拉普拉斯变换和逆变换

1、word15 / 13第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。第一节拉普拉斯变换在代数中，直接计算3N6.283/察202(1.164户是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为13lgNlg6.28(lg5781lg9.82lg20)lg1.16435然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数No这是一种把复杂

2、运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。一、拉氏变换的基本概念定义12.1设函数”当10时有定义，若广义积分of(t)eptdt在P的某一区域收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P),即F(P)f(t)eptdt0(12.1)称(12.1)式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t)F(P)表示。函数F(P)称为f(t)的拉氏变换(Laplace)(或称为f(t)的象函数)。函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作L1F(P)f(t),即f(t)L1F(P)o关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求f(t)在

3、t0时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t0时，f(t)0。(2)在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数围取值。为了方便起见,本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。它是一种积分变换。(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例12.1求斜坡函数f(t)at(t0,a为常数)的拉氏变换。解：Lat ate ptdt-td(e pt) -e ptP 0Pe ptdtapt0 - e pdtp 0a pt-e Popa/ (p 0)、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉

4、冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时（设为t0）进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i（t）,以Q（t）表示上述电路中的电量，则Q由于电流强度是电量对时间的变化率，即0, t1, tdQ(t) Q(t i(t) lim dt t 00,0.t) Q(t)所以，当t0时，i（t）0；当t0时,i(0)limQ(01Qlim(-1)t0tt0t,上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。定义12.20,t0、一1设（t）-,0t，当0时，的极限（t）li

5、m。（t）0,t称为狄拉克（Dirac）函数，简称为S-函数。当t0时，（t）的值为0;当t0时，（t）的值为无穷大，即（t）0,t0,t01显然，对任何0,有(t)dt01dt1,所以(t)dt1。函数用一个长度函数的积分，叫做函数的强度。工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示例12.2求单位脉冲信号（t）的拉氏变换。解：根据拉氏变换的定义，有0eptdtlim0 0dtnt1ntL(t)(t)edt(lim)edtlim00001ept11ep1(1ep)1peplim0lim-e-lim-(一e-)-lim-p10pp0p0()p

6、01L(t)1。例12.3现有一单位阶跃输入u（t）,1 ,求其拉氏变换。1, t 0解：Lu(t) u(t)e ptdt例12.4求指数函数f(t) eat1*e ptdt -e pt00p（a为常数）的拉氏变换。atat pt I i斛：Le o e *edt(p a)te dt，(pa),即Leat(pa)Pa类似可得Lsint2(p0);Lcost2p2(P。)。PP三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。性质12.1(线性，f生质)若a,a?是常数,且Lf)E(p),Lf2F2(p),则Laifi(t)a2f2(t)aiLfi(

7、t)azLf。)a1F1(P)azF2(p)(12.2)证明：La1fl(t)a2f2a1fl(t)a2f2(t)eptdta1f1(t)eptdta2f2(t)eptdt000a1Lf1(t)a2Lf2(t)aF-p)a2Fz(p)1例12.5求函数f(t)-(1e)的拉氏变换a解：1at1at1at1111L(1e)L1eL1Le；aaaappap(pa)性质12.2(平移性质)若Lf(t)Fp,则Leatf(t)F(pa)(a为常数)(12.3)证明：Leatf(t)eatf(t)eptdtf(t)e(pa)tdtF(pa)00at位移性质表明：象原函数乘以e等于其象函数左右平移|a|个

8、单位。例12.6求Lteat,Leatsint和Leatcost。解因为Lt当，Lsint2,Lcost2p2,由位移性质即得pppLteat 1(p a)2Le at sint 2(p a)Le at cos tp a (p a)2性质12.3 (滞后性质)若Lf(t)F p,则证明：Lf(t a) e apF(p) (a 0)aLf (t a) f (t a)e ptdtf (t a)e ptdt0_0(12.4 )f (t a)e pt dta在拉氏变换的定义说明中已指出，当t 0时，f(t) 0。因此，对于函数f(t a),当t a 0(即1 a)时，f (t a) 0,所以上式右端的

9、第一个积分为0,对于第二个积分，令t a ，则Lf (t a) f()ep(a)d e ap f()epd eapF(p)滞后性质指出：象函数乘以e ap等于其象原函数的图形沿 t轴向右平移a个单位。由于函数f(t a)是当t a时才有非零数值。故与 f(t)相比，在时间上滞后了一个 a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点， 常在f(t a)这个函数上再乘u(t a),所以滞后性质也表示为Lu(t a)f(t a) 例 12.7 求 Lu(t a)。1解：因为Lu(t)由滞后性质得 Lu(tP例 12.8 求 Lea(t)u(t)。1解：因为 Lea

10、t,所以 Lea(t )u(tP a0, t 0eaPF(p)ap 1a) e o P)e P，(PP aa)例12.9已知f (t)c,2c,t a ,求 Lf(t) ot 3a0,t3a解：f可用单位阶梯函数表示为f(t)cu(t)cu(ta)2cu(t3，于是Lf(t)CCap C3ape2 ePP P由拉氏变换定义来验证：aLf(t) ce ptdt0c-(1 pap3 ape 2e )3a2ce ptdtac(1 eap 2eap 2e3ap) - (1 e ap 2e 3ap)PPo性质12.4 (微分性质)若Lf(t) Fp,并设f(t)在0, +段连续，则Lf(t) pF(p)

11、 f(0)证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得)上连续,(12.5)一一 一f (t)为分Lf(t)0 f (t)ePtdtf(t)ePt0可以证明，在Lf(t)存在的条件下，必有Jim f (t)e PtP f (t)e ptdt00。因此，L f (t) 0 f(0) pLf(t) pF(p) f(0)微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ,再减去函数的初始值。应用上述结果，对二阶导数可以推得- 一_一一一 一一 2 _一一一Lf (t) PL f (t) f (0) PPF(P) f(0) f (0) pF(p)pf(0) 同理，可得Lf (t) P午(

12、P) P2f(0) Pf (0) f (0)以此类推，可得Lf(n)(t)pnF(p) pn1f(0) Pn2f (0) f(n1)(0)f (0)(12.6 )由此可见，f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数Fp的代数式表示出Lcu(t)cu(ta)2cu(t3a)来.特别是当初值f(0)f(0)f(0)f(n1)(0)0时，有更简单的结果(12.7 )t ,由Lf(n)(t)PnF(p),(n1,2,)利用这个性质，可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程。例12.10利用微分性质求Lsint和Lcost。解：令f(t)sint,则f(t)sintf(0)0,f(0),f(

13、0)2sin(12.6)式，得L2sintLf(t)p2Lf(t)pf(0)f(0)即2Lsintp2Lsint移项化简得Lsint-2p1利用上述结果，cost(sint)及(12.5)式，可得Lcos t111，、L(sint)L(sint)pLsintsin01pp2012pp性质12.5(积分性质)若Lf(t)F(p)(p0),且设f(t)连续，则tF(p)(12.8 )Lf(x)dx0pt证明：令(t)f(x)dt,显见(0)0,且因(t)f(t),由微分性质,L(t)pL(t)(0),而1(t)Lf(t)F(p),所以有tt1F(p)pL(t)pL0f(x)dx，即Lf(x)dx-

14、F(p)o00p积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数例 12.11 求 Ltn解：因为tt1dx, t20(n是正整数)。t2xdx, t303x2dxtnn nx1dx所以由(12.8)式即得,1LtLt1dx型1当0ppp2t2Lt2!Lt2L2xdx-1-3,0 ppLt3L3tx2dxW,0 pp一般地，有ntn1nLtn1n!LtLnxdtn-10 pp性质 12.6 若 L f (t)性质 12.7 若 Lf(t)性质 12.8 若 Lf(t)F p,则 a 0 时-1 pLf (at) F(P)a aF p,则Ltnf(t) ( 1)nF(n)(

15、p)Fp,且阿平存在，则L*F(p)dpt p(12.9 )(12.10 )(12.11 )例12.12求Ltsint。解：因为Lsint2,由(12.10)式可得pLtsint(1)-d(2)/2P2、2dpp(p)例12.13求Lsnt。t1一一sint斛：因为Lsint,而且lim1,所以由(12.11)式可得p21t0tSint11L-dparctgp|p-arctgptpp12则eptdtarctgp。因此，当p0时，得到一个广义积分的值t2则dt-0t2这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:表12.1拉

16、氏变换的性质序号设Lf(t)F(p)1L&f1(t)a2f2(t)&Lf1(t)a2Lf2(t)2Leatf(t)F(pa)3Lf(ta)u(ta)eapF(p)但加4Lf(t)pF(p)f(0)Lf(t)pnF(p)pn1f(0)pn2f(0).f(n1)(0)5Lf(x)dxF(p)0p6Lf(at)1F凸aaa7Ltnf(t)(1)nF(P)8L*F(p)dpp表12.2常用函数的拉斯变换表序号f(t)F(P)1(t)12u(t)1P3t12P4tn(n1,2,.)n!n1p5eat1Pa61eataP(Pa)7teat1(Pa)28tneat(n1,2,)n!n1(Pa)9sint22

17、P10costp22P11sin(t)psincos22P12cos(t)pcossin22P13tsint2p(P22)214sinttcost23222(p)15tcost22p222、2(p)16eatsint22(pa)17eatcostpa(pa)22181-.、(1cosat)a122p(pa)19.atbteeab(pa)(pb)20中1_pvp211A/p习题12.11.求下列函数的拉氏变换(1) f(t)e4t(2) f(t)t2(3) f(t)teat(4) f(t)sin(t)(,是常数)2.求下列题中函数的拉氏变换(1)3e4t(2)5sin2t3cost(3) f(t

18、)1,1,(4)f(t)sint, t,0,0t2(5) f(t)1,2t4(6)f(t)tneat0,4t第二节拉普拉斯逆变换f(t)求它的象函数F(p)的问题.运算法的另一面f (t),这就是拉斯逆变换问题.在控制工程中，求拉同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列前面我们主要讨论了怎样由已知函数是已知象函数F(p)要求它的象原函数氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。出.性质12.9(先行性质)L1aF(p)a2F2(P)弘怔a2L1F2(p)a/i(t)a2f2(t)。性质12.10(平移性质)L1F(pa)eatL1F(p)eatf。.1ap性质12.11(滞后性质)LeF(p)f

19、(ta)u(ta)。例12.14求F(p)22P3的逆变换。p22p5解:f(t)1 p2L 1(p 1)12TL1 pZ2P 32 2p 55L2Ly2(p 1)2 41(p 1)2p 3p3 4p2 4P用待定系数法求得F(p)p 3p3 4p2 4P1_一,所以23344p p 212(p 2)2于是f (t) L1F(p)3 14 p 212(p 2)22etL1p-|etL12-p42p4t552ecos2t-esin2te2cos2t-sin2t在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，

20、然后再利用拉氏变换表求出象原函数。例12.15求F(p)3p23的逆变换。p4p4p解：先将Fp分解为几个简单分式之和：p3ABC-_2-Z_2P(p2)pp2(p2)弓L1口4-L 1 1L4 p 22 2)332te441te 2t2习题13.2求下列题中函数的拉氏逆变换.2。1. F(p) - 2. F(p)P 34pp2 163. F(P)5- F(P)2P 8p2 36 23 P26 p 6p 9p4.F(p)F(p)p2 1p(p 1)21p(p 1)(p 2)第三节拉氏变换在电学中的应用、求解常微分方程例12.16求微分方程x(t)2x(t)0满足初值条件x(0)3的解。解：第一

21、步对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t)X(p)：Lx(t)2x(t)L0Lx(t)2Lx(t)0pX(p)x(0)2X(p)0。将初始条件x(0)3代入上式，得(p2)X(p)3这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程。第二步解出X(p)：X(p)113_2t第三步求象函数的拉氏逆变换:x(t)L1X(p)L1-3e2tp2这样就得到了微分方程的解x (t)3e2to例12.17有一个二阶动态电路满足微分方程y(0) 2 , y (0)1 ,求其解。解：对所给微分方程的两边分别作拉氏变换.设y 3y 2y 2e t ,并且其初值条件Ly(t) Y(p) Y,则得p2Ypy(0)y(0)3pYy(0)2Y-p1将初值条件y(0)2,y(0)1,代入，得到Y的代数方程(p23p2)Y2p7p1-2_22p25p5(p3P2)Y一PP1解出Y,得2Y2p25P5(P1)(P2)(p1)将