Fn越来越大AC是质量不计的撑杆， A端与竖直墙用铰链连接，一JF缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（）B. BC绳中的拉力Ft越来越小D . AC杆中的支撑力F N越来越小C,fi【解析】C点受力如图，由平衡条件可知,(将三

15、个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与 MBC的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形也ABC相似。则有。2=丘=丘AB AC BC其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，Fn不变，Ft变小。B正确3、质量为M、倾角为e的斜面体在水平地面上，质量为 m的小木块（可视为质点）放在斜面上, 现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力f作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周 的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是A .小木块受到斜面的最大摩擦力为 Jf2 +（mgsin巧2C.F-mgsin 0F斜面体受到地面的最大摩擦力为F

16、coseJ沁 M/Ffmgsin 0.小木块受到斜面的最大摩擦力为斜面体受到地面的最大摩擦力为【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分量mgs in 0始终不变，其与F和Ff构成一个封闭的三角形，当F方向变化时可知当 F与mgs in 0方向相反时Ff最大，其值为F+mgsin 0对于C，D选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力F水平向左时摩擦力最大值为F。故C正确。O为圆心.对圆弧面的压力最小的是4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球,Fnimg【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同,Fni方向始终指向圆心，Fn2方向始终垂

17、直于Fni ,这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示,从a位置到d位置Fni与竖直方向夹角在变小，做出里的动态三角形，易得 a球对圆弧面的压力最小。A正确。5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座 椅悬挂在竖直支架上等高的两点.由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示， 但两悬挂点仍等高.座椅静止时用F表示所受合力的大小，Fi表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（）B . F不变，Fi变大 C. F变小，Fi变小D . F变大，Fi变大A . F不变，Fi变小【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封

18、闭的三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小,从图中可以得到则绳中张力 F1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力F始终为零。选A。6、如图所示，在倾角为0的固定粗糙斜面上, 着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为一个质量为m的物体被水平力F推tan 0求力F的取值范丄围。【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力Ff和弹力Fn合成为一个力F合，则F合的方向允许在Fn两侧最大偏角为a的范围内，其中tana = 4。将这三个力按顺序首尾相接，形成如图所示三角形， 图中虚线即为mgFn F合合mgFF合的方向允许的变化范围。由图可知： mgtan（日一a）F mgtan（日+a）即:sin e - k cos 0 mg cos日 + 4sin 0sin 0 + kcose 兰 F 兰 cos0 + Asin9 mg7、如图所示，在倾角为速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为 应的方向。