2019-2020年高三4月高考模拟(二模)数学(文科)试卷含解析

1、2019-2020年高三4月高考模拟（二模）数学（文科）试卷 含解析考生注意：1 .每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2 .答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；3 .本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接4 写结果，每题填对得 4分，否则一律得零分.1 .已知集合，集合.若，则实数.2 .计算：.3 .函数的反函数.4 .函数的最小正周期为.5 .直线与直线的夹角大小为 （结果用

2、反三角函数值表示）.6 .已知菱形，若，则向量在上的投影为 .7 .已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构/一成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为，则其体积 . / , , ,8 .已知函数，若的定义域中的、满足一一一一f （a） + f（七）3 = f （a） + f（b）+3 ,则.（第 7 题图 J9 .数列中，若，（），则数列的通项公式 .10 .在代数式的展开式中，常数等于 .11 .若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为 .12 .满足约束条件的目标函数的最大值是 .13 .有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的

3、个小球上分别标上号码、和，现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是 （结果用最简分数表示）.y = -2x 4033,14 .正整数、满足，若关于、的方程组r有且只有一组解，则的最y =| x -1| | x -a | |x -b |大值为.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15 .已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为，那么“是 两直线、平行”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C充要条件D.既非充分又非必要条件16 .若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个复数根

4、，则（）A.,B.,C,D.,17 .若的三条边，满足（a+b）：（b+c）：（c + a） =7：910,则 （）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18 .已知全集，集合，若中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线均对称，且，则中的元素个数至少有（）A.个B.个C.个D.个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规 定区域内写出必要的步骤.19 .（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素，厂石'设计的小凳应满足：三根细钢管相交

5、处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直-于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均'，为.若、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长 度（精确到）./（第19题图20.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.已知函数，其中、为非零实常数.（1）若，的最大值为，求、的值.（2）若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且 21.（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.已知函数，其中.（1）证明：函数在上为增函数.（2）证明：不存在负实数使得.22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第

6、1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分.对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部（1）证明：直线上的点都在的外部 .（2）若点的坐标为，点在的内部或上，求的最小值（3）若过点，圆（而内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分.已知数列的通项公式为，其中，、.（1）试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数（2）若，数列满足，且对任意的（），均有，写出所有满足条件的的值.（3）若，数列满足，其前项和为，且使 （、，）的和有且仅有组，

7、、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值XX黄浦区高考数学（文科）二模卷一、填空题1 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/子集【参考答案】1【试题分析】因为根据集合元素的互异性有，即，故答案为1.2 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识./数列的极限.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法【参考答案】【试题分析】limn - 3n 书 +213n1Tn ' Tn33n 13n(-)n3.1= lim 门=一，3 (2)n 33故

8、答案为3 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识.【知识内容】方程与代数/指数函数与对数函数/反函数.【参考答案】【试题分析】函数（），令（），则，所以.故答案为.4 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数的性质.【参考答案】2 一 2 一-2_ _一一.【试题分析】f (x) = (sin x-cosx) =sin x-2sin xcosx+ cos x =sin 2x+ 1 ,故函数的最小正周期.故答案为.5 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理

9、解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的夹角.【参考答案】【试题分析】设两直线的夹角为，直线与 x轴、y轴的交点坐标为，因为直线与 x轴平行,则直线与x轴的夹角为于是，故答案为.6 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【参考答案】【试题分析】如图所示，因为四边形是菱形，则 .因为，所以，在中，由余弦定理BC2 =AB2 +BC2 -2ABLBC_cos<AB, BC >=2+1 =3,则向量在上的投影为|AC |

10、cos30o第7题图第6题图7 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知 识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/柱体的体积.【参考答案】【试题分析】该多面体是一个底面边长为 1的正六边形，HP21- -2-：3在中，,S/abcAB BCIsin=234由余弦定理 AC2 =AB2+BC2 -2ABLBc_cos120o =3 ,所以，,则 V =Sh = (2M，3+J3)父1 =3X§,故答案为. 428 .【测量目标】数学基本知识和基本技能 /理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性

11、质/函数的基本性质.【参考答案】3【试题分析】函数f(x)=x3 +lg(Jx2 +1 + x)的定义域需满足，即，f(-x) =-x3 +lg( Jx2 +1 -x),f (x) + f (x) =x3 +lg(Vx2+1 +x) -x3 +lg(Jx2 +1 -x) = lg(x2 +1 x2) = 0 ,则，所以是奇函数，在其定义域内有f(-a) = - f(a), f(-b) = -f(b)又因为 f(_a) + f(_b)_3= f(a)十 f(b)+3,贝U 2( f (a)十 f (b) = 6, f (a) + f (b) = 3.故答案为3.9 .【测量目标】数学基本知识和基

12、本技能 /理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】【试题分析】因为，等式两边同时取对数有，则，又因为则数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故答案为.10 .【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计 的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理 /二项式定理.【参考答案】15【试题分析】在代数式的展开式中常数项为，当时，即时，该项不含未知数x,则此时常数等于，故答案为15.11 .【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基

13、本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】椭圆上到焦点的距离最大和最小的点为椭圆长轴的两个端点，所以，所以a =10,c = 5,2b =2 . a2 -c2 =10 .3，故答案为.12 .【测量目标】数学基本知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理 .【知识内容】方程与代数/不等式/简单的线性规划.【参考答案】2（阴影部分），易知在点（-2, 0）上取得【试题分析】作出约束条件所表示的平面区域如图所示 最大值，此时，故答案为 2.13 .【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本

14、知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率.【参考答案】【试题分析】从9个小球中取出3个的取法有种，取出3个小球的颜色和号码均不相同的取 法有，其概率为.14 .【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】xx【试题分析】令 y = g(x) = -2x 4033, y = f (x) =| x -1| | x a | | x b |-3x +a +b +1,x0 1,-x +a +b 1,1 <x& a,二)

15、，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，要使得关于的方x -a b -1,a : x& b,3x -a -b -3,x b,又，所以,程组有且只有一组解，则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有，由得, 所以的最大值为xx,二、选择题15 .【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/两条直线的平行关系与垂直关系【正确选项】B【试题分析】如果两直线、平行，则，且，所以两直线、平行，必要性成立；反之，如果且， 则两直线重合，充分性不成立，故 “是两直线、平行”的必要非充分条件，故答案选B.16 .【测量目标】数

16、学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/实系数一元二次方程的解.【正确选项】D【试题分析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以方程的另一个根为，由根与系数的关系得，所以，故答案选 D.17 .【测量目标】数学基本知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】函数与分析 /三角比/正弦定理和余弦定理.【正确选项】C【试题分析】因为(a+b):(b+c):(c+a) =7:9:10 ，所以可设,则，所以三角形是钝角三角形，故答案选C.俄由(a+b):(b+c): (c + a) = 7:9:10得亦可)18 .

17、【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、 判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/集合与命题/集合及其表示.【正确选项】C【试题分析】因为，中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线对称，所以(2, 3)乏 S,( -2,3)乏 S,(2, -3) e S,(3,2) e S,( -3,-2) e S,所以中的元素个数至少有8个，故答案选C.三、解答题19 .(本题满分12分)【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【参考答案】联结，由题意

18、，平面，因为凳面与地面平行，所以就是与平面所成的角，即. ：.：.：.2分 在等边三角形中，得, ：.：.：.：.4分 在直角三角形中， ，.：.：:.：.6 分由，解得厘米. .:二二.9 分.12 分三根细钢管的总长度厘米.: . . : .;20 .（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想 和观点.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.【参考答案】（

19、1）因为f （x） =asin x +bcosx = Ja2 +b2 sin（x十日）（其中，）,所以的最大值为.由， 2分及，4,分解得，或， 6分（2）易知，当时，取得最大值或最小值，于是 f 1 '）= +-b = +'b2 +1 , 解得. ，8,分622于是 f （x） =sin x3cos x =2sin（x+二），10分3当时，解得或（）12分因为，故所求的值为，, 13分21 .（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解 释演绎推理的正确性.（2）逻辑

20、思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的 正确性.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.参考答案（1）任取，f （x1）_f （x2） =ax1 +x1二2ax2二2-ax2X 1x2 13分2a%/3(x1x2)x2 +1 )(为 +1)% +1)因为，所以，于是，得，即.因此，函数在上为增函数. 6 分一（2）（反证法）若存在负实数（），使得，即方程有负实数根.8 分对于，当且时，因为，所以， 10分而= 1 +亏（00, 1） U （2, *） -% 1Xo 1因此，不存在负实数

21、使得，得证. 13分22 .（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分.【测量目标】(1)数学基本知识和基本技能能力 /能按照一定的规则和步骤进行计算、画图 和推理.(2)分析问题与解决问题的能力 /能自主地学习一些新的数学知识(概念、定理、性质和方 法等)，并能初步应用.(3)分析问题与解决问题的能力 /能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题 .【知识内容】(1)图形与几何/曲线与方程/曲线方程的概念.(2)图形与几何/曲线与方程/双曲线的标准方程和几何性质 .(3)图形与几何/曲线与方程/双曲线的标准方程和几何性质 .【参考答案】(1)设直线上点的坐标为，代入，得 x2 -y2 =x； -(3xo +1)2 =-8(% -3)2 +1 , 2分88对于，因此，直线上的点都在的外部. 4分(2)设点的坐标为，由题设. 6分8 分得 | MN 睁出+y +(yo+1)2 =,2(% +2)2,对于，有，于是，因此，的最小值为. 10 分(3)因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况.由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为.12分将，代入双曲线方程，得(*), 13分又因为过点，