(完整word版)线性代数教案

1、线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时 45学时实验学时教材名称年 月 日线性代数课程教案授课类型理论课授课时间3节第5页，共40页行列式二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 n阶行列式的定义 对换其中pp2L pn为自然数（pp2L pn）求和。a21Man11,2,La22Man2a2nMann,n的一个排列,(1) a1p1a2 P2 L anpn (p1»L pn)t为这个排列的逆序数，求和符号汇是对所有排列n阶行列式D中所含n2个数叫做D的元素,位于第i行第j列的元素aj ,叫做D的（i, j）元。授课题目（教学章节或主题）：第一章§ 1&#

2、167; 2§ 3§ 4本授课单元教学目标或要求：1 .会用对角线法则计算 2阶和3阶行列式。2 .知道n阶行列式的定义。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等） 基本内容：行列式的定义1 .计算排列的逆序数的方法设P1P2L Pn是1,2,L ,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比pi大的数排在pi前面，记为3；再看有多少个比 p2大的数排在P2前面，记为t2 ；最后看有多少个比pn大的数排在pn前面，记为tn；则此排列的逆序数为t 11t2 Ltn。2 . n阶行列式&2ain3 .对角

3、线法则：只对 2阶和3阶行列式适用a1 a2a21a22&但22a12a21a13 a21a32解:aa23a32a44 和 43234242。加a12ai3Da21a22a23a31a32a33aa22 a33a12 a23 a3i&3 a22 a3ia12 a21a33a11a23a32重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1)和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的 n个元素的乘积。由排列知识可知，D中这样的乘积共有n!项。(2)和式中的任一项都带有符号 (1);t为排列(p1p2L pn)的逆序数，即当p1P2L pn是偶排列时，对应的项取正号；当 p

4、1P2L pn是奇排列时，对应的项取负号。综上所述，n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的 n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。例：写出4阶行列式中含有a11a23的项。例：试判断a4a23a31a42a56a65和a32a43a14a51a25a66是否都是6阶行列式中的项。斛：a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为4312650 1 2 2 0 1 6 ,所以 a14a23a31a42a56a65是6阶行列式中的项。a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为(341526)(234156)5 3 8 ,所以 a32a43a14a51a25a66 不是

5、6阶行列式中的项。例：计算行列式D00040 0 10 2 03 0 00 0 0解：D ( 1)° 1 2 31 2 3 4 24本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合首先通过二(三)元线性方程组的解的表达式引出二(三)阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出 n阶行列式的定义。通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。本授课单元思考题、讨论题、作业： 1 1 P.26 1(1)(3) 2 2(5)(6)本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)线性代数课程教案授课类型理论课授

6、课时间2节行列式行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则授课题目（教学章节或主题）：第一章§ 5§ 6§ 7本授课单元教学目标或要求：1 .知道n阶行列式的性质。2 .知道代数余子式的定义和性质。3 .会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。4 .知道克拉默法则。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）基本内容：5 .行列式的性质（1）行列式D与它的转置行列式 DT相等。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式；或者行列式的某一

7、行（列）的各元素有公因子k,则k可提到行列式记号之外。（4）行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。（5）若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列 式的值不变。6 .行列式的按行（列）展开（1）把n阶行列式中（i, j）元aj所在的第i行和第j列划去后所成的n 1阶行列式称为。/）元2的 余子式，记作Mj；记Aj（ 1）i jMj ,则称Aj为（i, j）元aj的代数余子式。2 2） n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的

8、和。即可以按第i行展开：D d小1 含2A2 L淅An。 1,2,L ,n）；或可以按第j列展开：D a1jAj a2 j A2 j Lanj Anj （ j 1,2,L ,n）.（3）行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 ai1Aj1 ai2 Aj 2 L ain Ajn 0, i j ,或a1iAj a2iA2j LaniAnj0, ij .3 .克拉默法则含有n个未知元x1,x2,L xn的n个线性方程的方程组aiiLaikbnLbinMM，D2MM,则akiLakkbniLbnn(2)设 DianiaiiXi812X2ainXna2iXiL

9、L La22X2L L La2nXnL L Lbi b2 LaniXian2X2annXnbn当bi,b2,L ,bn全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。Di_ ,如果万程组的系数行列式D 0,那么它有唯一解：x (i 1,2,L,n),其中DDi(i 1,2,L ,n)是把D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列(2)式。如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D 0。如果齐次线性方程组的系数行列式D 0,那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。用克拉默法则解线性方程组的两个条件:(i)方程个数等于未知元

10、个数；(2)系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系 适用于理论推导.它主要4.一些常用的行列式上、aiia12Lainaiia22La2na2ia22OMM M Oannani an2 L卜三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积o即aiiannaii a22 L ann特别地,对角行列式等于对角线元素的乘积，即a22a11a22L ann.类似地,a2,nain1)n(n2ia1na2,n iLani .第9页，共40页a11LakMM0ak1LakkC11LC1kbnLblnMMMMcn1Lcnkbn1LbnnDR.(3)范德蒙(Va

11、ndermonde)行列式Vn(Xi,X2,L Xn)11Lx1x2Lx2X2LM M n 1n 11x1x2Lxn2 xnn 1xn(xixj)n i j 1计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列 式的值。重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行(列)展开等基本方法来简化行列 式的计算。例：课本P.12例7一例9例：课本P.21例13例：课本P.25例16 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握 如何利用行列式性质及按行(列)展开等基本方法

12、来简化行列式的计算。本授课单元思考题、讨论题、作业：思考题问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为 何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无 解或有无穷多解。本授课单元思考题、讨论题、作业：§ 5 .26 4(1)(2)(3), 5(1)(2), 7(1)(2) (5)§ 6 P.26 5 (4), 7 (3) (6)§ 7 P.28 8(1), 9本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)线性代数课程教案授课类型

13、理论课授课时间2节授课题目(教学章节或主题)： 第二章矩阵及其运算§ 1矩阵§ 2矩阵运算§ 3逆矩阵§ 4矩阵分块法本授课单元教学目标或要求：掌握矩阵的定义，矩阵的加减法 数乘 转置 矩阵求逆 矩阵的行列式 分块矩阵等运算，了解矩阵 多项式运算本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等)：本章拟分3次课完成，第一讲：§ 1矩阵，§ 2矩阵的运算；第二讲：§ 3逆矩阵；第三讲：§ 4矩阵分块法 第一讲：§ 1矩阵，§ 2矩阵的运算；基本内容：§

14、 1矩阵：一 矩阵的定义，定义1由Mxn个数aj(i1,2,m;j 1,2,n)组成的m行n列的数表a11a2a1na21a22a2na m1am2amn称为m行n列矩阵，简称mxn矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表 示它，记作a11a12a1na21a22a2nam1am2amn这M X N个数称为菊阵A的元素，简称为元，数aj位于矩阵A的第i行j列，称为矩阵A的(I,J)元，以数aij为(I,J)元的矩阵可简记为(aij )或(aij )m n ,M X N矩阵A也记着Amn.元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩

15、阵或n阶方阵，n阶矩阵A也记作An.只有一行的矩阵A (a1a2an)称为行矩阵，又称为行向量，行矩阵也记作A(a1,a2 , an)只有一列的矩阵b1 bn称为列矩阵,又称为列向量.两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A= (aij ),B= (bij ) 是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即aijbij (i 1,2, ,m, j 1,2, n),那么就称矩阵A 与矩阵 B 相等,级作A=B元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O,不同型的零矩B是不同的.§ 2 矩阵的运算一 矩阵的加法定义2设有两个m n矩阵A= (aj)和B=(bj)，那么矩阵A与B的和记着A+

16、B,规定为a11b11a21b21a12a22b12b22a1nb1na2nb2nam1 bm1 am2 bm2amn bmn两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律 (设A,B,C都是m n矩阵)：(i ) A+B=B+A;(ii )(A+B)+C=A+(B+C)A= (aij ) 的负矩阵记为-A= ( aij )A+(-A)=O规定矩阵的减法为A-B=A+(-B)二 矩阵的数乘定义3数 与矩阵A的乘积记作 A或A，规定为a11a12a1nAa21a22a2nam1am2amn第 16 页，共 40 页矩阵数乘满足下列运算规律（设 A,B 为 m n 矩阵 , , 为

17、数 ）:(1)AA) ;(2)AAA(3)(A B)AB重点 ,难点 :矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.矩阵乘矩阵n 矩阵,那么矩阵A 与矩阵 B 的乘积是一定义4设A=（ a。）是一个m s矩阵,b=（ bj ）是一个s个 m n 矩阵 C=( cij ),其中cijai1b1jai2b2jais bsjsaik bkjk1(i 1,2,m; j 1,2,n)把此乘积记为C=AB且有例 4 求矩阵的乘积(ai1 ,ai2,A=解 C=AB=b1j,ais ) b2j0310ai1b1j

18、ai2b2jais bsjsaikbkj cijk1bsj111111例 5 求矩阵2A=1与 B=2AB 与 BA2解 AB=1163216AB2BA=3对于两个n 阶方阵 A,B, 若 AB=BA, 称方阵 A 与 B 可交换0 也不能得出X=Y 的结论从上面等式可以得出结论:若 A O 而 A(X Y)矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律数量矩阵对角矩阵4 ;三角矩阵(1)(2)(3)(AB)C=A(BC)(AB) ( A)B A( B)A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA对于单位矩阵E,有EmAmn 即:EA=AE=A 特殊矩阵:单位矩阵;Am n, Am n E

19、n为数Am nE=a110a22a110a12a22anna1na1100a2na21 或a2200annan1an2ann可以得到:( En )AnAnAn(En)表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换定义矩阵的幂为1211 kl k l k l klA1A, A2A1A1 , AklAk Al , (Ak )lAkl其中 k 为正整数例 6 证明ncos sin cosn sin nsin cossin n cosncossincosksin ksincossinkcoskk 1 时 ,有cossink1cosksin k cossinsincossin kcosksin coscoskcossin

20、k sinsin k cos cosk sinsinkcoscosk sincosk cos sink sincos(k1)sin(k 1)sin(k1)cos(k 1)证 用数学归纳法, n1 时显然成立,设 n = k 时成立 ,即nkD (dj)nm，有等式得证.a11a12a1na11a21am1a21a22a2nTa12a22am2A=2n .则ATam1am2amna1na2namn四 矩阵的转置定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作ATA 的转置也是一种运算,满足(1) (AT)TA(2) (A B)TATBT(3) ( A)TAT(4)

21、 (AB) T BT AT证明(4)设 A (aj)ms,B= (bj)sn,记 AB C (Cj)mn,BTATscjiajk bkik1而BT的第i行为(bii,bz,hi),AT的第j列为(a、， ，ajs)T,因此ssd ij bki a jka jkbkik1k1dij cji (i 1,2, ,n; j 1,2, ,m)有例7BTAT (AB)T已知A求（AB）T解因为1 71,B= 4 222 0所以AB0 14317 13 10第22页，共40页017(AB)T14 133 10若A是n阶方阵，如果满足ATA，即ajaji（i, j 1,2, n）那么A称为对称矩阵例 设列矩阵

22、X=（X1，X2， ,Xn）T满足XTX1,E是n阶单位阵，HE 2XXT ,证明H是对An1称矩阵，且HH T E证H T (E 2XXT)TET 2XXTE 2XXT H所以H是对称矩阵.HHT=H2 (E 2XXT)2=E 4XXT + 4(XXT)(XXT)=E 4XXT+4X(XTX)XT)=E 4XXT+4XXT=E五方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素位置不变，称为方阵A的行列式，记作A或 det AA满足下列运算规律（A,B为n阶方阵，为数）ATA（2） | AnA ABAB,且 AB BA例9行列式A的各个元素的代数余子式Aj所构成的如下的矩阵A|2A2

23、2A称为A的伴随矩阵，试证A2nAA A AAnnAEAi证明设A ",记AA (bj),则ain Ajn| A ijAEA( j) AEbijai1Aj1 ai2Aj2故AA (A j) A( j)类似有 nA A ( Akiakj)(A j) k 1本授课单元教学手段与方法：讲授为主，练习为辅，主要让学生充分理解矩阵运算的定义，原则，从而掌握矩阵运算，并通过练习提高学生运算的准确率.本授课单元思考题、讨论题、作业：P53:3.4(1),(2);(3),(4)本授课单元参考资料(含参考书、文献等，必要时可列出)线性代数附册学习辅导与习题选讲(同济第四版)注：1每单元页面大小可自行添

24、减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。线性代数课程教案授课类型 理论课授课时间2节第二讲：§ 3逆矩阵基本内容：§ 3逆矩阵定义7对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使AB BA E则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵.记为A 1如果A可逆，则A的逆阵是唯一的.因为：设B,C都是A的逆阵，则有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理1若矩阵A可逆，则A 0证A可逆，即有A 1,使AA 1 E > A A 1 E 1所以A 0.定理

25、2若A 0,则矩阵A可逆，且其中A为A的伴随矩阵.证由例9可知AA A A AE所以有按照逆矩阵的定义知A可逆，且有1_A aa当A 0时称A为奇异矩阵，否则称A为非奇异矩阵，可逆矩阵就是非奇异矩阵推论若AB E(或BA E),则B A 1证|A |B E 1,故|A 0,因而A 1存在，有 1 _1 _1 _ B EB (A 1A)B A 1(AB) A 1E A逆阵满足下列运算：若A可逆，则A 1也可逆，且(A 1) 1 A.11 . 1(2)若A可逆”数0,则A可逆，且 A -A(3)若A,B为同阶矩阵且可逆，则AB也可逆，且_ i _ i i(AB) B A证(AB)(B1A1) A(

26、BB 1)A 1 AEA 1 AA 1E ,由推论有：(AB) 1 B1A1(4)若A可逆”，则AT也可逆，且(AT) 1 (A 1)T证AT(A1)T (A1A)TET E,由推论有：(AT)1 (A 1)T当A 0时，定义T 11 T0k1 k .(A ) (A )A E, A (A ) *为正整数这样，当A 0,为整数，有A A A ,(A ) A重点，难点:逆矩阵的求法.定理2说明通过求伴随矩阵的方式 ，让学生掌握矩阵求逆，并告知学生下一章 里还有更简单的求逆方法.例10求二阶矩阵 a b的逆阵.c dd b解 A ad bc, A，当A 0时，有c a11 d bAad bc c a

27、例11求方阵1 23A2213 43的逆阵.解 A 2,知A可逆，A的余子式M11 2, M12 3,M13 2M216, M 226, M232M314, M325, M332得M11M12M13264所以AA12设M21M 22M 23M31M 32M 3313212521第24页，共40页1232113221 ,B,C205334331求矩阵X使其满足AXB- 1 _ 1 , ,A , B存在，有A 1 AXBB 1 A 1CB 11A 1CB13212521例13、几 1设P=所以An104104,AP2,P 1P 1, A22P 1,nP22,An2nnP2n12n1 2n定义设(x

28、)2n2n2n2n2 2n2n 12n2n 1aoa1xa2x2amxm第31页，共40页为x的m次多项式,A为n阶矩阵记(A) a0E a1A a2A2mam A(A)称为矢I阵A的m次多项式.，可证矩阵A的两个多项式是可交换的，即有A的多项式可以象数x的多项式一样相乘或分解因式.例如(E2(EA)(2E A) 2E A A2 A)3 E 3A 3A2 A3容易证明(1)如果1,则AkP kP 1,从而2(A) aoE aA a2Amam APa0EP 1 Pa1 P 1Pa2 2P 1Pammp 1)P 1(2)如果diag ( 1, 2,n)为对角阵，则diag(k .n),从而()ao

29、Ea12a2amaoa1am(1)2)n)本授课单元教学手段与方法：2的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算，并告讲授为主，练习为辅，通过逆矩阵的定义及定理 知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵 本授课单元思考题、讨论题、作业：P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选讲（同济第四版）线性代数课程教案授课类型理论课 授课时间 2节第三讲：§ 4矩阵分块法基本内容：§ 4矩阵分块法对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矢I阵的运算将矩阵A

30、，每一个小矩阵称为 A的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称用若干条纵线和横线分成许多小矩阵 为分块矩阵.例将3 4矩阵a11a12a13a14Aa21a22a23a24a31a32a33a34可以分块为a11a12a13a14a11a12a13a14a21a22a23a24(2) a21a22a23a24a31a32a33a34a31a32a33a34a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34分法（1）可记为AllA12其中Aalla12AAll, Al2a21a22a13a14a23a 24a33a 34分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似，满足:（1）设

31、矩阵A与矩阵B的行数相同，列数相同，采用相同白分块法，有A11AA1r,BB11As1Asr其中，Aj与Bj的行数相同，列数相同，那么A1BnA BAs1Bs1Bs1B1rBsrA1rB1rA11(2)设 AAs1Ar,为数，那么Asr设A为m l矩阵,B为lA11AAitA11AsiArAsrn矩阵,分块成BnBirAs1其中 Ai1, Ai 2, Ait,BAst的列数分别等于Bt1B1j,B2j, C11BtrBtj的行数，那么C1rABCs1Csrt其中 CjAikBkjk 1(i 1,1,r)重点，难点：分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵，单位阵,对角阵白高阶，一般做四块分

32、且尽量分出单位阵例14 设，零矩阵.求AB解把A,B分块成则 ABAB1所以AB(4)设 AA1A1A1 B11B21 =A1A11As1A1rAsr，则ATA11AT1A；B11B21(5)设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即其中Ai(i 1,2, s)都是方阵，称A为分块对角矩阵分块对角矩阵的行列式有下列性质：A o(i 1,2,A AA2s)，则A 0，并有A11A1 OOA21例15 设A，求A 1As102150301A100, A1A211,A1- ,A253 112 1,A215 00对矩阵进行按行分快或按列分

33、块：m n矩阵A有m行，称为矩阵A的m个行向量，若第i行记作(ai1,ai2,©n)则矩阵A记为T 1T 2Tmm n矩阵A有n歹L称为矩阵A的n个列向量，若第j列记作aua2jamjA (a1,a2, ,an)对于矢I阵A (aj)ms与矩阵B (bij)sn的乘积矩阵 AB=C= (Cij )m n ,若把行分成m块，把B分成 n 块 ,有第 33 页，共 40 页T11Tb11 b21TbnABT2(b1,b2 ,bn)2 b12 b22Tbncij m nT mTmb1mTb2Tb mbn其中以对角阵cijiTbjb2 j(ai1 ,ai2 ,ais )aik bkjm 左乘

34、矩阵bsjAm n 时把 A 按行分块,有b1 jT1T2T 1T2TT m mmmn 右乘矩阵Am n 时把 A 按列分块,有A n (a1,a2, ,an)= ( 1a1 , 2a2, nan),an),则例 16 设 AT A O ,证明 A O证 设 A (aij)m n ,把 A 的列向量表示为A= (a1 ,a2AT AT a2Ta1 a1T a1 a2(a1,a2,an)=Ta2a1T a2 a2Ta1 anT a2 anTa因为AT A O ,所以,aiTaj0,(i,j 1,2, ,n),特别有aTj aj0,(j 1,2, ,n)TT an a1an a2T an ana1

35、 jTa2 j22aj aj(a1j ,a2j , ,amj )a1j a2jam2j0amj得a1ja2j amj 0,(j 1,2, ,n)即AO下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则克莱姆法则对于 n 个变量 , n 个方程的线性方程组anXiai2X2a2iXia 22 X2alnxna2nXnb2bianiXi如果它的系数行列式an2X2annXnbn1Xj DDj证把方程组写成向量方程Ax0,则它有唯一解i一(bi Ai jDbn Anj )(j1,2,n)这里A表明X由于A也就是（aij）n n为n阶矩阵，因AxA 1b是方程组的解向量i AiA，所以AXiX2Xn1 . Xj

36、D biAijAA ibA ibAiAi。，故A存在.，也是唯一的解向量iA b,即DA2iA22bb2bnbnAnj(jbiAib2 A21bnAnihAi2b2 A22bnAn2hAnb2 A2nbnAnni,2, ,n)第52页，共40页本授课单元教学手段与方法:讲授为主，练习为辅，通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学 生掌握分块矩阵的加法运算，数乘运算，矩阵乘矩阵的运算，以及求逆矩阵的运算，并列举了几个典型例 子的运算.本授课单元思考题、讨论题、作业：P55:26;P56:29.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）线性代数附册学习辅导与习题选

37、讲（同济第四版）线性代数课程教案授课类型 理论课授课时间1 节授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组§ 3.1 矩阵的初等变换本授课单元教学目标或要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）1 .基本内容定义与记号r初等行变换 代 rj，n kj krj）, A与B行等价（A B）；c初等列变换（cCj ,Ci k,Ci kCj）, A与B列等价（A B）;初等变换Z B等价（A B）.矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形Er02 .重点矩阵的初等变

38、换对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：（1）交换矩阵的两行（列）；（2）以一个非零的常数 k乘矩阵的某一行（列）；（3）把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）.3 .例题与解题方法参见PPT本授课单元思考题、讨论题、作业：P79(3)线性代数课程教案授课类型理论课授课时间2节授课题目（教学章节或主题）：第三章矩阵的初等变换与线性方程组§ 3.2 初等矩阵本授课单元教学目标或要求：知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）1 .基本内容初等矩阵（1）定

39、义单位阵经一次初等变换所彳#矩阵称为初等矩阵.（2）对矩阵A作一次初等行（列）变换相当于用对应的初等矩阵左（右）乘人.（3）初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：初等变换初等矩阵逆变换逆矩阵rirjCiCjE(i,j)rirjCiCjE(i, j)ri kC kE(i(k)rikG k1 E(i(-) krikrjCj kCiE(ij(k)ri krjCjkcE(ij( k)r（4）方阵A可逆 AEA P1P2L P （P为初等矩阵）A B存在可逆矩阵 P,Q使B PAQ.rr 若（A,B）（E, X）,则A可逆，且X A1B.特别地，若（A, E）（ E, X）,则A可逆，且

40、X A 2.重点、难点对矩阵A作一系列初等行（列）变换，相当于用可逆矩阵左（右）乘A,由此引出用初等变换求逆阵 的方法；会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵; 会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解3.例题与解题方法例1设00010100001010001000001001000001a11a12al3a14a14a13a12a11a21a22a23a24 ,Ba24a23a22a21a31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44a44a43a42a41其中A可逆，则B 1等于1(A) A P1P2(B) P1A 1P21(C) PP2 A(D) P2A 1R分析：把矩阵

41、A的1,4两列对换，2,3两列对换即得到矩阵B,根据初等矩阵的性质，有B ARP2或11B AP2P.那么 B(AP2R)例2设4阶矩阵11-11 一P P2 AP1P2A .所以应选(C).01，C且矩阵A满足关系式 A(E C 1B)TCT E,试将所给关系式化简，并求出矩阵A.解：由所给的矩阵关系得法求(C B)T1,由于1 T _ _AC(E C B) E,即 A(C_ TT _ 1B) E,故A (C B).用初等变换(C B)T,E)A (C B)T 1其他例题参见PPT本授课单元思考题、讨论题、作业:P79.3(2)4(1)线件代数课程教案授课类型理论课授课时间 1.5节授课题目

42、(教学章节或主题)：第三章矩阵的初等变换与线性方程组§ 3.3 矩阵的秩本授课单元教学目标或要求：1 .理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。2 .知道矩阵秩的基本性质。本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等)1 .基本内容矩阵的秩(1)定义 矩阵的k阶子式，矩阵的秩。Er 02 2) R(A) rA的行阶梯形含r个非零彳tA的标准形F.0 0(3)矩阵秩的性质 0 R(A) minm,n; R(AT) R(A)；若 A B,则 R(A) R(B);若P,Q可逆，

43、则R(PAQ) R(A); max R(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B);特别地，当B为列向量b时，有R(A) R(A,b) R(A) 1; R(A B) R(A) R(B); R(AB) min R(A), R(B);若 AmnBni 0,则 R(A) R(B) n.2 .重点、难点矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。3 .例题与解题方法例1.设三阶矩阵A为x11A1x111x试求秩R(A)分析矩阵A含有参数x,因此其秩一般随x的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。解：方法一直接从矩阵秩的行列式

44、定义出发讨论x11由于1x1(x 2)( x1)211x故当 x 1且 x 2 时，|A| 0,R(A) 3;当x 1时，|A| 0,且A1 1 1 ,R(A) 1;当x 2时，|A| 0,且A2112121，这时有二阶子式11120.因此 R(A) 2.方法二利用初等变换求秩x 1 11 1 x 11 xA 1x11 x111 xx110 x 11 xx 1 x 1 x200 (x 2)(x 1)因此当x 1且x 2时，R(A) 3;当x 1时，R(A) 1;当x2时，R(A) 2.例2.设A为5 4矩阵12 3 12 0 2 5且A的秩为3,求k.解：方法一用初等变换123 1123121

45、 k 2A 011 311 0 4202 505 k 6 001130333044312310 1130 0 k 1 150 00120 001512310 1130 0 k 1 150 0010 000可见，R(A) 3,则必有k 1 0,即k 1.方法二 因为A的秩为3,故其4阶子式12 3 121 k 200113110 4解得k 1.例3.设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明n,R(A) n,* R(A )1,R(A) n 1,0, R(A) n 1.证明：一，一 .C _*已知R(A) n,则A可逆，|A| 0,由AA | A | E知A可逆，所以R(A ) n.若 R(A) n 1,则

46、 A | A| 0,由 AA | A|E 0, R(A) R(A ) n, R(A ) n R(A) 1, _ _ _ - . . . . . - .一 . . . *又R(A) n 1,由矩阵秩的行列式定义有，矩阵A至少有一个n 1阶子式不为零，那么矩阵 A中至少有一个兀素非零，所以R(A ) 1,从而有R(A ) 1. 一 ._ . 一" - -_. 一* *若R(A) n 1,则A的任一 n 1阶子式为零，故A 0所以R(A ) 0.本授课单元思考题、讨论题、作业：P79.9(2)(3)线性代数课程教案授课类型理论课授课时间1.5节授课题目(教学章节或主题)：第三章矩阵的初等变换与线性方程组§ 3.4 线性方程组的解本授课单元教学目标或要求：1 .理解线性方程组无解，有唯一解或有无限多个解的充分必要条件