上海市闸北区2015届高三二模数学理试题含详细答案

1、1 / 8闸北区2014学年度第二学期高三数学(理科)期中练习卷考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域 内贴上条形码3. 本试卷共有 18 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一、填空题(60 分)本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1设幕函数 f(x)的图像经过点 8,4，则函数 f(x)的奇偶性为 _.urn uuuuuur2设复数Z 2 i,Z21 2i，在复平面的对应的向量分别

2、为OA,OB，则向量 AB 对应的复数所对应的点的坐标为_ .3. 已知定义域为R的函数 y f (x)的图像关于点1,0 对称，y g x 是 y f (x)的反函数，若X1X20，贝Vg 捲 g X2_.4. 一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为c,其中, b,c 0,1，已知投篮一次得分的期望是2,则 ab 的最大值是 _ .2n 1,1 n 2,n N5设 an1数列 an的前n项和&，则 lim Sn _.n, n 3,n Nn3x6 x 6 x 0. 设函数 f(x)，若存在互不相等的实数X1,X2,X3满足 f(X1) f(X2

3、)f(X3)，则x 4x 0.X1X2X3的取值范围_7若二项式xn1展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率X是2X9.从双曲线a2每1 a 0,b 0的左焦点F引圆 x2y2a2的切线，切点为T,延长FT交双曲b线右支于点P, 若M是线段FP的中点，O 为原点，则 MO| |MT 的值是10.把正整数排成如图(a)的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图(b)三角形数阵，现将图(b)中的正整数安小到大的顺序构成一个数列an,若 ak2015,贝Uk_2 / 81123424567 8957910 11121314 15161012

4、141617 181920 21 2223 2425171921 232526 2728 2930 313233 34 35 362628 3032 3436(a)(b)二、选择题（15 分）本大题共有 3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必 须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5 分，否则一律零分11.下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a,b为异面直线，则过a且与 b 平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体13. 已知 0 是正三角形 ABC 内部的一点，OA2OB 30C 0 ,则

5、OAC 的面积与 OAB 的面积之比 是（ ）32A. B.C.2D.123三、解答题（本题满分 75 分）本题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14. （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）如图AB是圆柱体 0。!的一条母线，已知BC过底面圆的圆心0,D是圆0上不与B,C重合的任意一点，AB 5,BC 5,CD 3（1）求直线AC与直线BD所成角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A.0B.1C.2D.312.在极坐标系

6、中，关于曲线C :4sin（），卜列判断中止确的是（3)5A.曲线 C 关于直线对称6B.曲线 C 关于直线一对称3C.曲线 C 关于点 2 -对称3D.曲线 C 关于点 0,0 对称uuu uuniur r3 / 84 / 815.（本题满分 13 分，第（1）小题各 5 分，第（2）小题各 8 分）如图所示，某市拟在长为8km道路0P的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段该曲线段为函数 y Asi n x A 0, Ox 一部分为折线段MNP，且 MNP 120 .（1 ）求M、P两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP长度的最大值.16.（本题满分 16 分，第（1）小题 5

7、分，第（2）小题 9 分）已知圆 G : x 12y28，点 G：1,0，点 Q 在圆 0 上运动，QC2的垂直平分线交 QG 于点P（1）求动点P的轨迹W方程；1（2） 过点 S 0,且斜率为k的动直线l交曲线W于A,B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB3为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由17.（本题满分 18,第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（2）小题 9 分）OSM，0,4 的图像,5 / 8设函数 y f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数 x g（t），使得函数 y f g（t）的值域仍6 / 8是A，那么称 x g(t)是函

8、数 y f(x)的一个等值域变换.(1)判断下列函数 x g(t)是不是函数 y f(x)的一个等值域变换？说明你的理由;1f (x)log2x,x 0, xg(t) t严 0 ；2f (x)x2x 1,xR，x g(t)2t,t R.(2)设函数 y f x 的定义域为D，值域为A，函数 g t 的定义域为，值域为 A，那么“ DA”是否是x g t 是 y f x 的一个等值变换”的一个必要条件？说明理由函数 y f g t 的定义域为R，求实数 m, n 的值.18.(本题满分 18 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 6 分，第(3)小题 8 分)uuruu我们把一系列向量 a i

9、 1,2 丄，n 按次序排成一列，称之为向量列，记作 an.已知向量列 an满足:UCUU1a11,1，anXn, %2 Xn 1yn1,人1yn1n 2.uu(1)证明：数列an是等比数列；理由uuu uu(3 )设n表示向量 an 1与 an间的夹角，若 0(2 )设 CnUU uuangog2an，问数列Cn中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明2a 恒成立，求实数a的取值范围(3 )设 f xlog?x 的定义域为 2,8，已知x g tf x 的一个等值对于任意的正整数n，不等式7 / 8 3近14、( 1)arcs in10(2)15.3MP ,42325.3 分(

10、2)解：法一：在MNP中，MNP 120o,MP 5.设PMN，则0。60o. 1 分MP NP MN10、3 .由正弦疋理得-，NPsin，sin120 sin sin 60。3MN型2in 60o3理科答案1、偶函数；2、1,13、6、1,647、-8、7二.选择题11、B12、A13、B一.填空题三解答题21554、-5、618b a9、10、1030故NP MN10.3 .sin3也sin 60。310二.sin3o60Q0。60。,(2)2由余弦定理得MN解法折线段赛道MNP最长为103.3MNP 120o,MP 5.NP- 2MN NP COS MNP MP2,30。时,MNP中,

11、2y23sin x6当x 4时，y 2,3sin ?3,M 4,3，又P 8,0468 / 89 / 8MP的垂直平分线上等16、( 1)QQC2的垂直平分线交QC1于点PC2PG PQ PG QG2故椭圆的标准方程为 所以(*)变为2故MN NP2 2MN2NP2MN NP 25；MN NPMNgNP即MN25NP仝？，当且仅当MN3亦即，设计为MN NP时，折线段赛道注：本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一,9 4.3还可设计为：N12吕2，从而-MN NP2254 分4NP时等号成立.MNP最长为旦？.3除了解法一、解法二给出的两种设计方法，N123,94二；点N在线段2所以动点P的轨

12、迹W是以点G、C2为焦点的椭圆2Xa设椭圆的标准方程为2每1a b 0，则2a2.2,2c 2,b2ba2c21,PQ2.2PC2C1C22,(2)直线 I 的方程为kx1-,联立直线和椭圆的方程得3kx9 12 k2x212kx 160，易知点 S 0,在椭圆内部, 所以直线I 与椭圆必交于两点1 分设A x, yi, B X2,y2，则XiX24k1629 1 2k假设在 y恒过点轴上存在定点Duuv UULVD，贝 UDA DB亠UUV0, m满足题设，则DA初1mxi,yiUUU/,DBX2,目2.2 分因为以AB 为直径的圆即x1x2yiy2m*，因为y113,y2x1x2y1my2

13、mXtX2yiy2yiy22m xx2k21 xx21 m x13X2由假设得对于任意的y 轴上存在点 D，点 D 的坐标为2 218m18 k11kx23329m 6m 159 2k21DV DV 0 恒成立，即0,1kx218m2189 m26m15kx2，解得 m01. 因此，在10 / 817、( 1)不是2丄3 3，即f X的值域为3,2444f XX2X 111 / 8当 t R 时，f g t2(1-3，即y f g t的值域仍为3, ，所以x g t是2444f x的一个等值域变换(2)不必要性的反例：2f x x ,D R, B 0,g t 2t1Q R,B 1,域为R，所以

14、 x g tmt23 n,t R 的值域为2,8, t 12 m8所以，恒有,94 m2 n 20294 m8n 803.33 3uu(2)Q anin1/ 218、( 1)a2、/ Xn 1yn 1uu数列anH.是等比数列Xn 11n2yn 1uuran 1假设Cn中的第n项最小，由C1三,C20,0C2C1.当n 3时，有cnCn 1可得2 n亦2 n12n21即_22,-1 n1n2n 6n70, n3 2或n 3 2(舍)0，又由Cnn 5.2 分此时 B D，但 f g t22*1 的值域仍为B 0,2(1 x R是f xx2x R的一个等值域变换(反例不唯一).(3)f xlog2x定义域为2,8，因为xg t是f x的一个等值域变换，且函数f g t的定义2mt 3t n2 t21mt23t n 8 t21 ,解得12 / 8即有C5C6C7L；由CnCn 1，得3 n 5，又0 C2故数列Cn中存在最小项，