(完整word版)高中数学完整讲义——复数

1、思跃敬者高中数学讲义思维的发掘能力的飞跃1典例分析题型一：复数的概念【例1】若复数a3a1 i是纯虚数，则实数a的值为（）A. 1B. 2C. 1或 2D.【例2】若复数z(x21) (x1）i为纯虚数，则实数x的值为（B.C. 1D.1或1【例3】已知复数z的实部为a ,虚部为1,则z的取值范围是（B.1, 3C.1,新【例4】若复数i （2bi）是纯虚数，则实数【例5】设Z1是复数Z2Z1iZ1 （其中Z1表示Z1的共食复数），已知Z2的实部是1 ,则Z2的虚部【例6】复数1A. 12忑 i2iB. 1 2iC.1D. 3【例7】计算:.0!.i +i1!. 2!.+i +L, 100!+

2、 ii表示虚数单位）【例8】设z (2t2 5t 3) (t2 2t 2)i , t R,则下列命题中一定正确的是()A. z的对应点Z在第一象限B. z的对应点Z在第四象限C. z不是纯虚数D. z是虚数【例9】在下列命题中，正确命题的个数为()两个复数不能比较大小；若(x2 1) (x2 3x 2)i是纯虚数，则实数x 1;z是虚数的一个充要条件是 z R ;a,b是两个相等白实数，则(a b) (a b)i是纯虚数；z R的一个充要条件是z z .z 1的充要条件是z 1. zA. 1 B. 2 C. 3 D 4题型二：复数的几何意义2在复平面上对应的点位于(D.第四象限【例10】复数z

3、 (2 i) (i是虚数单位)1 iA.第一象限【例11】复数z1 3 i ,z21 i ,则复数 至在复平面内对应的点位于z2A.第一象限D.第四象限【例12】在复平面内，复数, 20091 i 2对应的点位于(1 i)A.第一象限D.第四象限【例13】在复平面内，复数A.第一象限z sin2 icos2对应的点位于()D.第四象限Q思跃教育高中数学讲义2【例14】在复平面内，复数 ，乙对应的点与原点的距离是（）1 iA.1B.22C. 2D.272思维的发掘能力的飞跃#【例15若复数z满足（1 i）z 1 ai ,且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数 a的取值范围是（）A. a

4、1 B.1 a 1 C. a 1 D. a1或a 1【例16】已知复数z = 3+4i所对应的向量为OZu,把Ouu依逆时针旋转0得到一个新向量为uur uurOZ1 ,若OZ1对应一个纯虚数，当 e取最小正角时，这个纯虚数是（）A. 3iB. 4iC. 5iD. - 5i【例17】复数z m （m R , i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）1 2i【例18若 3兀，5兀 44A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,复数（cos sin ） （sin cos ）i在复平面内所对应的点在（A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限tanA) (tanB cot A

5、)i对应的点位于【例19】设A, B为锐角三角形的两个内角，则复数 z （cotB复平 面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【例20】如果复数z满足z i |z i| 2,那么z i 1的最小值是（）A. 1B,我C. 2【例21】满足z 1及z 1z 3的复数z的集合是（A.112B.1 1ili2 22 2C 2也，走居 口 1页J囱222222225思维的发掘能力的飞跃【例22】已知复数(x 2)yi(x, y R)的模为第,则y的最大值为 x【例23】复数z满足条件：|2z 1 z i ,那么z对应的点的轨迹是(A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线【例24】

6、复数z1z2 满足 z1z20 ,Zz2Z|2Z2 ,证明：当0 .Z2【例25】已知复数z1Z2 满足 Z1 1 ,Z21,且Z1Z24,求二与Z1Z2的值.Z2【例26】已知复数4, Z2满足Z1 |z2 1,且|乙Z2 五,求证:乙Z2【例27】已知乙，Z2C ,Z1Z21 , 4Z2向，求Z1Z2.【例28】已知复数z满足z (2病题型三：复数的四则运算z (2 *i) 4,求d |z的最大值与最小值.31 一【例29】复数i 1等于（）iA. 8B.8C. 8iD. 8i【例30】设a R,且(a i)2i为正实数，则a ()思跃敬者高中数学讲义思维的发掘能力的飞跃11A.1B.C.

7、 0D.【例31】已知复数z2 2zA. 2iB.2iC.D.【例32设z的共辗复数是z ,4,z 8,则-等于zA. iB.C.D.【例33】已知集合(3 i)(32 iD,则 |z| ()B.2.55C.D. 2V5【例34】已知复数3iZ(2 i)2则二z2A. 49B. 7C. 25D. 5【例35】若将复数-表不为aR , i是虚数单位）的形式，则【例36若复数a1A.29(a R ,2iB. 4i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（C.D. 6【例37】i是虚数单位，若1 7i2 ibi (a, bR）,则乘积ab的值是（A.15B.C.D. 15【例38】设a, b R且b0,

8、若复数（abi）3是实数，则（A. b2 3a2B.a2 3b2C. b2 9a2D. a2 9b2， 一 ,、一2【例39若a为实数，-1ai2iJ2i ,则a等于（）1 ai【例41】定义运算（a,b）(c,d) accd ,则符合条件(z,1 2i) (1 i,1 i) 0的复数z的所对应的点在（A.第一象限【例42】定义运算ad bc ,则符合条件2iA.第一象限B.第二象限C.【例43】投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为则复数(m ni)( n1A. 一3mi）为实数的概率为1B.一41 2iD.0的复数z对应的点在（）第四象限【例44】已知复数z满足z1,z20092008 z【

9、例45】已知6 mi)B,丘【例46】复数(2(1 一 3i)叽等于B.1【例47】计算：（2（12i)12m和n ,( )1C.一61 0,则复数64i ,则m等于（D. 43i(2 3 i)100.3i)9(1 2.3i)1001D. 12D.1V3i【例48】已知复数zi cos i , Z2 sin i ,则4Z2的最大值为()A. 3 B. 72 C.斗 D. 3【例49若复数z 1 i求实数 a,b使az 2bz (a 2z)2(其中2为z的共辗复数)【例50】设x、y为实数，且y1 2i，则 x y =1 3i【例51】对任意一个非零复数z ,定义集合 Mz w|w zn , n

10、 N.Mz.若在Mz中任取两个数，求其z值，并说明理由.设z是方程x 1 0的一个根，试用列举法表示集合 x和为零的概率P;若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个【例52解关于x的方程x2 5x 6 (x 2)i 0.【例53】已知zx2 iTx21, z2 (x2 a)i ,对于任意x R,均有ziz成立，试求实数a的取值范围.【例54】关于x的方程x2 (2a i)x ai 1 0有实根，求实数a的取值范围.【例55】设方程x2 2x k 0的根分别为 ，且| 2亚，求实数k的值.【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )n cos(n ) isin( n ), n N .

11、并证明(cos isin ) 1 cos isin ,从而(cos isin ) n cos(n ) isin( n ).I七思跃敬甫高中数学讲义an 0 ( a1 , a2 , L , an R )的解,【例 57若 cos isin 是方程 xn a4 1a2xn 2 L an iX求证：a1sina2 sin 2 Lan sin n 0 .【例58已知是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹. z 1【例59】设复数zi , z2满足Ziz2A z1 A z20,其中|AJ5 ,求 zi A Z2 A 的值.【例60】设复数z满足z 2,4的最值.【例61】若 f(z) 2z z 3i ,f

12、(z i) 63i ,试求 f( z).【例62】已知虚数 为1的一个立方根,即满足3对应的点在第二象限，证明2,_2【例63】a2a3a2n2n3 ri求证：a0a3a6ala4a7La2a5a8 L【例64】设z是虚数，w是实数，且思维的发掘能力的飞跃13求|z的值及z的实部的取值范围;设u L二，求证：u为纯虚数;1 z求w u2的最小值.【例65】对任意一个非零复数z,定义集合Mz w|w z2n 1 , n N. 设 是方程x 1 点的一个根，试用列举法表示集合 M ； x设复数Mz,求证：M Mz .【例66】已知复数z0 1 mi( m 0) , z x yi和w x y i ,其中x , y, x , y均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z,有w z0z, w 2 z . 试求m的