《二元一次方程组》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、知识讲解二元一次方程组全章复习与巩固（提高）【学习目标】1 .了解二元一次方程组及其解的有关概念；2 .掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3 .理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4 .掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5 .通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念【知识网络】定义：含有两个未知数，并且含未知数项 的松数者6为：的方程二元或三元一次方程二元或三元一次方程理的应用找审列解答【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1.二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（x和y）,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.要

2、点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式2 .二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，、 ，人 一，x a ,即二元一次方程的解通常表示为的形式.y= b3 .二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，

3、二元一次方程组3x 4y 5.x 2要点诠释：、一 ，一，,a1x by g ，.（1）它的一般形式为' （其中a1, a2, b1, b2不同时为零）.a2x b2y c2（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方 程组.（3）符号"”表示同时满足，相当于“且”的意思.4 .二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立， 才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组 解

4、不一定是方程组的解.2x y 5 无2x y 6（2）方程组的解要用大括号联立；（3） 一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组一 一、 x y 1解，而方程组"的解有无数个2x 2y 2要点二、二元一次方程组的解法1 .解二元一次方程组的思想二元一次方程组消元转化> 一元一次方程2 .解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法用含有x （或y ）的代数式表示（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，y （或x）,即变成y ax b （或x ay b）的形式;将y ax b （或x ay b）代入另一

5、个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x）,得到一个关于 x （或y）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出x （或y）的值；把x （或y ）的值代入y ax b （或x ay b）中，求y （或x）的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用 含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一

6、个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运 算简便，提高运算速度及准确率 .(2)用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上(或减去)同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用"”联立在一

7、起即可 要点诠释:当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加 减消元法较简单.实际问题与二元一次方程组实朦问题设未包数，列方程组代人法 加减法 (消元)数学问题的解(二无次方程嵬的解)故学间题(二元一次方程祖)要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2) “设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3) 一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组要点四、三元一次方程组1 .定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求

8、知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.4x y z 12,2a 7b 3,3x 2y z 5, 3a c 1,等都是三元一次方程组.x y 5z 1, b 3c 4要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点:(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组2 .三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元， 然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个 未知数.解三元一次方

9、程组的一般步骤是：(1)利用代入法或加减法， 把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“”合写在一起.要点诠释：(1)有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法.(2)要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的

10、左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解， 只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解.3.三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤:(1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x, y, z)表示题目中的两个(或三个)未知攵；(2)找出能够表达应用题全部含义的相等关系； (3)根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组;(4)解这个方程组，求出未知数的值；(5)写出答案(包括单位名称).要点诠释：检查求得的结果(1)解实际应用题必须写 “答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义, 是否合理，不符合题意的应该舍去.(2) “设”、“答”两步，都要写清单

11、位名称，应注意单位是否统(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组.【典型例题】 类型一、二元一次方程组的相关概念1 .在下列方程中，只有-个解的是(x y 1 A.3x 3y 0x y 1 c x y 1 D x y 13x 3y 2. 3x 3y 4. 3x 3y 3【思路点拨】 逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案【答案】C.【解析】选项A、B、D中，将方程x y1 ,两边同乘以3得3x 3y3 ,从而可以判断A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C.【总结升华】在a1x "y

12、 q （其中a, a2, n, b2均不为零）， a2x b2 y c2（1）当亘曳a2b2c1时，方程组无解;C22）当曳曳 ,方程组有无数组解;a2 d c2（3）当亘 曳，方程组有唯一解. a2 b2举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413例1 （3）】【变式1】若关于x、y的方程 m 1 x yim2是二元一次方程，则【答案】1.【变式2】已知方程组 x y 5ax 3y b有无数多个解，则a、b的值等于1【答案】a= - 3, b= - 14.类型二、二元一次方程组的解法歌2.3考）解用呈组i(x i(xy) y 55y) y 3 2【思路点拨】 本题结构比较复杂，一

13、般应先化简，再消元.仔细观察题目，不难发现，方程 组中的每一个方程都含有（x-y）,因此可以把（x-y）看作一个整体，消去（x-y）可得到一个关 于y的一元一次方程.【答案与解析】解：由 X 9 得：6（x-y）+9y = 45X4 得：6（x-y）- 10y=-12-得：19y=57,解得y=3.把y = 3代入，得x = 6.所以原方程组的解是x 6.y 3【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果.举一反三x y x y【变式】（换元思想）解方程组 610x y x y610解：设

14、土m, 610则原方程组可化为y 18y 203 3所以6x y 10192y 3x y 11的整数解的个数是【思路点拨】 把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是 1与0,于 多个方程组，通过解方程组来求解的个数.【答案】2组【解析】个方程裂变为解：由条件得2y 3 0 或y 11x 2y 3x y 10即 x2y 3 0或 x2y31xy11 xy1 0x 2y 3 0即或x y 1 1x 2y 3x y 1x 2y 3 1或 x 2y 3x y 1 0,口 x 1解得，yx或1y13或5323或53【总结升华】 出答案.举一反三：根据已知条件构造出方程组，再选择恰当方法求得方程组的解,

15、然后再所求得y【变式】已知二元一次方程组4 的解为x a, y 则色b .x y 175【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组 4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所不，求每块地砖的长与宽.【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系,但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x,宽为y,就可以列出一个关于x、y的二元一次方程组.xcm与宽为ycm,根据题意得:x 45y 15【答案与解析】解：设每块地砖的长为x y 60y ,解得:2x x 3y答：每块地科长为 45cnx宽为15cm这就需要我们仔细阅读题目，设

16、法提【总结升华】 有些题目的相等关系不是直接给我们的, 炼出题目中隐含的相等关系 举一反三：【变式】如图，长方形 ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） 中阴影部分的面积.解：设每个小长方形的长为x,宽为y,根据题意得:10x 4y 22(x 2y) 3y所以阴影部分的面积为： 22(7 3y) 9xy 22(7 9) 9 10 3 82.答：图中阴影部分的面积为82.5.(龙岩)已知：用 2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货 10吨；用1辆A 型车和2辆B型车载满货物一次可运货 11吨.某物流公司现有 31吨货物，计划同时租用 A 型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好

17、每辆车都载满货物.根据以上信息，解答下列问题：(1) 1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车 方案，并求出最少租车费.【答案与解析】 解t 设爵辆A型车、B型车都装满货物一次可分别运货X吨、y吨，依题旨列方程得: lx 4- y = 1 (X 1 11 s 3解方程幼，得 3=4答：1辆凡型车装满货物-次可运3她，I辆B里车装满货物一次可运4M.(2)结合翘 J&fl ( 1)得 用=31, m i- *t «43 =37 口都是正整数宙

18、 ±1占=4jb 二 7)答:有3种租车方案：A型年Q辆月型车1辆;A型车5辆口型车4辆；A型车1辆,B型军7辆. 方案需租金9X10012X1。冽元)方案 芾和金:5丈1囿7XI20KXO(元)方案 需租金“丈100TX12(M>40配)V 10200940量省饯的利布方案是：A型车1辆月型中7辆显少机车抄为944)7L.【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数.举一反三：【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下:购买羊果数不超过30千克加千克以上但 不超过50千克50千克以上每千克价格3元2.5元2元甲班分两次共购买苹果 70千克(第二次多于第一次)，共付

19、出189元，而乙班则一次购买苹 果70千克。(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？【答案】解：(1) 189 70 2 49 (元)答：乙班比甲班少付出 49元.(2)设甲班第一次、第二次分别购买苹果y千克，则依据题意得:当0 x 30,30y 50 ,则有:x y 70 3x 2.5y,解得:189x 28 ,经检验满足题意;y 42当0 x 30,y 50 ，则有:x y 703x 2y 189x 49,经检验不满足题意;y 21当30 x 50, 答：甲班第一次购买苹果 【高清课堂：实际问题与30 y 50 ,则有：28千克，第二次购买次方程组(一)2.5 70 175 189,不满足题意.42千克.409143 例 3、】【变式2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间宿舍住6人，则有一间只住【答案】解：设该年级有寄宿生4人,且空两间宿舍，