精讲二项式的递推展开

1、精讲二项式的递推展开一、课堂趣遇 二项式展开一挥间二项式定理复习课，老师提问.【例1】 如何将二项式(a+b)6 展开？小抢答：展开后共有6+1=7项.小e续答：7项都是6次齐次式，a的指数从6降到0，b的系数从0升到6，待定系数后，是这样的结果：( a + b )6 = A0 a 6 + A1a 5 b + + A6 b 6大补答：这7项的系数依次是：1，6，15，20，15，6，1.老师笑了：你都背下来了？大否定：不用背！只要知道了A0=1，便可推出A1=6；只要知道了A1=6，便可推出A2=15；如此等等，一直递推到底，A6=1.小新奇：怎么个递推法呢？大回答：以第一个系数A0=1为起点

2、. （1）将A0乘以6，除以1，即A0= 6 = A1； （2）将A1乘以5，除以2，即A1= 15 = A2； （3）将A2乘以4，除以3，即A2= 20 = A3； （4）将A3乘以3，除以4，即A3= 15 = A4；（5）将A4乘以2，除以5，即A4= 6 = A5；（6）将A5乘以1，除以6，即A5= 1 = A6 .这个递推法则就是：从A0开始，要乘的那个数从6减到1，要除的那个数从1增到6.大越讲越得意：漫说是展开(a+b)6，就是展开(a+b)100也是容易的事！全班惊喜. 小e问：这个办法真好！再请你说说道理.“道理嘛！”大支支吾吾，半天说不出道理来.老师很高兴，忙为大解围：

3、“至于道理，要等这节复习课讲完了，大家就会自然明白！”二、二项式 ( a + b ) n展开 追根 n = 1根据乘法法则，分别有：（1） (a+b)1 = a+b（2） (a+b)2 = a2+2ab+b2（3） (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3（4） (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3 +b4展开后，（2）的系数是（1）的系数“错位相加”，（3）的系数是（2）的系数“错位相加”，（4）的系数是（3）的系数“错位相加”，（n）的系数是（n1）的系数“错位相加”. 草式如下.由此看到( a + b ) n展开式的系数是由( a + b )1的系数“1+1”错

4、位相加、累计(n-1)次的结果.【例2】 设 ( a + b ) 6 = A0 a 6 + A1a 5 b + A2a 4 b2+ + A6 b 6( a + b ) 7 = B0 a 7 + B1a 6 b + B2a 5 b2+ + B7 b 7试用Ai(i = 0，1，6)的代数式表示Bj ( j =0，1，2，7)【解析】 ( a + b ) 7 = ( a + b ) 6 ( a + b ) = ( A0 a 6 + A1a 5 b + + A5ab 5 +A6 b 6) ( a + b ) = A0 a 7 + ( A0 + A1) a 6 b + ( A1 + A2) a5 b2

5、 + + ( A5 + A6) a b 6 + A6 b7于是有 B0 = A0；B1 = A0 + A1；B2 = A1 + A2；B3 = A2 + A3； B4 = A13+ A4；B5 = A4 + A5；B6 = A5 + A6；B7 = A6 .【说明】 由（6）到（7）的系数“错位相加”草式如下.这是一个有趣的规律，它说明：二项式展开式的每个系数也是“二项式”，即展开式的每个系数都是一个二项式的和.一般地：Br +1 = Ar + A r+1 (r = 0，1，n - 1)特别地：B0 = 0 + A0 = A0，Bn = An-1+ 0 = An-1三、二项式含二项式 看杨辉三

6、角收藏上面的“错位加法”有意思，二项式中的二项式更有意思，如果把草式简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，就得到我们熟悉的杨辉三角形（图右）.这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.这个三角形还可命名为“二项式中的二项式三角形中”，因为这个三角形中的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数第4行第2、3两数的和：10=4+6.二项式中的二项式“肩挑两数”中

7、两数是唯一的吗？【例3】 在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6 B.10=3+7 C.10=2+8 D.10=5+5【解答】 杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，因为加法的结果有唯一性. 所以，第5行第3个数10，肩挑两数的结果4+6是唯一的. 答案为A.【说明】这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”.因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即10

8、=4+3+2+1“单肩串数”实为“肩挑两数”性质推论. “单肩串数”实为“肩挑两数”递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+（3+1）=6+3+（1+0）=6+3+1+0“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；从而是“错位加法”的累计结果（图右）.四、子集组合 得展开式系数为了弄清二项式 (a+b)n = (a+b) (a+b)(a+b)= A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.(a+b)2 = (a+b) (a+b)我们视a为主字母，视b为系数，其中的

9、2个b分别记作b1和b2，于是有(a+b)2 = (a+b1) (a+b2) =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合 b1，b2中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.常数项b1b2，是从集合 b1，b2每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合 b1，b2每次取出0个元素所对应的组合.组合数为=1.这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2 =a2+ab+b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数

10、.【例4】 试探索用组合数表示二项式 (a+b)n=(a+b) (a+b)(a+b) = A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn展开式中各系数A0，A1，An-1，An.【解答】 对于an，它是从集合 b1，b2，bn 中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.对于an-1b，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=.对于abn-1，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.对于bn，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出n个元素的组合，组合数为.于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n=a

11、n+an-1b +abn-1 +bn 这就是所谓的“二项式定理”.【说明】二项式展开后各项的系数依次为：， ，.其中，第1个数=1，从第2个数开始，后面的每一个数都可以用前面的那个数表示为 这就是二项式展开“系数递推”的依据. 二项式系数递推实际上是组合数由到的递推.五、 加法定理 来自二项式性质将杨辉三角形中的每一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的加法式. 如 这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑两数”的结果为组合的加法定理： 有了组合

12、的加法定理，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.【例5】 试用数学归纳法证明二项式定理(a+b)n=an+an-1b +abn-1 +bn【证明】 （1）当n=1时，a+b =a +b=a + b 命题真.（2）假设 n=k时命题真，即 (a+b)k =ak +ak-1b +abk-1 +bk两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得 (a+b)k+1=ak+1 +()akb +()ak-1 b2 +()ab k + bk+1 =ak+1 + akb + ab k + bk+1综合（1），（2）可知，对任意的nN+，二项式(a+b)n展开式成立.六、n始于1 r始于0二项式定理将(a

13、+b)的乘方式展开成一个数列的和：(a+b) n=an+an-1b +an-rbr +bn =an-rbr展开式中的r从0取到n，故展开式共有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是它的第r项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为 Tr+1=an-rbr 初学者经常误成 Tr=an-rbr在通项公式中弄清了“n与r的关系”后，以下考题可以做到“一挥而就”.【例6】 已知，求展开式中x9的系数.【分析】 x9的系数与x9的二项式系数虽然不是一回事，但仍可用通项公式an-rbr求出对应的r来.【解答】 设展开式的第r+1项能化简得到x9项.则有 Tr+1 =(x2)9-r=令 18-3r

14、 = 9 得r =3 故 x9的系数为 【说明】 数学解题，切忌拘泥公式. 如本题中求r的值，不一定要硬套通项公式. 事实上，展开式按x的降幂排列：第1项的指数是18，第2项的指数是15，依次递减，指数为9的项是第4项，故有r = 3.由此直接得 x9的系数为 . 这样的计算量大为减少.七、数形趣遇 算式到算图 二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学. 求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题. 用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”.【 例7】 （2007全国甲卷理13文16）的展开式中常数项为 .【式算】 先考虑展开后的常数项Tr +1 =x 8 r= （1）令8 2r = 0，得r = 4，得= 70； （2）令8 2r = 2，得r = 5，得= 56.故求得的展开式中常数项为70 256 = 42【图算】 常数项产生在展开后的第5、6两项. 用“错位加法”很容易“加出”杨辉三角形第8行的第5个数. 简图如下：1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 图上得到=70，=