导数及其应用(选修II)(吕存于)

1、导数及其应用（选修II ）（吕存于）苍南龙港咼中吕存于【考点解读】1 导数（选修II）高考考核要求为：导数的概念及某些实际背景，导数 的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数，复合 函数的导数，基本导数公式；利用导数研究函数的单调性和极值， 函数的最大 值和最小值等。2比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全 国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大 （12 分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要 得分点。3 命题热点难点是：利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调 区间；利用导数

2、求函数的最值；利用导数证明函数的单调性； 数在实际中 的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合 的问题。4 体系整合5 复习建议：学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小 或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸， 这种方法使复杂问题简单 化。导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线 问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。热点一：导数的几何意义函数y=f (x)在点xo导数的几何意义，就是曲线y=f (x)在点P(xo, f(xo)处的 切线的斜率，也就是说，曲线 y=f (x)在P (xo, f (xo)处的切线的

3、斜率是f'(xo), 于是相应的切线方程为y yo=f' (xo) (x xo)，巧借导数几何意义“传接”的各类 综合题频频出现。【错题分析】错例1 (2004天津卷20(2)曲线f(x)=x3 3x，过点A(0，16)作曲线f (x) 的切线，求曲线的切线方程。误解：f (x)=3x3 3,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率k f'(0)= 3,所以曲线的切线方程为y= 3x + 16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线 的方程。正确解法：设切点坐标M

4、(xo,x。3 3xo)，则切线的斜率k f'(xo) 3xo2 3，切 线方程y (3x。2 3)x 16，又因为点M在切线上，所以x。3 3x。3耐 3)x。16得 xo 2,切线方程为y 9x 16.【典型题例】例1:设Po (xo，yo)为曲线C : y=x 3 (x >0)上任意一点，过Po作曲线C的切 线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再 过P1作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2, y2)，依此类推，作出以下各点：Po,Q1,P1,Q2,P2,Q3,，Pn,Qn+1,，已知 xo=9，

5、设 Pn (xn, yn) (n N)。(1) 求出过点Po的切线方程。(2) 设 xn=f (n) (n N),求 f (n)的表达式;(3) 求 lim( xo X1 xj 的值。n点拨本例涉及到求切线方程的问题，其关键在于掌握切线的斜率等于切点 的导数解析 (1) y z=3x2,vPo (9, 93)，二切线 P0Q1 的斜率 k°=y'|x =xo=3x2=243 ,过P0点的切线即直线 P0Q1的方程为y 93=243 (x 9)，即243x y- 1458=0.(2)过Pn (xn , yn)的切线的斜率为kn=3Xn，切线方程为y yn=kn(x Xn), 即

6、 y x3 =3x* (x xn).令 y=0 得x3 22x=xn 与二一X，即 Qn+1的横坐标为 xn,3x2 33又直线 Qn+ lPn+1 / y 轴， P n+1 的横坐标 xn +1= xn,由于 x0=9 , -数列 xn3是公比为-的等比数列 xn=xo)n=9X (-)n，则 f (n) = 9 x (-)n, (n N)3333(3) lim(x°nx1人)=2 =271 -3点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它 给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1 已知曲线y=sinx,x (0,)在P

7、点切线平行于直线x 2y=0，则P点坐标 为(-,込。322. 若 a>0, f (x) =ax2 + bx+ c,曲线 y=f (x)在点 P (x, f (x。)切线倾角为0,-,则P到y=f (x)对称轴距离为( B )41A、0,- a3.(预测题)B、0, J C、0,|D、0 , |b 1 |2a2a2a(1990日本咼考题).设抛物线y=x2与直线y=x + a (a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为11, 12,求值a变化时11与12交点的轨迹。解答：将y=x + a代入y=x2整数得x2x a=01为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须 = ( 1)

8、2+ 4a>0,所以a> 4设此两交点为(a,a 2), (B, B 2),a<B，由y=x2知y'=2x,则切线11, 12的方程为 y=2 a x a 2, y=2 B x _B 2 两切线交点为(x, y) 则 xy因为a,B是的解，由违达定理可知a + B =1 , aB = a1 1由此及可得 x= - , y= av -2 411从而，所求的轨迹为直线x=1上的yv -的部分。2 4热点二：利用导数研究函数性质运用导数的有关知识，研究函数的性质(单调性、极值和最值)是高考的热 点问题。高考试题常以解答题形式出现，主要考查利用导数为工具解决函数、不 等式及数

9、列有关的综合问题，题目较难。【错解分析】错例2已知函数f(x)= 竺在(一2,+)内单调递减，求实数a的取值x 2范围。2a 1误解：f'(x)=2，由f (x)在(2，+)内单调递减，知f'(x)<0在x(x 2)2a 11 ( 2，+x)内恒立，即卩w0在 x ( 2，+x)内恒立。因此，aW 。(x 2)22剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证 f'(x)是否 恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件f'(x) > 0 (f'(x)11W 0且f' (x)在任一子区间上不恒为零。而当a

10、=-时，f(x)=-不是单调递减函数，2 2不合题意。(2) 在区间D内可导数f(x)，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x D时， 有f'(x) >0(v0=,则f(x)在D内是增(减)函数；反之，若f(x)在D内是增(减) 函数，贝U x D时，恒有f'(x) >0 (W 0)。(不恒为0)(3) 再由函数的单调性过渡到函数的极值，由错例2到错例3错例3函数f (x) = (x2 1)3+ 2的极值点是()A、x=2B、x= 1C、x=1 或1 或 0D、x=0误解：f (x) =x6 3x4 + 3x2 + 1,则由 f' (x)=6x5 12x3

11、+ 6x=0 得极值点为 x=1， x= 1和x=0，故正确答案为C.正确解法：事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f'(x) =6x5 12x3+ 6x=6x（x + 1）2（x - 1）2 知，当 x （ x, 1）时，f，（x） v 0;当 x （ 1, 0）时， f'（x） v 0；当 x （0，1），f'（x） > 0;当 x （1,+x）时，f'（x） > 0. f （x）在（"， 1）、（ 1, 0）单调递增，在（0, 1）、（1 , +）单调递减。则x=0为极小值点， x= 1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选Do

12、剖析：（1）满足f'（X0）=0的点X=X0 （称为驻点）只是它为极大（小）值点 的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。2（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f （x） = x" 的极值点。（x= ± 1, 0（易遗漏）【典型题例】例2: (2001年北京、 bi b2 b3 . bn，使这 bib®,，bn ,使这个Bn= b b> d . bn（1）求数列An和（2）当n7时，比较An和Bn的大小，并证明你的结论。点拨：在解决第（2）问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的 研究，从而用导

13、数求解。解析：（1）因为 1, a1 0! a2 an 1比数列。Bn的通项;ak an 1 k 1 2 2,，an , 2 成等所以印an a2 an 1所以 An2=(a1 an) (a2 an)-(an ajn所以An=22因为1, b1,b2,b3,.,bn , 2成等差数列，所以ak an 1 k' 1 22nbib2=1 + 2=3所以Bn= bbn3n= 一 n 22内蒙古、安徽春季招生题）在1与2之间插入n个正数 n+ 2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数 n + 2个数成等差数列。记An= a1 a? a3 . an ,3所以数列An的通项为An= 22 ,B

14、n的通项为Bn=-n2(2)构造函数 f (x) =2 3x (x>7),则 f =2 21 >02 21x13厂1-又因为 f' (x)=3(22I n2 3) > - (22ln e 3)=?(22 3)> 0所以f (x)在7,+x上单调递增。于是f (x) >f >0n故有 f (n) >0,即 22 > - n,也就是 An> Bn (n>7)2点评：(1)第(2)问也可先考查n=7,8,9时An, Bn的大小，提出猜想，然 后用数学归纳法给予证明。(2)由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关 的综

15、合问题必将会成为2005高考的重点内容，在教学中要足够地重视。2 3例 3:设v av 1,函数 f(x)=x3- ax2 + b，(x 1,1)的最大值为 1,3 2最小值为一丄6,求常数a, b的值。2点拨：本例需研究f'(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较， 以确定a, b的值。解析：f' (x)=3x2 3ax=3x (x a)x1(1, 0)0(0, a)a(a, 1)1f'(x)+00+f(x)3 1 a+ b2Zb、3b2Z1a+ b2由表可见，当x=0时，f (x)取得极大值f (0) =b;当x=a时，f (x)取得极小值3f (a)= b

16、，又 f (b) >f (a),f (1) >f ( 1)，故需比较 f (0)与 f (1) ,f (a)与 f (23 3231)的大小。f (0) f (1) = b (1a+ b)=a 1 由 a ( , 1),故一a 1>0,22323即 f (0) > f (1)，于是 f (x)的最大值为 f (0)。因而有 b=1.又 f ( 1) f (a)= 1 a3+1(22121) =(a3 + 3a 2),因为 a ( , 1),故 a3 3a 2v0,即 f(231) vf(a), f(x)的最小值为f( 1),于是有3 a=，即a=上,223综合可知，ar

17、6 , b=13点评：(1)可导函数在闭区间上的最值，必定在导数为 0的点或端点取得,本例亦可求出导数为0的点，直接将这些点的函数值与端点函数相比较， 以确定 取得最大值、最小值的点。(2)变：-v a如何？再由此引出使用导数研究函数有关的性质要注意导3数为0的点是否落在区间内。(同时为热点三的错例分析打下基础)【热点冲刺】1. (2001年天津高考题(理8)函数y=1 + 3x-x3有极小值-1，极大值32. (2003年连云港二模试题)已知函数f (x)=ax3+ bx2,曲线y=f (x)过点P(-1, 2),且在点P处的切线恰好与直线x 3y=0垂直。若f (x)在区间m , m+ 1

18、 上单调递增，则 m的取值范围m0或m w -3。3. (湖南卷20)(本小题满分12 分)已知函数f(x) x2eax，其中a< 0,为自然对 数的底数.(I)讨论函数f(x)的单调性；(n)求函数f(x)在区间0,1上的最大值. 答案：(I )f (x) x(ax 2)eax.(i)当 a=0 时，令 f (x) =0,得 x=0.若x>0.则f (x)>0,从而f(x)在(0,+s)上单调递增； 若x<0,则f (x)<0,从而f(x)在(-s,0)上单调递减.2(ii)当 a<0时，令 f (x) =0，得 x(ax+2)=0,故 x=0 或 x .

19、a若x<0,则f (x)<0,从而f(x)在(-s,0)上单调递减.22若0<xv -,则f (x)>0.从而f(x)在(0,)上单调递增；aa22若x> ,则f (x)<0.从而f(x)在(-，+s)上单调递减.aa(n) (i)当a=0时，f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1.ae .42 2 .a e(ii)当 2 a 0时,f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)= 当a< -2时,f(x)在区间0,1上的最大值是f (-)a4. (预测题)证明方程x=sinx在( s,+s )内只有一个实根。解答：设f(x)=x sinx,即证f(x

20、)=0只有一个实数。因为f' (x)=1 cosx>0,其中等号只在孤立点x=2k n (k Z)时成都市立。故f(x)在(s,+s )上是递增的。又由于 f(0)=0，故当 x>0 时，f(x) >0,当 xv0 时，f (x) v0。因此f (x)=0只有一个实数根x=0.5 (预测题).已知0wxw 1, n为大于1的正整数，求证：12h w xn+ (1x)n<1解答：设 f(x) xn (1 X)n,则 f (x) nxn 1 (1 x)n 1,1令 f (x) 0，得 xn 1 (1 x)n 1，由于 OW X < 1，则有 X=1 X，解得

21、X=-2又f(l) _L1,f(O) 1,f(1) 1,经比较知f(x)在0, 1上的最小值、最大值分别为1 1?2n 1 , 1。所以1 W Xn+ (1 X)n< 1热点三：运用导数解决实际问题：学习的目的，就是要会实际应用，学生要有运用导数知识解决实际问题的意 识，思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学 会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题。【错解分析】错例4从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小; 为x的正方形(如右图所示)，再将四边向上折起，做成一个 无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度 x与底面正方形边 长的比值不超过常数t.

22、问：x取何值时，容积V有最大值。误解：V' 12 x2 16ax 4a24(3x a)(x a).因为兀所以函数的定义域为(0,琵这时V在定义域内有惟一极值点x环由问题的实际意义可知，3 时,Vmax16 327正确解法：当f2ta1 2t1时，由v'40,解得xf,这时V在定义域内有惟一极值点X |.由问题的实际意义可知，X |时,Vmax弄.a 2ta1当一 ，即0 t -时,3x a,这时有V3 1 2t40,知V在定义域内为增函数，故当x空时V1 2t2at1 2t(2a4at )21 2t)8a3t(1 2t)3剖析：求解函数的最值问题，应注意函数的定义域，本例由导数

23、为 0的点是否落在定义域内，引出了讨论。有时还要注意对导数为0的情形进行讨论【典型题例】例4:甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河 的同侧，乙厂位于离河岸 40 km的B处，乙厂到河岸的垂足 D与A相距50 km， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 . 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形， 分析各已知条件之间的关系，借助 图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式， 适当选定变化，构造相应的函数 关系

24、解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费 最省，设C点距D点x km,则/ BD=40,AC=50 X, BC= BD2 CD2. x2402又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5a x)+5a x2 402 (0v xv 50)5axy，= 3a+ _，令 y，=0,解得 x=30Vx2402在(0,50)上, y只有一个极值点，根据实际问题的意义,函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50 x=20(km)訐AC 50 4°血供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 解法二：设/ BCD=，则 BC二匹,CD=40cot

25、 ,(0sin设总的水管费用为f( 9 ),依题意，有40f( 9 )=3a(50 40 cot 9 )+5a sin5 3cos=150a+40a sin3 5cos40a sin f，(9 )=40a(5 3cos ) sin (5 3cos ) (sin )sin3令 f， ( 9 )=0，得 cos9 =-cos9 =i时，函数取得最小值，此时sin9 =15根据问题的实际意义，当cot 9 =-,4 AC=5040cot 9 =20(km),即供水站建在 A、D之间距甲厂20 km处，可使 水管费用最省点评：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找

26、出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽 象成数学问题，再划归为常规问题， 选择合适的数学方法求解(尤其要注意使用 导数解决最优化的问题)。【热点冲刺】1、有一架长度为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚而滑动，则(1) 当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？(2) 何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？(3) 何时其上端下滑的速度为4米/秒?解答：设在时刻t秒梯子上端开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角距 离为 x 米，则 s=3t,s=5-j25 x2(1) st, 3x ,当 x=1.4 米时，q =0.875 (米/秒)7

27、25 x2(2)当梯子下端离墙角5二米时，梯子上、下端以相同速度移动。(3)当梯子2下端离墙角4米时，梯子上端4米/秒速度移动。2 (预测题).A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每 次比赛中A胜的概率为p ,B胜的概率为q(p q 1,p 0.q 0)，又A得冠军的概 率为P,冠军的概率为Q,决定冠军队的比赛次数为 N.(1) 求使P- p为最大的p值；(2) 求使N的期望值为最大的p值及期望值。(1)要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为p3;如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的 概率为 C；qp3 3p3q.如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的 概率为 C：q2p3 6p3q2.故P p3 3p2q 6p3q2.于是Ppp3 3p3q 6