第十一讲托勒密定理和西姆松定理(共3页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第十一讲：托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD；定理：在四边形ABCD中，有ABCD+ADBCACBD，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。EDCBA【解析】在四边形ABCD内取点E，使BAE=CAD，ABE=ACD，则：ABE和ACD相似，所以ABAC=BECDABCD=ACBE，又因为ABAC=AEAD且BAC=EAD，所以ABC和AED相似，所以ABCD+A

2、DBC=AC(BE+ED)，所以ABCD+ADBCACBD，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。1.1 直接应用托勒密定理例1 如图所示，P是正ABC外接圆的劣弧BC上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PBPC【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·ACPC·AB，AB=BC=ACPA=PB+PC1. 2 完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”：在RtABC中，B=90°，求证：AC2=AB2BC2【解析】：如图，作以RtABC的斜边A

3、C为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形由托勒密定理，有AC·BD=AB·CDAD·BC ，又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得AC2=AB2BC2例3 如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(ABAC)【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BCAB·CDAC·BD1=2， BD=CD故 AD·BC=AB·BDAC·BD=BD(ABAC)1.3 构造图形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是实数，且a2b2=1，

4、x2y2=1求证：axby1【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的据托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CDCDAB1，axby11.4 巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5 已知a、b、c是ABC的三边，且a2=b(bc)，求证：A=2B分析：将a2=b(bc)变形为a·a=b·bbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c【解析】：如图 ，作ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作

5、弧交圆于D，连结BD、DC、DAAD=BC，ACD=BDCABD=BAC又BDA=ACB(对同弧)，1=2于是BD=AC，则BD=AC=b依托勒密定理，有BC·AD=AB·CDBD·AC ，而已知a2=b(bc)，即a·a=b·cb2 ，比较得CD=b=BD，CD=BD，3=1=2，BAC=2ABC1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在ABC中，已知ABC=124，求证：1AB+1AC=1BC。【解析】：将结论变形为AC·BCAB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四

6、边形如图，作ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BDBC·AD=AB·CD，易证AB=AD，CD=AC，AC·BCBC·AB=AB·AC，两端同除以ABBCAC，得1AB+1AC=1BC。二、 西姆松定理西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。证明：连接DE、DF，显然，只需证明BDE=FDC，即可；因为BDP=BEP=90°，所以B、E、P、D四点共圆，所以BDE=BPE，同理可得：FDC=PFC，又

7、因为BEP=PFC=90°，且PFC=180°-PBA=PBE，所以BPE=FPC，所以BDE=FDC，所以D、E、F三点共线。西姆松逆定理：从一点P向ABC的三边（或它们的延长线）作垂线，若垂足L、M、N在同一直线上，则P在ABC的外接圆上。例7 设ABC的三条垂线AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F；从点D作AB、BE、CF、AC的垂线，其垂足分别为P、Q、R、S，求证P、Q、R、S在同一直线上。【解析】设ABC的垂心为O，则O、E、C、D四点共圆，因为由西姆松定理有：Q、R、S三点共线，又因为O、F、B、D四点共圆，且由西姆松定理有：P、Q、R三点共线，所以P、Q、

8、R、S四点共圆例8 四边形ABCD是圆内接四边形，且D是直角，若从B作直线AC、AD的垂线，垂足分别为E、F，则直线EF平分线段BD。【解析】作BGDC，由西姆松定理有：F、E、G共线，又因为BFD=FDG=DGB=90°，所以四边形BFDG为矩形，所以对角线FG平分另一条对角线BD。例9 求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。【解析】如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中，AB交CD于点E，BC交AD于点F，圆BCE与圆CDF的另一个交点为G，所以BGF=BGC+CGF=BEC+CDA，所以BGF+A=180°，即圆ABF过点G，同理圆AED也过点G，所以元BCE、元CDF、元ABF，元AED交于同一点G，若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P，有西姆松定理可知，L、M、N在一条直线上，M、N、P在一条直线上，故L、M、N、P在同一条直线上。例10 四边形ABCD是圆内接四