2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题一、单选题1,已知集合 A = x| x（x1）M0, B =x| y = ln （x a）,若 A|Hb =A ,则实数 a 的取值范围为（）A . （-°0,0 ）B, （-«,0C. （1什）D. Il,）【答案】A【解析】分别求出集合 A集合B范围，根据API B = A得到A是B子集，根据范围大 小得到答案.【详解】A=x|x x -1 M0）= 0 MxM1B =奴| y =ln x - a ?= x aA - B = A= A二 B所以a <0故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属

2、于简单题 2_ 如 一,-2.已知AB是抛物线y = 2x的一条焦点弦，AB = 4 ,则AB中点C的横坐标是（）A. 2B. -C. 1D.-222【答案】B【解析】先设 A, B两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中 点的横坐标.【详解】设A （为，y1 ）, B （x2, y2 ）, C的横坐标为x0,则 =迎x2 , 2因为AB是抛物线y2 =2x的一条焦点弦，所以 AB| =x+x2 + p = K+x2+1 = 4, 所以x#x2=3,故x0=迎次=3.22故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型

3、3.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线 AE与BC所成角的余弦值为（）A. 31B. £【答案】DC.我【解析】取BC的中点H ,连接EH ,AH ,ED,则异面直线ae与BC所成角即为 £ EAD ,再利用余弦定理求 co±EAD得解.【详解】取BC的中点H ,连接EH , AH ,/EHA =90、设 AB =2,则 BH = HE =1,AH =75,所以 AE =V6,连接 ED, ED = J6,因为 BC /AD,所以异面直线 AE与BC所成角即为/EAD,在Lead中cos EAD =6_4 二 62 2.6第14页共2

4、2页故选：D本题主要考查异面直线所成角的计算,考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力4.已知“、3都为锐角，且sina =叵、7cosP =21，贝U a- 3=(14五_冗_Jl_ TlA .B . 一C. D .一3366【答案】C【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解【详解】因为八3都为锐角，且sina =21, cosp=d, 714所以sin -5,714由 sin ： - - - sin : cos - - cos: sin21 .21 2.7 5,7 _ 丝 _ J714 - 714 一 一 98 一 一 2且“、3都为锐角，所以a

5、P= 6故选：C 【点睛】 本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题5 .设a E r , b E 0,加.若对任意实数*都有皿3，）而由F ,则满足条件的有序 实数对（a,b）的对数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：诅3xT十M= sm（3x十/ 9出二,7EIE47r47E又皿3k-户仙忸一国成=sm（-我+y）, （%b） = （-3,丁）,注意到b E1口工九），只有这两组.故选 B .【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到2b的可能取值.本题主要考查考生的逻

6、辑思维能力、基本运算求解能力、 数形结合思想、分类讨论思想等.X26 .已知F是双曲线C ： 一42L = 1的一个焦点，点p在C上，。为坐标原点，若5OP = OF ,则zOPF的面积为()D.7C.一2【解析】设P(%,yo ),因为OP = OF再结合双曲线方程可解出yo ,再利用三角形 面积公式可求出结果.【详解】22设点 P(xo,yo ),则 x-*-=1 .45又 OP =OF| =收运=3,22二 xo +y0 =9.2 25由得y02 = 25 9一 1 一口 ,15二 s&pf =3OFyo| =5'3父4 223故选B.【点睛】 本题易错在忽视圆锥曲线方程

7、和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。7.已知等差数列4的公差不为零，其前n项和为Sn,若S3, S9, S27成等比数列,则 8=()S3A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C2【解析】由题意，得& =S3 MS27 ,利用等差数列的求和公式， 列出方程求得d=2a1，八S9，入即可求解的值，得到答案.S3【详解】由题意，知S3, S9, S27成等比数列，所以S92 =S3XS27 ,a1 +a9)2 J3(a1 a3)27( a1a27 )X)22整理得 81a5 = 3a2 M27a14,所以(a 十4d)=+d)(a+13d),解得 d = 2a1，S9 9(a a9)

8、 . 3但一 a3) 9a53® 4d) 27a1所以=丁=S3223a2a1 d3al故选c.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前 n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题uuz uuv 一、8 .在 MBC中，点P满足BP = 3PC ,过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交u-u uuu于点M、N,若AM =闲 ,ANuuuA.亚+12B. +123C.一2【解析】由题意得出uur 1 uur 3 uuu AP =-AB +-AC ,再由 AM =KAB ，AN

9、= AC ,可得出uur 1 uuir 3AP =AM 4 ,4uuuAN,由三点共线得出13.134r不=1,将代数式口与4r屈= NAC（九A0,1A0）,则九 + N的最小值为（）相乘，展开后利用基本不等式可求出九十N的最小值.【详解】如下图所示：ulr uuu uuu uuu uuu uuu urn 1 urn 3 uuuq bp =3PC，即 AP AB =3( AC - AP ),二 AP = AB + AC , 44uuir uuu uuu uuuuuu 1 uuur uuu 1 uuuQAM = ZAB， AN = NAC (九 >0, R >0 ),二 AB =

10、-AM , AC = AN ,Juuu 1 uuir.AP =AM4-3 uuu+ AN , ；M、4 P、 N三点共线，则= 1.4，4九十 N当且仅当N=J3九时，等号成立，因此，九十 N的最小值为 Y3+1 ,故选B.2【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题9 .如图，点P在正方体ABCD -A1B1GD1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论:三棱锥A-D1PC的体积不变;AP/平面ACD1 ； DP -L BC1；平面PDB1 _L平面ACD1 .其中正确的结论的个数是 （）A.

11、 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.【详解】故BC 1上任意一点到平面 ADiC的距离均相等,所以以P为顶点，平面ADiC为底面，则三棱锥 A-DiPC的体积不变，故 正确;对于，连接AB, AG, AC1/AD1且相等，由于 知：ADJ/BCi,所以BAiCi/面ACDi ,从而由线面平行的定义可得，故 正确；对于 ，由于DC，平面BCBiCi，所以DC _L BCi,若 DP IBCi,则 BCi _L 平面 DCP,BCi，PC ,则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于 ，连接DB1，由DBi _L AC且DBi _L AD

12、i ,可得DBi，面ACDi ,从而由面面垂直的判定知，故 正确.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想.10 .过三点A(i,3) , B(4,2), C(i,7)的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于()A. 26B. 4向C. VT3D. 2月【答案】B【解析】因为圆心在弦 AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为(a, -2),再利用r2 = Ap2+BP2,求得a =i ,确定圆的方程.又直线过定点 Q,则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点 Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长【详解】22222

13、解：设圆心坐标 P为(a,-2),则 r2=(1a) +(3+2) =(4 a) +(2 + 2),解得 a=1,所以P (1, -2).又直线过定点 Q (-2, 0),当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长l=2，r2-PQ2 =2525-13=4/3 '直线x + ay+2 = 0被圆截得的弦长为4J3.故选B.11 .如图，三棱柱 ABC A1B1C1的高为6,点D, E分别在线段A1C1 , B1C上，ACi=3DCi, BC=4B1E.点A, D, E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6,则较大部分的体积为()4 L -

14、- - A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B【解析】延长 AD与CCi的交点为P,连接PE与CiBi的交点为N,延长PE交BB为M,与面ABC交于点Q,得到截面为 DNMA,由题意得 AiD=2DCi,由此能求出较大 部分的体积.【详解】 如图，延长AD与CC1的交点为P,连接PE与CiBi的交点为N, 延长pE交BiB为M ,与面ABC交于点Q,得到截面为DNMA ,'；A1c1=3DC1, B1c =4B1E,二M , N分别为C1B1, BiB的中点,卜部分体积1 一11 -11 _ hV 下二Vp .AQC - Vp -DNC1 -VMI 工BQ=- S i h

15、h S hXS23SAQCh hSABQ h S DNC1233.2323-2【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养.12.设 D=J(Xa + e二 2aT，a+ 2 淇中 e 定 2.71828,则 D 的最小值为()A.拒B.狗C.&+1D. 73+1【答案】C【解析】分析：由 J(x _a)2 +(ex 24)表示两点C(x,eX)与点A(a, 2百)的距离， 而点A在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点F(1,0),准线为x=-1,则D表示A与C 的距离和 A与准线的距离的和加上 1,由抛物线的定义可得

16、D表示A与C的距离和加 上1,画出图象，当F, A,C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意 a 0 , d = 7(x - a)2 +(ex -2>/a) + a + 2，由 J(x -a)2 +(ex -2l'a)表小两点 C(x, e”)与点 A(a, 2la)的距离， 而点A在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点F(1,0),准线为x = -1 , 则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1,由抛物线的定义可得 D表示A与C的距离和加上1, 由图象可知F,A,C三点共线时，且QF为曲线y =ex的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(m,em),am -0 一八由e

17、= -1 ,可将 m +e =1,m -1设 g(m )=m+e2m ,则 g(m)递增，且 g(0) =1 ,可得切点 Q(0,1), 即有fq| = m J2 ,则D的最小值为 J2+1,故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题二、填空题13.已知函数1og2 x, x 0 x 二4-2：x <01门)7 if f - 1I 184【解析】先求，1 )f/1 ).一,再求 f f I .88)I 18 )log2x, x 0因为函数f x =&

18、lt; ”二 ，4-2 ,x<0皿1.1 c则 f 10g 2 = -3881%)f f I 18力-f -3 = -4 .故答案为-4.本题考查了分段函数求值，属于简单题型x2 y2 . 一 ,一 .14.已知F1，F2分别为椭圆C： 十 = 1的左、右焦点，且点 A是椭圆C上一点,259点M的坐标为（2,0）,若AM为/F1AF2的角平分线，则 AF2=3,根据椭圆的T质可知：|AF1|+|AF2|AF1F1M【解析】由题意可知：A在y轴左侧，；二-AF2I MF2= 2a=10,即可求得|AF2|的值.【详解】解：由题意可知： / FiAM= /MAF2,设A在y轴左侧,AF1F1

19、 M由 |AFi|+|AF2|=2a= 10,105A在y轴右侧时，|AF2| = =,42一， 5故答案为：5.2个尸5 -【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查.15.如图（1）,在等腰直角AABC中，斜边AB = 4, D为AB的中点，将&ACD沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥 C-A'BD,若三棱锥C - ABD的外接球的半径为75,则 NADB =图（2）【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是J5 ,以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决.【详解】解：球是三棱锥 C- A'BD的外接球，所以球心 。到各顶点的

20、距离相等，如图.根据题意，CD，平面A'BD,取CD的中点E, A'B的中点G,连接CG, DG ,因为 A'D = BD, CD,平面 A'BD,所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段 CD的垂直平分线，则球心 O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面 A'BD于点F,则 OF±平面 A'BD,且 OF = DE = 1 ,因为 A'F在平面 A'BD内，所以 OFA'F,即三角形A'OF为直角三角形，且斜边 OA'= R= J5 ,

21、A'F = Jr2 of2 =5/51 =2，所以，BF=2,所以四边形A'DBF为菱形，又知OD = R,三角形 ODE为直角三角形,OE = Jr2 de2 =7571 =2，三角形A'DF为等边三角形，. A'DF =一3，一 2 二故/ A'DB =3，本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键.属于中档题.16.设定义在D上的函数y = h(x)在点P(Xo,h(Xo)处的切线方程为l:y = g(x),当h(x) -g(x) _X*X0时，若'A0在D内恒成立，则称 P点为函数y = h(x)的 类对称中2X 心点

22、”，则函数f(x)= J + lnx的 类对称中心点”的坐标是2e23【答案】(e,)2【解析】由求导公式求出函数f (x)的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y=g(X),设F (x) =f (x) - g (x),求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出 F (x)的单调性和最值，从而可判断出f(X)g(X)的符X - xo号，再由 类对称中心点”的定义确定 类对称中心点”的坐标.【详解】X 1解：由题息得，f(X), f (Xo) e x2Xo3+lnxo (x> 0),2e即函数y = f (x)的定义域D= (0, +8),所以函数y=f (x)

23、在点P (Xo, f (xo)处的切线方程l方程为:2y-(鸟"+lnxo)2e1、，、)(X Xo), Xoxo1、，贝U g (x) = ( + )(X Xo) +2Xo2e2+ lnxo),设 F (x) = f (x) g (x)2e2Xo1+ lnx-(二十一 e Xo2x- xo) + ( %2 +lnxo),2e则 F (%) =o,x 1所以 F (X) =fx) - g (x) = -e xXo .1 I 2 eXox-Xo 11' I'''2e x Xo= 4r(x % rLz2X=-(x-Xo/2X2- exxox 、exo ,2

24、e 当ovxove时，F (x)在(xo, 一)上递减, Xo2一 e 一 xC (xo, 一)时, XoF (x) v F (xo) = o,此时UI%,X-Xo2e 当Xo>e时，F (x)在(一,Xo)上递减;Xoe 2f x -g x -x ( 一，xo)时，F (x) > F (xo) = o,此时<o ,eXoXoX-Xo第18页共22页，y=F (x)在(0, e) U (e, +8)上不存在 类对称点若 xo=e, 1(x -e -x - 1= (X -? > 0,则 F (x)在(0, +8)上是增函数, xe2 exe2当 x>xo 时，F (

25、x) > F (x0) =0,当 xv xo时，F (x) < F (x0) =0,故 f(x)-g(x)>o, x - x0即此时点P是y=f (x)的 类对称点”，综上可得，y=F (x)存在 类对称点”，e是一个 类对称点”的横坐标，233又f (e) =£y+ine=,所以函数f (x)的 类对称中心点”的坐标是.e, I,2e22. 2故答案为：'e,- I.,2【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题.三、解答题17 .在平面四边形 ABC

26、D中，/A+/C=n, AB =1, BC = 3, CD = DA = 2.(1)求 /C;(2)若E是BD的中点，求CE.【答案】(1) C=60,；(2) CE =-92【解析】(1)利用余弦定理进行化简，求出C; (2)利用向量法求出 CE.(1)由题设及余弦定理得：BD2 =BC2+CD2 2BC CD cos C = 13 12cosC ,BD2=AB2+DA2 - 2ABRAcosA=5+4cosC,一 1所以cosC = 一2，二 C =60°；(2)-2CE.-1 由 CE = (CD +CB),得 21 "2丁 2丁 丁 111919=(CD +CB +

27、2CD CB) =_(4+9+2父2M3) = 所以 CE =工1944242【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题.18 .如图，已知正三棱锥 P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点 D, D在平面PAB内的正投影为点 巳连结PE并延长交AB于点G.PB（I ）证明：G是AB的中点；（n）在图中彳出点 E在平面PAC内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积.4【答案】（I ）见解析；（n）作图见解析，体积为 -.3【解析】试题分析：证明AB _L PG.由PA = PB可彳导G是AB的中点.（n ）在平面PAB

28、内，过点E作PB的平行线交PA于点F , F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三 棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6,可得DE =2,PE =2衣.在等腰直角三角形 EFP1 14中，可得EF =PF =2.四面体PDEF的体积V = x x 2父2父2 =.3 23试题解析：（I ）因为P在平面ABC内的正投影为D ,所以AB _L PD.因为D在平面PAB内的正投影为 E ,所以AB_LDE.所以AB _L平面PED，故AB _L PG.又由已知可得， PA = PB ,从而G是AB的中点.(n )在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F , F即为E在平面PAC内 的正投影.理

29、由如下：由已知可得PB _L PA, PB_L PC ,又EF型 ，所以EF _L PA, EF _L PC ,因此EF，平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG ,因为P在平面ABC内的正投影为 D ,所以D是正三角形 ABC的中心.2由(I )知，G是AB的中点，所以 D在CG上，故CD= CG.3由题设可得PC_L平面PAB, DE_L平面PAB,所以DE PC ,因此2 八 1 -PE = PG,DE = PC. 33由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA = 6,可得DE =2,PE=2&.在等腰直角三角形 EFP中，可得EF =PF =2.1 14所以四面体

30、 PDEF的体积V =父m2M2M2=.3 23【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目又t度不大，以中档题为主.2219.设椭圆x2+冬=1(a >b A0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 a b更 AB = A . 3(1)求椭圆的方程；(2)设直线l : y =kx(k <0)与椭圆交于p , Q两点，l与直线AB交于点M,且点

31、P,M均在第四象限.若LBPM的面积是VBPQ面积的2倍，求k的值.221【答案】(1)2+匕=1；化). 9 4222【解析】分析：(I)由题意结合几何关系可求得 a = 3,b = 2 .则椭圆的方程为 工+ L = 1 .94（II）设点P的坐标为（Xi,y1），点M的坐标为芈）,由题意可得X2 = 5x1. c c c 一， 2x 3y = 6,易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组 <''可得y = kx,X26.由方程3k 2- 22x y一 6组494 =1,可得xi =.9k 4y =kx,8 ，、，.结合X2 =5xi，可得k = 一一，或k =

32、一一 .经检验kc2500°详解：（I）设椭圆的焦距为2c,由已知得 与=5,又由a2 = b2+c2,可得2a = 3b.由a 9| AB |= Ja2 +b2'而,从而 a =3,b=2 .22所以，椭圆的方程为 =194（II）设点P的坐标为（Xi, yi），点M的坐标为（X2, y2）,由题意，X2 > Xi > 0 ,点Q的坐标为（X,yj.由BPM的面积是VBPQ面积的2倍，可得|PM|二2|PQ|,从而 X2 -Xi =2Xi -(-Xi),即 X2 =5xi . c c c 一， 2x 3y = 6, ,r易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程

33、组«, 消去y,可得y = kx,6X2 =3k 2-22土 L.由方程组9 94 =i,消去y,二y =kx,6可得 xi = i.由 X2 = 5xi ,可、9k2 4得J9k2+4 =5(3k+2)，两边平方，整理得18k2 +25k +8=0 ,解得k = 8 ,或9,1k = 一.281_12当k = 一一时，X2 = -9 <0 ,不合题思，舍去；当 k = 一一时，X2 =12 , x1 =一 ,符925合题意.，1所以，k的值为.2点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联

34、立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20.如图，四边形 ABCD是平行四边形，平面 AED_L平面ABCD, EF/AB,AB=2, DE =3, BC = EF=1, AE=y/6 , /BAD =60 口，G 为 BC 的中点.D(1)求证：平面 BED_L平面AED;(2)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) Y56【解析】(1)根据余弦定理求出 BD =，3,继而得到BDXAD,再根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线 AB与平面BED所形成的角，再 根据余弦

35、定理和解直角三角形即可求出答案.【详解】(1)证明：在 MBD中，AD=1 , AB =2,/BAD =60 ;由余弦定理可得 BD= J3 ,进而 ZADB = 90 ;即 BD _L AD ,又 平面 AED 1 平面 ABCD ,BD u 平面 ABCD ,平面 AED 口 平面 ABCD = AD , BD _L 平面 AED , BD u 平面 BED , 平面 BED _L 平面 AED.(2) EF/AB ,，直线EF与平面BED所成的角即为直线 AB与平面BED所形 成的角，过点A作AH _L DE于点H,连接BH ,又平面BED平面AED = ED ,由(1)知AH _L平面

36、BED，直线AB与平面BED所成的角为2ABH ,在 MDE , AD =1 , DE =3, AE = J6,由余弦定理得 cos/ADE =-,3 sin /ADE = - , AH = AD,在 RtAHB 中，sin/ABH =L =昱33AB 6，直线EF与平面BED所成角的正弦值 .【点睛】 本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力 和推理论证能力，属于中档题.21 .设抛物线r的方程为y2=2px,其中常数p >0, F是抛物线的焦点.(1)设a是点f关于顶点o的对称点，p是抛物线r上的动点，求LPA!的最大值;| PF |(2)设p=2

37、, |j I2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，11与抛物线交于点A,B, l2与抛物线r交于点C, D,若点G满足4FG = FA + FB +FC + FD，求点G的轨迹方程.【答案】(1)最大值为 J2； (2) y2=x3【解析】(1)求得A的坐标，设出过 A的直线为y= k (x+-p), k= tan 4联立抛物线方程，运用判别式为 0,求得倾斜角，可得所求最大值;(2)求得 F ( 1, 0),设 A (xi, yi), B(X2, V* , C(X3, V。, D (乂，y4)，G (x, y),设li： y=k (x- 1),联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条

38、件：斜率之积为-1,结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程.(1) A是点F(P,0)关于顶点。的对称点，可得 A(-,0), 22设过A的直线为y=k(x+"p), k=tana, 2k2 2联立抛物线方程可得 k2x2 +(k2p -2p)x+k-p- =0 ,4由直线和抛物线相切可得 =(k2p 2p)2 k4p2 =0 ,解得k=±1,可取k =1 ,可得切线的倾斜角为45°, I PA I由抛物线的定义可得 |二| PF | sin(90 一二) cos:1，一。，而a的最小值为45 ,|PA|PF|的最大值为、,2 ；(2)由y2=4x ,可得

39、 F(1,0),设 A(。yi),B(X2,y2),C(x3,y3), DMyQ,G(x, y),设 L ： y =k(x -1),联立抛物线 y2 =4x ,可得 k2x2 -(2k2 +4)x + k2 = 0 ,44即有 x1 +x2 = 2 + f , yi +y2 =k(xi +x2) 2k =，k2k1 2由两直线垂直的条件，可将 k换为，可得x3 +x4 =2+4k , y3 +y4=Kk ,k点 G 满足 4FG = FA+FB +FC+FD，可得4(x -1,y) =(xi +x2 +x3+x44,yi 十丫2 十 y3 十丫4)，2 44即为 4x =x1 +x2 +x3

40、+x4 =4k +2+4 4y = y1 +y2 +y3 + y4 =7k +k 'k，21 221c可得 y2=(k)2=k2+-2=x-3,则 G 的轨迹方程为 y2 =x 3. kk【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题.22 .设 a, b 三 R , | a |, 1 .已知函数 f (x) = x3 6x2 -3a(a 4)x +b , g(x) = exf (x).(1)求f (x)的单调区间；(2)已知函数y =9J)和y =ex的图象在公共点(xo, yo)处有相同的切线，(i)求f (x)在x = x0处的导数；(ii )若关于x的不等式g(x), ex在区间 区1,xo +1】上恒成立，求b的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为(一/a)