专题五立体几何

1、专题五立体几何第三讲 空间向量与立体几何、选择题1 .以下命题中，不正确的命题个数为（）已知ABAr）是空间任世四点,W1 AB BC+Tw-DA=0;若% c为空间一个基底.则 q+ b. b I Ct c I u构成空 闾的另一个基底*对空佃任盘点门和不典线三点Aa<G若济=上战I 了隔 4 M疋（其中jro, ；tR）,则P.A.Ik C四点共面.C. 2解析：由向量的和运算知正确.a, b, c为空间一个基底，则a, b, c为两两不共线的非零向量.不妨假设 a+ b = x(b + c) + y(c+ a),即(1 y)a+ (1 x)b (x+ y)c= 0.1 x= 0a、

2、b、c 两两不共线，1 y= 0x+ y = 0不存在实数x、y使假设成立，故正确.中若加入x+ y+ z= 1则结论正确，故错误.答案：B2 .在正方体 ABCD A1B1C1D1中，给出以下向量表达式： CA I?AtX）前下 ®（bT：+ 丽"> -D|: J <75-祎 -2 Dl >®<Bj D A, A）卜DM其中能够化简为向 的是（）A.11 C,D9 4 >- 解析：中（几 U-/A>- AB= Aft-AB=1 而G - nt（ -気-Tua»中（前一Pb -衣面=斎贰工丽辛巾（BJA I瓦花+而=

3、rv>I °=耳成/帀几所以选a.答案：A乳八、玖CD能牢何不戈血的四点NL満足* AC = O, AC - AD=7h > AD-0, M A TK.'U U(:入钝fflZSfflJgIL锐角三角形t覚角三角形I).不确立解析-Tic-AC -AD AB>>- > 新 *FAB(T* BD-(AC A13) (AO AB)=AlF I ARp>0_JDBC是锐角.同理可证/ DCB,/BDC都是锐角./BCD是锐角三角形.答案：B4 如图所示，在正方体AF = 3aC,贝 U()A . EF至多与 AiD、AC之一垂直B . EF是Ai

4、D、AC的公垂线C . EF与BDi相交D . EF与BDi异面解析：设AB= 1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直Ai(1,0,i),线为y轴，DD 1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则D(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0), E 3，0, 3，F(y ty .0 i r)Kl Jt0)» I)! (0,0,1), At D=(- 1,0, - 1),EF-Hlh t Ai 1) EF= AC EF=O,从而 EF# BDi,EF丄几D, EF丄AG答案：D5.(2010山东烟台)二面角的棱上有 A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内

5、，且都垂直于 AB.已知AB= 4, AC = 6, BD = 8, CD = 2,17,则该二面角的大aHB. 45C. 60 °( )A.150D . 120°EU A|CD|a = |CAls I iTLr- I |BD|Z I 2 CA 苍 2忑C BD-L + 半 + 曾 f 2 X 6 X «cos( CAT BD> 一角的大小为60S故选G答案：C、填空题6.已知四边形AI3CD中，百一但5d+舟b 8小对角线4G RD的屮点分別为氐F,则卜审一(用叭乩盅衣示h解折；齐一芯 AH I 帝，又 EF-ECI CO-F7jF荊戎相加，得 2 FF=

6、(FA I FO I AB+CO+(BF hm, TE是AC中点 < 故EC-0,3理萤丨工齐-0, 所以2 eP=7Tj卜玮答案：3a + 3b 5c7.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ ACB = 90°, AAi= 2, AC = BC= 1,则异面直线直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，Ai(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，小为解析：由茶件» Jepca - 7b=otab - 7jn=otcr)=GA(2，二120°, A 二面B h 8 cj = 6 a+ 6 b JOuAiB与AC所成角的余

7、弦值是,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CCi所在AC< K0,0)t” faTi- aSm>s( A. TiF AO I寸吋ITTm e ”8.设M、N是直角梯形 ABCD两腰的中点，DE丄AB于E(如图).现将 ADE沿DE折起, 使二面角 A DE B为45°此时点 A在平面BC DE内的射影恰为点 B,贝U M、N的连线与AE所在角的大小等于答案：90°jt171AVx, y, z轴，建立空间直角坐标系.9.如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，棱长为a, M , N分别为AiB和AC上的点,，解析:分别以CiBi、AiM = AN = 哼

8、，则MN与平面BBiCiC的位置关系是CiDi, CiC所在直线为2 2N 3*, 3*, a ,陋鶯=(*0:又 Cl (0,0,0), U (O.lL.O) t 化G 戊=仙伽0*tG用是平面的法向匯丫且平面 BFCtC,MN# 平面 BB, C, G答案：平行三、解答题AAi= .3 AD 丄10如图，在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB = AD = 2, DC = 2.3,DC, AC丄BD , E为垂足.(1) 求证：BD 丄 AiC;(2) 求二面角 Ai BD Ci的大小；(3) 求异面直线AD与BCi所成角的余弦.解：在直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，T

9、AiA丄底面ABCD , AC是AiC在平面ABCD上的射影./ BD 丄 AC,. BD 丄AiC.x轴、y轴、z轴如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DDi所在的直线分别为 建立空间直角坐标系.连结 AiE、CiE、AiCi，与(i)同理可证 BD 丄AiE, BD丄 CiE./ AiECi为二面角Ai BD Ci的平面角,3 3由 Ai(2,0, ；'3), Ci(0,2 .3, :'3), E 2,亍，。，； 一缶环云=一劭讐用* 3 g* EQ = +3 = 0”44即E為丄玖二At - BD- Ci 的大小为(3)上图中，曲 rXO>fttO)M(2tOtD

10、),仃(0r2 i'3t得 AD=(-2.0,0),BG-(j5>.cos(八 D于 IU ).A AD* U(6,1 AD|K.I AD| IIEGI 2a11. （2010 山东，19）如图，在五棱锥 P ABCDE 中，PA丄平面 ABCDE ,AB / CD ,AC / ED ,AE / BC,/ ABC = 45° AB = 2 .'2, BC = 2AE = 4，三角形 PAB 是等腰三角形.(1) 求证：平面 PCD丄平面PAC ;(2) 求直线PB与平面PCD所成角的大小；求四棱锥P ACDE的体积解：(1)证明：在厶 ABC 中，因为/ ABC

11、 = 45° BC = 4, AB = 2羽，所以 AC2 = AB2+ BC2 2AB- BCcos45° = 8,因此 AC = 2 ,'2故 BC2= AC2+ AB2，所以/ BAC = 90°又 PA丄平面 ABCDE , AB / CD ,所以CD丄PA, CD丄AC.又 PA、AC?平面 PAC, 且 PAA AC = A ,所以CD丄平面PAC, 又 CD?平面PCD,所以平面PCD丄平面PAC.解法一：因为 PAB是等腰三角形，所以 PA= AB = 22,因此PB= 'PA2 + AB 2=4.又 AB / CD.所以点B到平面

12、PCD的距离等于点 A到平面PCD的距离.由于 CD 丄平面 PAC, 在 RtA PAC 中，PA= 2 2, AC = 2 '2，所以 PC = 4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离.所以B到平面PCD的距离为h = 2.设直线PB与平面PCD所成的角为0,则 sin 0= PB = 4解法二：由知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以 AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于 PAB是等腰三角形，所以PA = AB = 2.2,又 AC = 2 2，因此 A(0,0,0) , B(2 .2, 0,0), C(0,2 , 2, 0), P(

13、0 , 0,2 , 2),因为 AC / ED , CD 丄 AC ,所以四边形ACDE是直角梯形.因为 AE = 2, / ABC = 45° AE / BC ,所以/ BAE = 135° 因此/ CAE = 45°故 CD = AE-sin 45 = 2 只舟= 2,所以 D( ；2, 2 ；2, 0).因为 CP= (0, 2 ,；2, 2 ,2), CD = ( ,2 0,0)设m= (x, y, z)是平面PCD的一个法向量，则 m CP= 0, m Cd = 0，解得x= 0,y= z,取 y=1，得 m= (0, 1, 1),又 BP = ( 2羽

14、,0,2匹),设B表示向量BP与平面PCD的法向量m所成的角，则1 0-鉴斗価以“手，Iml IBPI 2*因此直线PB与平面PCD所成的角为n6因为AC/ ED , CD丄AC,所以四边形ACDE是直角梯形.因为 AE = 2,Z ABC = 45° AE / BC,所以/ BAE= 135° 因此/ CAE = 45°故 CD = AE sin 45 = 2乎=承，ED = AC AE cos 45 =2 .'2 22" = 2,所以S四边形 ACDE =2 t2 2 X ：'2= 3.APA丄平面 ABCDE.a Vp-acde =

15、 3X 3X 2 '2= 2 .212. (2010福建)如图圆柱 001内有一个三棱柱 ABC A1B1C1, 棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)证明：平面 A1ACC1丄平面B1BCC1;设AB = AA1.在圆柱001内随机选取一点，记该点取自 于三棱柱ABC A1 B1C1内的概率为p.(i )当点C在圆周上运动时，求 p的最大值；(ii )记平面A1ACC1与平面B10C所成的角为 &0 ° 9< 90 °).当p取最大值时，求 cos解：解法一： 证明：I A1A丄平面ABC, BC?平面ABC,： A1A丄BC.

16、/ AB是圆0的直径， BC丄AC.又 ACA AiA= A, BC 丄平面 AiACCi.而 BC?平面 BiBCCi,所以平面 AiACCi丄平面BiBCCi.故三棱柱 ABC AiBiCi的体积Vi(2)( i )设圆柱的底面半径为r，则AB = AAi = 2r,iAC BC 2r = AC BC r .又 AC2 + BC2= AB2= 4r2, AC BC < AC + BC2当且仅当AC = BC= '2r时等号成立.i，当且仅当AC= BC = 2r，即n1从而，Viw 2r3.3而圆柱的体积 V= n2 2r = 2 n3,故P= vj w-3 =v 2 n(i

17、i )由(i )可知，p取最大值时，OC丄AB.于是，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系0 xyz(如图),则 C(r,0,0), B(0, r,0), Bi(0, r, 2r). BC丄平面 AiACCi, BC = (r, r,0)是平面AiACCi的一个法向量.设平面BiOC的法向量n = (x, y, z),r.r0.Atrvn-Of取z= i，得平面BiOC的一个法向量为 n = (0, 2,i).IF*解法二：(i)同解法一.(2)( i )设圆柱的底面半径为 r，则AB = AAi = 2r，故三棱柱 ABC AiBiCi的体积Vi =1AC BC 2r = AC BC r .设/ BAC = a° ° a<90°，贝V AC = ABcos a= 2rcos a, BC= ABsin a= 2rsin a,由于AC BC = 4r2sin aos a= 2r2sin 2 a 2r2，当且仅当 sin 2 a= 1 即 a= 45°寸等号成立故i3Viw 2r3.而圆柱的体