现代量子力学基础

1、现代量子力学基础第一章 绪论：经典物理学的困难 第一章 目 录1.1 辐射的微粒性4（1）黑体辐射4（2）固体低温比热：5（3）光电效应：7（4）康普顿散射（Compton scattering）81.2 原子结构的稳定性9（1）原子行星模型：9（2）元素的线光谱91.3 物质粒子的波动性10（1）德布罗意假设（de Broglie 1923年）10（2）物质粒子波动性的实验证据11 第一章 绪论：经典物理学的困难1.1 辐射的微粒性（1）黑体辐射所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。G. Kirchhoff（基尔霍夫）证明，对任何一个物体，辐射本领与吸收率之比是一个

2、与组成物体的物质无关的普适函数，即 （与物质无关）。辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，以表示。所以,在时间，从面积上发射出频率在 范围内的能量为： 因此，的单位为；可以证明，辐射本领与辐射体的能量密度分布的关系为 （单位为）吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额。由于黑体的吸收率为，所以它的辐射本领 就等于普适函数（与物质无关）。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。我们也可以以来描述。 ()A. 黑体的辐射本领实验测得黑体辐射本领与的变化关系在理论上， 维恩（Wein）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领 （k为Bo

3、ltzmann常数：） 瑞利金斯（Rayleigh-Jeans）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领 仅当频率足够低，温度足够高时（）符合实验（即）。而在很高，即很小时，发生无穷，这即紫外灾难。 而维恩在低波符合，高波不符。所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。B斯忒藩玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law）他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度 成正比 （事实上，）显然，维恩或瑞利金斯公式都得不出这样的结果。CWein位移定律维恩发现，对于一确定的，相应地有一波长，使达极大，而。 即 这一定律也是无法用维恩或瑞利金斯

4、公式给出回答。总之，在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失败了。（2）固体低温比热：根据经典理论，如一分子有个原子，则一克分子固体有No个自由度（No为Avogadros number，阿伏伽法罗数，）所以，固体定容比热： （为气体常数）称为能均分定律（DulogRelit经验规律）。实验发现，对单原子固体，在室温下符合，但在低温下，是以，因而理论与实验结果不符合。如何解决这些问题呢？普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量显示，即能量模式是不连续的。 （，） ）所以，辐射的平均能量可如此计算得：经典的能量分布几

5、率 （玻尔兹曼几率分布）所以对于连续分布的辐射平均能量为 而对于Planck假设的能量分布几率，则为 于是，用电动力学和统计力学导出的公式 （RayleighJeans）应改为 这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。 当 （高频区） （即Wein公式 ）当 （低频区） （RayleighJeans） Stefan-Boltznmann law 维恩位移定律 从而有 低温定容比热由总辐射能量密度（） (横波所受)可推出固体中原子振动能为 （即固体中声速）所以，低温下，定容比热 这一公式只适用于低温，因固体中原子振动有最高频率的限制（声波在固体中波长不短于晶格距离2倍，即，），而在

6、低温下，高频并不激发，因此，影响可忽略（推导辐射总能时高频是计及的，但低温下高频影响可忽，所以这推出的公式只适用于低温）。（3）光电效应：光电效应的主要现象：当单色光照射到金属表面上，有这样一些现象（使人迷惑的特点）：A发射光电子的生成依赖于频率，而与光强度无关。要有光电子发射，光频率就必须大于某一值，即有一最低频率。B当照射光的频率时，发射出的光电子动能大小与光强度无关。这从经典物理学基础去看是非常难以理解的，因为光的能量是正比于强度而与频率无关。因此认为光波强度增加时，光波中电场振幅增大，应该会加速电子达到较高的速度和较大的动能，从而离开金属，所以光强度越大，飞出的电子动能越大，而能有光电

7、子产生，也并不需要大于一定频率，即与频率无关。所以，经典理论与实验截然相反。A. Einstein假设一束单色光由辐射能量大小为的量子组成，即假设光与物质粒子交换能量时，是以“微粒”形式出现，这种“微粒”带有能量。电子要飞离金属，必须克服吸引而做功（克服脱出功），所以飞出电子的动能 功函数 电子吸引两个光量子的几率几乎为，所以，要飞离金属，则至少 ， 即有一最低频率。而 我们可以看到，核心的问题是一束单色光可以转移给一个电子的能量除以频率为一常数 而这一常数与，光强度，电子及金属材料无关。这一常数并不能由经典物理学中常数所给出。所以，是一个与经典物理学完全不相容的关系。（4）康普顿散射（Com

8、pton scattering）实验发现，单色射线与电子作用使电子发生散射，其散射射线的波长 这样一个实验结果和特点也是经典物理无法解释的A. Einstein认为射线在与电子相互作用时是以“微粒”形式出现，因此交换能量和动量，而其能量和动量为 ， 假设电子开始处于静止状态，根据能量，动量守恒，有 2/c2-2 即 称为电子的康普顿散射波长，它等于 所以，从黑体辐射，固体低温比热，光电效应和康普顿散射的实验事实讨论中，我们可以得出结论：辐射除了显示其波动性外，在与物质的能量和动量的交换时，还显示出微粒性，两者之间的关系 而，。所以，起着重要的作用，很小，在很多场合，这种量子效应不显示，这时不连

9、续连续，辐射的微粒性消失。1.2 原子结构的稳定性（1）原子行星模型：卢瑟福（Rutherford）组用粒子轰击原子发现，粒子以一定几率散射在大角度方向上，每两万个粒子约有一个粒子返回，飞向源的方向，从而提出原子的行星模型。以这一模型计算散射微分截面，与实验符合得非常好。按照原子行星模型，原子中电子绕原子核运动，则电子在进行加速运动。因此会不断辐射能量（其功率为，即，为加速度）。从而应该发生原子坍塌（秒），但事实上没有出现这现象，原子基态是出奇地稳定，没有辐射发现（因负电荷粒子加速）。（2）元素的线光谱 （氢原子） （类氢原子应为， ） 为解释这些现象，N.Bohr（尼.玻尔）提出二点假设：

10、原子仅能稳定地处于与分立能量（）相对应的一系列定态中，不辐射能量。 原子从一个定态到另一个定态时，也就是电子从一个轨道跃迁到另一轨道时，将吸收或发射电磁辐射，其辐射的能量等于两定态的能量差，其频率为 为了确定电子的轨道，即定态相应的分立能量，玻尔提出了量子化条件，即电子运动的角动量是量子化的。 （） （圆形轨道） 后来，索末菲尔德（Sommerfeld）推广了这一量子化条件，对于任何一个周期运动，有量子化条件 （） 广义坐标，广义动量。 例：考虑一电子绕电荷为的原子核在一平面中运动，求其可能的定态能量。 解： 根据有心力下角动量守恒，所以 常数 （） 由 （） 于是有 旧量子理论虽然在解释氢原

11、子和类氢原子上取得一定成功，但对多电子体系，半整数角动量等等无能为力，特别是人为假设（加速不辐射和量子化条件等）。因此，要求有崭新的基础来说明客观存在与经典物理学矛盾的事实。1.3 物质粒子的波动性（1）德布罗意假设（de Broglie 1923年）它根据对辐射具有微粒性的研究而进一步推论，建议：具有一定动量的粒子和一定波长的波相联系 即 （）称为德布罗意关系当然，能量与频率关系仍为 （称为Einstein关系）这两关系，把粒子的动力学变量与波的特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能量和动量的自由粒子，相应地有确定的频率和波长（波数）及一定的传播方向。而我们知道，有一定频率和波长的波（并

12、有一定的传播方向）是一平面波 ， 通常把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波称为德布罗意波（物质波）而一般可计算得，物质微粒的波长，氧原子尺度DNA分子尺度, 电子波长。 因此，通常物质微粒不显示出波动性，而电子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。波长计算 当电子 ，则 （2）物质粒子波动性的实验证据A 戴维逊、革末（Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707）当可变电子束（）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度方向有强的反射（即有较多电子波吸收），而满足 若，则上式与光栅衍射公式相同（），它证明了，电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长 这现象无法用粒子的图象来解释。B. G.P.Thomson实验（1927年）（年测定）电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反映了电子的波动性（，所以波长，可穿透厚度为的箔）。如象射线照到单晶 粉末压成