柯西不等式与排序不等式VIP

1、柯西不等式设4,%及4,%为任意实数，那么有不等式n2/、（n小斗；）2<=1/=1/X<=1成立，其中当且仅当4二%二"二0或4=屹（'=12，?）等号成立。这确实是闻名的柯西（化心）不等式。柯西不等式的证明利用二次函数证明柯西不等式构造二次函数fW=（qx+4+（a2x+b2y+-+（anx+bn羊二（42+a2+。；）/+2（咽+%+。也）x+（；+片+：）."+W+耳之0且恒成立/.A=4(«1Z?I+a2b2+勺)2-4("；+；+；)(；+<+耳)<0(afy+a2b2+a也)<(+°：乂圻+片

2、+.+幻_JL=4”时等号成立。色="=其中当且仅当q-A=0（i=l，2）即4b2利用不等式的大体性质证明柯西不等式依照高中所学习的大体不等式，实数a <b<=> ab < 0,。一 >0<> a >b因此，要证明只需证(n(n(n2-£岫>or=t/=!/i/证明:(nn ( 2石 »工岫工耳一2。也工。也<=1/；=1c=i/；=1浙NZ她勺%i=l)=1Z=l=1££哨-2*蜃也*+£W哂、乙(=1)=1/=1/=1/=1;=1)；次£（一号-2她%+4&#

3、187;：）二乙/=1;=12：之£（的-明）之。-乙i-1>1馋磔Jv传耳）伐月）故»=1/=!）<=1/当且仅当血一%”=00、j=12,）04=桃（仁为常数，j=l,2,）时，上式等号成立。利用数学归纳法证明（1）当=2时，有储+引侬+用）二(q4+a2b2y+(q4-a2b)2当且仅当他一“2优=°（2）假设当时，（3）当=%+1时,率叵E当且仅当i际）1即4=幼（为常数,即4=幼（k为常数，=1，2）时，上式等号成立。命题成立。（女+火+1AZd2Xf/-I八，1）二帽不硼舸+/唇I际卜"Jk+l（A+l2=（SMI）2-Z她/=l

4、k/=17k+i|%+J气_""与4,所有的助（'=12M+D同号。'=12M+1）时，等号成立。由数学归纳法命题成立。由算术平均数推导得出柯西不等式若是那么平(当且仅当x=y时取"二，号)。将算术平均数xy<-(x2+y2)变形可得：.2“n=Y/yO对金且£,设xy<-(x2+y2)由不等式2V一，有将个不等式相加得那么有当且仅当图后一且所有的她同号，即4=纳（为常数，1=12时，上式等号成立。利用向量的内积证明柯西不等式n设两个向量工（吗可），屋（4也2）,内积由（"）二?3所给出，那么有（布）=£&

5、quot;；伍可=1>:J-l,J-1由（x，y）<（x，x）（y，y）（纥九y-S"?wrz不等式）有<（aya）（b,b）当且仅当"四一%=0（'、尸12,）即=屹"为常数，j=l,2,时，上式等号成立。利用Jensen不等式证明柯西不等式关于函数。（工）=W，（x>0）,O'（x）=2x而（x）=2>o故0（x）=f是（0,+8）上的凸函数，由几“不等式X。也(=1i=l 7故原不等式成立。利用二次型正定性证明柯西不等式由完全平方公式：对任意数/(a+b)-=02+2ab+b二(M+勿2厂=+bt;+2afytt

6、2>0(j=1,2,)将个不等式相加得设二次型ix卜+2必也化之。j-1/-17J-1/故/为半正定，必有二次型矩阵正定>0(nY ( n V Z«A < Ezvr=l/ /=! / r=l当且仅当4%勾时等号成立，故原不等式成立。柯西不等式的变形在中学数学中，常常运用的是柯西不等式的变形，那个地址咱们给出四种柯西不等式的变形公式-yai变形14”,有9J,等号成立当且仅当住4g斗2变形2"R,有3八,等号成立当且仅当=4=%/-II变形344右叱，有，,等号成立的充分必要条件是“=屹,有I八/0/1-1等号成立的充分必要条件是4=4="4柯西不

7、等式的推行定理设金 N*且? 2 2 , % wR ,(i = L2,3,，j = 1,2,3,/)当且仅当巧1：021:am=a2：/2：金2二二4“：a2n：时等号成立。证明（由数学归纳法证明）（1） 当?=2时，由柯西不等式知定理成立（2） 假设当机=攵时.，不等式成立一口%，nZ4HIL”】Iz/Jzj-i7（3） 那么当加=攵+1时，由归纳假设zm俨y-lk)-17A+ln(k氏7ZFh尸7-lka<nA+lA+l当且仅当""：的:如二2：22:二二4：出:“E时等号成立-k( k t1、传(诚皿小江卜E IKy-1口许口上 口火当且仅当，时等号成立将(1)

8、,(2)两式相乘，得.rl-|-1k,、(kxYTraT卜()二八zhu)n-7dn-r口次可中jiZ)L/-1V/-/J</-IkJ-IJLJ1-1).乂因为因此口喏:训=n若:配+甲=二口%:佻叫当且仅当g-=«时等号成立。因此"I，II“n z-rI J-ln(氏+1、zn%_“VJ-17因此，当机=攵+1时，不等式也成立故对任意?wN+,?N2,不等式都成立。排序不等式设有两组数a_l,a_2,a_n;b_l,b_2,b_n知足a_lWa_2WWa_n,b_lWb_2WWb_n,那么有a_lb_n+a_2b_n-l+a_nb_lWa_lb_t_l+a_2b_t

9、_2+a_nb_t_n<a_lb_l+a_2b_2+a_nb_n.式中t_l,t_2,t,n是1,2,n的任意一个排列，当且仅当a=a_2=.=a_n或b_l=b_2=.=b_n时等号成立。排序不等式的证明：慢慢伐整法。当n=2时，不妨设a_lWa_2,b_lWb_2,那么albl+a2b2-(a2bl+alb2)二(a一a_2)(b_l-b_2)20.因此n=2时成立。当n>2时，只需别离证明两个不等式即可。不妨设a_l<a_2W.Wa_n,b_lWb_2W<b_n。A.乱序和W同序和考察a_lb_t_l+a_2b_t_2+a_nb_t_n)«若是t_l=l,那么考察t_2«若是t_i=i,i=l,k,那么考察t_k+lo现不妨设第一个知足t_k>k的顶脚标为m,即ab+a_2b_2+.+a_mb_t_m+a_nb_t_n),t_m>mo而且找到含有b_m的项，设其为a_lb_m,lm。于是，由于Wa_l,b_t_m2b_m,因此a_mb_m+a_lb_t_m2a_mb_t_m+a_lb_m.因此，这两项排成同序和后变大。调整后的式子变