2020中考数学复习指南：《二次函数》压轴训练(含答案)

1、2020中考数学复习指南：二次函数压轴训练1.如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A (5, 0), B (1, 4)两点.(1)求该抛物线的解析式；P的坐标；1: 2两部(2)点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当aABP的面积为6时，求点(3)在线段AB右侧的抛物线上是否存在一点P,使得AB分4OPA的面积为分？存在，求出点 P的坐标；不存在，请说明理由.解：(1)将点A, B的坐标代入抛物线表达式,得：,解得：，所以抛物线的表达式为： y=- x2+5 x(2)求得直线 AB的表达式为：y = - x+5 ;过点P作直线PQ/ y轴交AB点Q,设 P (m, - m2+5m),则 Q (

2、m, - m+5).当点P在Q上方时，Word文档解得 m1 = 2, m2= 4,即 Pi (2, 6), P2 (4, 4)当点P在Q下方时，解得，(舍去)，即综上，点P的坐标为：Pi (2, 6),心(4, 4)或；(3)由直线 AB的表达式为：y= - x+5 ;令 x= 0,贝U y = 5,即直线AB交y轴于点D (0, 5).设AB交OP于点C,当 OC=2PC或 2OC=PC 时，则AB分4 OPA的面积为1:2. PQ/ y 轴交 AB 点 Q, ./ PQC= / ODC,. / PCQ= / OCD, . ODCoo PQC.当OC=2PC时，由(2)得：PQ= ( m2

3、+5m) ( m+5 ) = m2+6 m - 5,即，解得，即.当 2OC=PC时，PQ=10,由(2) 得：PQ= ( m2+5m) ( m+5) = m2+6 m - 5,即-m2+6m -5=10,所得方程无解.综上所述：点P的坐标为.2.如图，线段 AB, A (2, 3), B (5, 3),抛物线 y= - ( x- 1) 2- m2+2m+1 与 x轴的两个交点分别为C, D (点C在点D的左侧)(1)求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标.(2)设抛物线的顶点为 P, m为何值时 PCD的面积最大，最大面积是多少.(3)将线段AB沿y轴向下平移n

4、个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1: 2两部分.解：(1)当 y= - ( x 1) 2 m2+2m+1 过原点(0, 0)时，0= - 1 - m2+2m+1 ,得 mi=0, m2= 2,当 m1 = 0 时，y= - ( x 1) 2+1 ,当 m2=2 时，y= - ( x 1) 2+1 ,由上可得，当 m = 0或m=2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y=- (x-1)2+1 ,对称轴为直线x= 1,顶点为(1, 1);(2)二,抛物线 y= ( x- 1) 2- m2+2m+1 ,，该抛物线的顶点 P为(1, - m2+2m+1),当-m +2 m+1

5、最大时， PCD的面积最大， m2+2 m+1 = - ( m 1) 2+2 ,当 m=1 时，-m2+2 m+1 最大为 2, 1- y= - ( x- 1) 2+2 ,当 y= 0 时，0= (x1) 2+2 ,得 x1 = 1+ , x2= 1 一,.点C的坐标为(1-, 0),点D的坐标为(1+, 0) . CD= (1+) - ( 1 - ) =2,S»APCD= = 2 ,即m为1时4 PCD的面积最大，最大面积是 2;(3)将线段AB沿y轴向下平移n个单位A (2, 3-n), B (5, 3-n)当线段AB分成1： 2两部分，则点(3, 3-n)或(4, 3-n)在该

6、抛物线解析式上,把(3, 3 - n)代入抛物线解析式得，3- n= - ( 3T ) 2- m2+3m+1 ,得 n= m2- 2m+6 ；把A (4, 3 - n)代入抛物线解析式，得3- n= - ( 3T ) 2- m2+3m+1 ,2得 n= m - 2m+11 ;1. n = m2- 2m+6 或 n= m2- 2m+11 .3.如图，抛物线 y=ax2+bx+6经过点A ( - 2, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点，设点 D的横坐标为 m (1vm<4)连接BC, DB, DC.(1)求抛物线的函数解析式；(2) BCD的面积是否存在最

7、大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 M是x轴上一动点，点 N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)二.抛物线 y= ax2+bx+6 经过点 A (-2, 0), B (4, 0)两点, ?解得：，抛物线的解析式为 y= - x2+x+6 ；(2) BCD的面积存在最大值，理由如下：y= x + x+6 ,当 x=。时，y= 6, . C (0, 6),设点D的坐标为(m, - m2+m+6),过点D作y轴的平行线交 BC于

8、点E,如图1所示：设直线BC的解析式为y=kx+c,把 B (4, 0), C (0, 6)代入得：，解得：，直线BC的解析式为：y= - x+6 ,，设点E的坐标为(m, - m+6),则4BCD 的面积= CDE 的面积+ 4BDE的面积=DExOB= xDEX4= 2 ( m2+m+6 )(-m+6) =- m2+6m=- (m-2) 2+6 ,- < 0,，当m = 2时， BCD的面积最大=6, - m + m+6 = 6,1 v m< 4,此时点D的坐标为(2,6);(3)存在，理由如下：(3)分情况讨论：当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设

9、点 N (n, n2+ n+6),. D (2, 6),.点N的纵坐标为绝对值为 6,即 | - n2+ n+6| = 6,解得：n = 2 (舍去)，或n=0,或n = 1士，故点N、N'、N的横坐标分别为：0, 1+, 1-,. BD/ MN, B (4, 0), D (2, 6),.点 M 的坐标为：(20, 0)或(1+ 2, 0)或(1 2, 0);即点M的坐标为：(2, 0)或(-1, 0)或(-1, 0);当BD是平行四边形的对角线时，如图 3所示：点 B、D 的坐标分别为(4, 0)、(2, 6), C (0, 6), .N 与 C 重合，BM=CD= 2,M (4+2

10、 , 0),即 M (6, 0);综上所述，存在这样的点M,使得以点B, D, M, N为顶点的四边形是平行四边形点M 的坐标为：(2, 0)或(6, 0)或(-1, 0)或(-1, 0).4.在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x2+bx+c经过点A、R C,已知A (- 1, 0), C (0,3).(1)求抛物线的解析式；D,当4CDP(2)如图1, P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点为等腰三角形时，求点 P的坐标；(3)如图2,抛物线的顶点为 E, EEx轴于点F, N是线段EF上一动点，M (m, 0) 是x轴一个动点，若/ MNC = 90° ,请求出m

11、的取值围.图1图2解：(1) .抛物线 y= - x2+bx+c经过点 A、B、C, A ( - 1, 0), C (0, 3),解得 b=2, c=3.故该抛物线解析式为：y= - x2+2x+3 .(2)令-x2+2x+3 = 0,解得 xi = - 1, x2 = 3 ,即 B (3, 0),设直线BC的解析式为y=kx+b',则，解得：，故直线BC的解析式为y= - x+3 ;，设 P (t, 3-t),D (t, - t2+2 t+3),22 .PD= (- t+2 t+3) - (3-1) = - t+3t,. OB= OC=3,. BOC是等腰直角三角形，./ OCB=

12、45 ,当 CD=PC 时，则/ CPD- /CDP,. PD/ y 轴, ./ CPD= / OCB=45 ./ CDP= 45 ,，/ PCD= 90° ,，直线CD的解析式为y=x+3, 解得或， D (1, 4),此时 P (1 , 2);当 CD=PD 时，则/ DCP= / CPD= 45 , ./ CDP= 90 ,. CD/ x轴, .D点的纵坐标为3,代入 y= x2+2x+3 得，3= x2+2x+3 ,解得x=0或x= 2,此时 P (2, 1);当 PC= PD 时，PC= t,t= - t +3 t,解得0或t=3 -,此时 P (3 -,);综上，当 CD

13、P为等腰三角形时，点 P的坐标为(1, 2)或(2, 1)或(3-,)(3)如图 2,由(1) y = - x2+2x+3 = - ( x 1) 2+4 , E (1, 4),设 N (1, n),则 0WnW4, 取CM的中点Q (,), . / MNC=90 , .NQ=CM, .-4NQ2=CM2, - NQ2= (1-) 2+ (n-)4 (1 - ) 2+ (n -) 2 = m2+9 ,2整理得，m = ( n -)-,0< n<4,当 n = 时， m 最小值=一,n = 4 时，m = 5,综上，m的取值围为：-w mw 5.25.如图，已知二次函数 y= ax+b

14、x+4的图象与x轴交于点A (4, 0)和点D ( - 1, 0),与y轴交于点C,过点C作BC平行于x轴交抛物线于点 B,连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点 A运动；点N从点B同时出发， 以每秒1个单位长度的速度向点 C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之 停动，过点 N作NQ垂直于BC交AC于点Q,连结MQ求4AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值围；当 t为何 值时，S有最大值，并求出 S的最大值；是否存在点 M,使得 AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)二二次函数的

15、图象经过 A (4, 0)和点D ( - 1, 0),解得，所以，二次函数的解析式为y= - x2+3x+4 .(2)延长NQ交x轴于点P,. BC平行于x轴，C (0, 4) .B (3, 4), NP±OA.根据题意，经过t秒时，NB=t, OM = 2t,则 CN = 3 - t, AM = 4 - 2t. . / BCA= / MAQ = 45 , QN = CN=3-t, .PQ= NP- NQ=4- (3-t) =1+t,=-t2+ t+2 . a= - 1 <0,且 0wtw2,S有最大值.当t =时, S最大值=.存在点M,使得 AQM为直角三角形.设经过t秒时

16、，NB= t, OM = 2t,则 CN = 3 - t, AM = 4 - 2t, / BCA= / MAQ=45 .I .若/ AQM = 90 ,则PQ是等腰RtA MQA底边MA上的高. .PQ是底边MA的中线， .PQ= AP= MA, - 1 +1= ( 4 - 2t),解得，t=,M的坐标为(1,0).n.若/ QMA = 90 ,此时QM与QP重合.QM = QP= MA,1 +1 = 4 - 2t,t= 1 ,点M的坐标为(2,0).所以，使得 AQM为直角三角形的点 M的坐标分别为(1, 0)和(2, 0).6.如图，已知抛物线经过原点O,顶点A (1, - 1),且与直线

17、y= kx+2相交于B (2, 0)和C两点(1)求抛物线和直线 BC的解析式；(2)求证： ABC是直角三角形；(3)抛物线上存在点 E (点E不与点A重合)，使/ Bd /ACB,求出点E的坐标;(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F,使 BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标.解：(1)设抛物线解析式 y= a (x-1) 2-1,将B (2, 0)代入，0= a (2-1) 2 1, a = 1)抛物线解析式：y= ( x- 1) 2-1 = x2- 2x,将 B (2, 0)代入 y= kx+2 ,0= 2k+2 ,k= - 1,，直线BC的解析式：y= - x+2 ;(2)

18、联立，解得， C (T, 3), A (1, - D, B (2, 0),AB2= (1-2) 2+ (- 1-0) 2 = 2,AC2 = 1 - (- 1) 2+ ( - 1-3) 2=20,BC2= 2 - (- 1) 2+ (0-3) 2=18,.AB2+ BC2= AC：.ABC是直角三角形；(3)如图，作/ BCE= / ACB,与抛物线交于点 E,延长AB,与CE的延长线交于点 A', 过A'作A'H垂直x轴于点H,设二次函数对称轴于 x轴交于点G. /BCE= / ACB, / AB、90 , 点A与A'关于直线BC对称，AB= A'B,

19、可知 AGB0 A'HB (AAS),. A (1, - 1), B (2, 0) .AG=1, BG=OG=1, .BH= 1, A'H=1, OH=3, A' (3, 1), C (T, 3),，直线 A'C： y = - x+ ,联立：，解得或，E ()；(4)二.抛物线的对称轴：直线 x= 1 ,，设 F (1, m),直线BC的解析式：y= - x+2 ;D (0, 2)B (2, 0),BD=BF=,DF=,当BF= BD时，m= ±,.F坐标(1,)或(1,-)当DF= BD时，=2,m= 2,F坐标(1, 2+)或(1, 2-)当BF=

20、 DF时，=,m= 1,F(1, 1),此时B、D、F在同一直线上，不符合题意.综上，符合条件的点 F的坐标(1,)或(1,-)或(1, 2+)或(1, 2-).7.如图，关于x的二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B,与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一点 P,使 PBC为等腰三角形？若存在. 请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到 达点B时，点M、

21、N同时停止运动，设运动时间为 t秒，求 MNC的面积是 MNB面 积的2倍时t的值.解：(1)由题意得 . b = - 4, c= 3,2一二次函数的表达式为 y= x - 4x+3 ;2(2)令 y=0,贝U x -4x+3 = 0, x1 = 1 , x2= 3, .B (3, 0),C (0, 3), BC=,对称轴x= 2,二设 P (, 2, m)当CP= CB时，=3,m= 3士. P (2, 3+ )或(2, 3-);当BP= BC时，=3 m= ±P (2,)或(2,-);当PB= PC时，=m= 2P (2, 2);综上可知P的坐标(2, 3+)或(2, 3-) (

22、2,)或(2,-)或(2, 2); (3)由题意可知 AM=t, DN = 2t,当点M在线段AD上时，即OWtwi时，如图1,DM=AD-AM = 1 -t,BM = AB- AM=2 -t,此时， S»AMNC= S 梯形 CODN S MOC S；AMND=OD (OC+DN) - OC?OM - MD?ND =t2 - t,Sa bmn= BM?DN=(2-t)?2t=2t - t2,''' Samnc = 2Sabmn,.t2-t=2 (2t-t2),解得1或t =；当点M在线段BD上时，即1vtW2时，DM=AM-AD = t- 1,BM = AB

23、- AM=2 -t,止匕时 Sa mnc = S 梯形 codn Saaoc=S 梯形 codn+ Sa MND Sk MOC=OD (OC+DN) +MD?ND- OC?OM =t -1,同理求得t= 1或t=,不在围；综上可知 MNC面积是 MNB面积的2倍时t的值为1或.8.在平面直角坐标系 xOy中，第一象限的点 P在直线y=x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A,交直线y = 3x于点B,点B在第一象限.(1)如图1,当/ OAB = 90时，求的值；(2)当点A的坐标为(6, 0),且BP= 2AP时，将过点 A的抛物线y= - x2+mx上下方平移，使它过点 B,求平移的方向和距离

24、.解：(1)设点A坐标为(a, 0) (a>0).一/OAB= 90°，点B在直线y = 3x上，点P在直线y= x上B (a, 3a), P (a, a)BP= 3a - a= a, AP= a(2)如图，过点 B作BC，x轴于点C,过点P作PD)±x轴于点DBC/ PD. BP= 2AP. . CD= 2DA设直线AB解析式为：y= kx+ b,. A (6, 0)6k+ b= 0,得 b=-6k直线AB解析式为y=kx- 6k当*=卜*-6k时，解得：x=/. xd= xp=当3x= kx - 6k时，解得：x= xc= xb =CD= xd-xc=, AD=6

25、-xd=6 -.= 2 (6-)解得：k= - 2，Xb=, yB= 3xb=,即 B (,):抛物线y= - x2+mx过点A- 36+6m=0,解得：m = 6设平移后过点 B的抛物线解析式为 y=-x2+6 x+ n八 2 .一 ()+6 x+ n=解得：n =-.抛物线向下平移了个单位长度.9.如图，RtABO的直角边 OB在x轴上，OB= 2, AB= 1,将RtABO绕点O顺时针旋 转90°得到RtCDO,抛物线y= - +bx+c经过A, C两点.(1)求点A, C的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)连接AC,点P是抛物线上一点，直线 OP把4AOC的周长分成相等的

26、两部分，求 点P的坐标.解：(1) OB= 2, AB= 1,A (-2,1),将Rt ABO绕点O顺时针旋转90°得到RCDO,C (1, 2),(2)二,抛物线y= - +bx+c经过A, C两点，,解得，二次函数的解析式为 y= - x+ ；(3)设OP与AC交于点Q,.OP将 AOC的周长分成相等的两部分，又 OA=OC, OQ=OQ,AQ=CQ,即Q为AC的中点，Q ( 一 , ) .设直线OP的解析式为y=kx,把Q (-,)代入y=kx,得=-k, k= - 3.直线OP的解析式为y=-3x.由，得，Pi(4, 12), P2 1, 3)., ，一 ，一一210.已知，

27、如图，二次函数 y = ax+2ax-3a (a>0)图象的顶点为 C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C、B关于过点A的直线l： y=kx-对称.(1)求A、B两点坐标及直线l的解析式；(2)求二次函数解析式；(3)如图2,过点B作直线BD/AC交直线l于D点，M、N分别为直线 AC和直线l 上的两动点，连接 CN, NM、MD,求D的坐标并直接写出 CN+NM + MD的最小值.解：（1）当 y=0 时，ax2+2ax- 3a= 0解得：x1 = - 3, x2= 1点A坐标为(-3, 0),点B坐标为(1,0)直线l： y= kx-经过点A - 3k- = 0解得：k=-，

28、直线l的解析式为y= - x-/22,(2) . y= ax+2ax- 3a=a(x+1) -4a，点C坐标为(-1, -4a),C、B关于直线l对称，A在直线l上. AC= AB,即 AC2= AB2( - 1+3 ) + ( - 4a) = (1+3 )解得：a=± (舍去负值)，即a=，二次函数解析式为：y=x2+x-(3) . A ( - 3, 0), C(-1, - 2),设直线 AC 解析式为 y = kx+ b 解得：直线AC解析式为y= - x- 3 . BD/ AC设直线BD解析式为y=-x+c把点B (1, 0)代入得：-+c=0 解得：c=直线BD解析式为y=

29、- x+ 解得：，点D坐标为(3, -2)如图，连接BN,过点D作DF,x轴于点F,彳D关于直线AC的对称点点 Q,连接DQ 交AC于点E,连接BQ, MQ.点B、C关于直线l对称，点N在直线l上. BN= CN 当B、N、M在同一直线上时， CN+MN = BN+MN=BM,即CN+MN的最小值为 BM 点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上 .MQ=MD, DQXAC, DE= QE.当B、M、Q在同一直线上时， BM+MD = BM+MQ=BQ,即BM+MD的最小值为 BQ .此时，CN+NM + MD=BM+MD= BQ,即 CN+NM+MD 的最小值为 BQ 点B、C关于直线l对

30、称 AD 平分/ BACDF±AB, DE±AC .DE= DF=Md|=2. DQ = 2DE=4 B (1, 0) , D (3, 2)BD2= (3-1) 2+ (-2) 2= 16. BD/ ACBDQ= / AEQ= 90BQ=.CN+NM + MD的最小值为8.11.如图，直线 y= 2x- 8分别交x轴、y轴于点A、点B,抛物线y= ax2+ bx (aw0)经过点A,且顶点Q在直线AB上.(1)求a, b的值.(2)点P是第四象限抛物线上的点，连结OP、AP、BP,设点P的横坐标为t, AOAP的面积为si, OBP的面积为S2,记s=s+sb试求s的最值.

31、B解：(1) ,直线y=2x-8分别交x轴、y轴于点A、点B, .点A的坐标为(4, 0),点B的坐标为(0, -8).,抛物线y= ax2+bx (aw。)经过点A,点O,抛物线的对称轴为直线 x= 2.当 x= 2 时，y = 2x 8 = - 4,，抛物线顶点Q的坐标为(2, - 4).将 A (4, 0), Q (2, -4)代入 y=ax2+bx,得:,解得：.2(2)由(1)得：抛物线解析式为 y=x - 4x,点P的横坐标为t,2.点P的坐标为(t, t -4t),22 Si = X4 X (4tt) = 8t2t, S2=X8Xt=4t,_ .22 一S= Si+ S2= 2t

32、+12t= 2 (t3) +18 .- 2<0,且 0Vt<4,，当t = 3时，s取得最大值，最大值为 18.A ( - 4, 0), B (2, 0),与 y 轴交12.如图，抛物线 y= ax2+bx+c (aw0)与x轴交于点于点C (0, 4),线段BC的中垂线与对称轴l交于点D,与x轴交于点F,与BC交于点 E,对称轴l与x轴交于点H.督月图(1)求抛物线的函数表达式；(2)求点D的坐标；(3) P坐标为(，0)点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴 l上是否存在一点 N, 使得以点D, P, M. N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标;若不存在，请说

33、明理由.解：(1)二.抛物线过点 A (-4, 0), B (2, 0),，设抛物线表达式为：y= a (x+4) (x-2)把 C (0, 4)代入得 4= a (0+4 ) (0-2)a=一2，抛物线表达式为： y= - (x+4) (x-2) = - x-x+4;(2)由(1)抛物线对称轴为直线 x=-= - 1 线段BC的中垂线与对称轴l交于点D, 点D在对称轴上，设点D坐标为(-1, m),过点C做CG，l于G,连DC, DB,如图1, DC= DB在 RtA DCG 和 RtA DBH 中,. DC2=12+ (4m) 2, DB2= m2+ (2+1) 2.12+ (4-m) 2

34、=m2+ (2+1) 2解得：m= 1，点D坐标为(-1, 1),(3)存在，当点P坐标为(，0)时，若DN和MP为平行四边形对边，则有 DN=MP,如图2,2当* =时，y= x 0 - +4 =,DN=MP= 点N坐标为(-1,);若MN、DP为平行四边形对边时， M、P点到ND距离相等，如图 3,则点M横坐标为-，则M纵坐标为-X ( - )2+4 =,由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点 P到点D的垂直距离，当点N在D点上方时，点 N纵坐标为-1 =,此时点N坐标为(-1,),当点N在x轴下方时，点N坐标为(-1,-),综上，在对称轴l上是否存在一点 N,使得以点D,

35、P, M. N为顶点的四边形是平行四 边形，N点坐标为(-1,)或(-1,)或(-1,-).13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= - x2+bx+c与y轴交于点A (0, 3),与x轴负半轴交于点 D (- 1, 0),与x轴正半轴交于点 B.(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标和顶点 C的坐标；(2)点E是线段AB上方抛物线上一动点，请求出点E到AB的最大距离；(3)点M是线段AB上一点，且 ACM的面积是 ABC的面积的，求点 M的坐标；(4)在(3)的条件下，抛物线上有动点P,在直线AB上有动点F是否存在点P使得以C、M、F、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条

36、件的点P的坐标：若不存在，请说明理由.解：(1) ,抛物线y= - x2+bx+c与y轴交于点 A (0, 3),与x轴负半轴交于点 D(- 1,0),解得 b=2, c=3,2，抛物线为 y= - x +2x+3 ,令 y=0,贝U- x2+2x+3 = 0,解得 xi = - 1, x2 = 3 ,B (3, 0),y= - x2+2 x+3 = - ( x - 1) 2+4 , C (1, 4);(2)设直线 AB的解析式为y= mx+ n,解得 m= - 1, n = 3, 直线AB的解析式为y= - x+3 ,过E点作EEx轴，交直线 AB于F,如图1, . E (x, - x2+2

37、x+3), F (x, - x+3),EF= - x +3 x,S»A ABE=EF?OB= ( - x2+3x) X3= - x2+x= - (x-) 2+ ,，当x=时， ABE的最大面积为，此时，点E到AB的距离最大，S；A ABE= AB?h =,.AB= = 3, . h =, 点E到AB的最大距离是；(3) .ACM的面积是 ABC的面积的， .AM = AB, OB=3,. M (1 , 2); M (1, 2),，CM=4- 2=2,过C点作AB的平行线交抛物线于 Pi,;直线 AB 为 y= - x+3 ,，直线 PiC 为 y = - x+5 ,解得或，Pi (2

38、, 3),过点(0, 1)作AB的平行线交抛物线于 Pi, P2,则直线PiR为y=-x+i ,解得或，P2 (,), P3 (,-),综上，存在点P使得以C、M、F、P为顶点的四边形是平行四边形，P点的坐标为(2,3)或(，)或(，-).i4.已知开口向下的抛物线y = ax22ax+3与x轴的交点为 A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的交点为C, OC=3OA(i)请直接写出该抛物线解析式；(2)如图，D为抛物线的顶点，连接 BD、BC, P为对称轴右侧抛物线上一点.若/ ABD =/ BCP,求点P的坐标(3)在(2)的条件下，M、N是抛物线上的动点.若/ MPN = 90 ,直线M

39、N必过一定 点，请求出该定点的坐标. C (0, 3), OC=3OA=3- OA=1, A (- 1, 0)把点A ( - 1, 0)代入抛物线解析式得：a+2 a+3 = 0 解得：a= - 1，抛物线解析式为 y= - x2+2x+3 ；(2)如图1 ,若点P在抛物线对称轴右侧且在 x轴上方，过点P作PEE/ y轴交BC于点E, PH BC于点F,过点D作DHx轴于点H ./ CFP= / BHD=90;当 y= - x2+2x+3 = 0 时，解得：x1= 1, x2= 3 A (T , 0), B (3, 0)y= - x2+2 x+3 = - ( x - 1) 2+4，顶点 D (

40、1, 4)DH = 4, BH=3- 1=2BD=. .MBDH 中,sin/ABD =. C (0, 3).BC=, PC=设直线BC解析式为y=kx+b. 解得：直线BC解析式为y= - x+3设 P (p, - p2+2p+3 ) (1 v pv 3),则 E (p, - p+3 )PEi= - p2+2 p+3 - ( - p+3 ) = - p2+3pSz BCP= PE?OB= BC?PFPF=. / ABD= / BCP. .MCPF 中，sin/BCP= = sin / ABD=PF= PC.pF=pC 得：解得：Pl=- 1 (舍去)，P2 =- p2+2 p+3 =，点P坐

41、标为(,)如图2,若点P在x轴下方， .tanZABD=2>tan45° ./ ABD> 45°. / BCPk / BOC 即/ BCP< 45 / ABD与/ BCP不可能相等.综上所述，点P坐标为(，)(3)如图3,过P作PH/y轴，分别过点 M、N作MGPH于G, NHPH于H.设直线 MN 的解析式为 y= kx+ n, M (xi, y1)、N(X2, y3),令 kx+ n = - x2+2x+3 ,即=x2+ (k2) x+n 3=0,Xi + X2= 2 - k, XiX2= n- 3,，y1 + y2= k (xi+发)+2n = k

42、(2k) +2 n,y1y2= (kx1+n) (kx2+n) = k2X1X2+ nk(X1+X2) +n2= 3k2+2nk+nG= / MPN = Z H,MPGAPNH,.P坐标为(，)，MG = - Xi , PH= y1 -，HN =, GP=1'1=,整理，得=,解得 ki = 3n+ , k2=,，直线 MN； y= (- 3n + ) x+n= (- 3x+1) n+ ,过定点(，)；或y= () x+n= (- n+,过定点()即 P点，舍去.直线MN过定点(,).15.如图1,抛物线y= ax2+ (a+2) x+2 (aw0)与x轴交于点A (4, 0)和点C,与y轴 交于点B.(1)求抛物线解析式和点 B坐标；(2)在x轴上有一动点 P (m, 0)过点P作x轴的垂线交直线 AB于点N,交抛物线与点M,当点M位于第一象限图象上，连接 AM, BM,求 ABM面积的最大值及此时 M 点的坐标；(3)如图2,点B关于x轴的对称点为 D,连接AD, BC.填空：点P是线段AC上一点(不与点 A、C重合)，点Q是线段AB上一点(不与点A、B重合)，则两条线段之和 PQ+BP的最小值为 ;填空：将 ABC绕点A逆