条件概率及有关公式课件

1、条件概率及有关公式条件概率及有关公式条件概率及有关公式第一章第一章 概率论的基本概率论的基本概念概念条件概率及有关公式 在解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1. 条件概率的概念条件概率的概念 如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生发生的概率，将此概率记作的概率，将此概率记作P(A|B). 一般一般 P(A|B) P(A) 条件概率及有关公式P(A )=1/6，例例1. 掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(

2、A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是能结果构成的集合就是B，于是于是 P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素，它们的出现个元素，它们的出现等可能的，其中只有等可能的，其中只有1个在集个在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)条件概率及有关公式 若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使 A也发生也发生 , 试验结果必须是既在试验结果必须是既在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点,即此点即此点必属于必属于AB. 由于我们已经知道由于我们已经知道B已发生已发生, 故故B变成了新的样本变成

3、了新的样本空间空间, 于是于是 有有(1). SABAB2. 2. 条件概率的定义条件概率的定义定义定义: 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAP 为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.条件概率及有关公式条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABPq 非负性非负性q 规范规范性性 q 可列可加性可列可加性 )()()()(212121ABBPABPABPABBPq )(1)(ABPABPq 条件概率及有关公式例例2. 某厂生

4、产的灯泡能用某厂生产的灯泡能用1000小时的概率小时的概率为为0.8, 能用能用1500小时的概率为小时的概率为0.4 , 求已用求已用1000小时的灯泡能用到小时的灯泡能用到1500小时的概率小时的概率.解解 令令 A 灯泡能用到灯泡能用到1000小时小时 B 灯泡能用到灯泡能用到1500小时小时所求概率为所求概率为)()(APABPABPAB218 . 04 . 0)()(APBP条件概率及有关公式由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP二、二、 乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)时

5、时, 可以反求可以反求P(AB).称为乘法公式称为乘法公式条件概率及有关公式 P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推广：推广：当当P(A1A2An-1)0时，有：时，有： 特别地，特别地，有：有：P (A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1) P(A3| A1A2)条件概率及有关公式例例3 3 盒中装有盒中装有5个产品个产品, 其中其中3个一等品，个一等品，2个个二等品二等品, 从中不放回地取产品从中不放回地取产品, 每次每次1个个, 求求（1）取两次，两次都取得一等品的概率）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率）取

6、两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率.解解 令令 Ai 为第为第 i 次取到一等品次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP条件概率及有关公式)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP5342534352（2）取两次）取两次,第二次取得一等品的概率第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率）取三次，第三次才取得一等品的概率; 213121

7、321)(AAAPAAPAPAAAP101334152条件概率及有关公式)()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP31035=1-=0.5 P A- B = P A - P AB（4）取两次，已知第二次取得一等品，求）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率第一次取得的是二等品的概率.条件概率及有关公式 例例4(波里亚罐子模型波里亚罐子模型). 一个罐子中包含一个罐子中包含b个个白球和白球和r个红球个红球. 随机地抽取一个球，观看颜随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球个与所抽出的球具有相同颜色的球

8、具有相同颜色的球. 这种手续进行四次这种手续进行四次, 试求试求第一、二次取到白球且第三、第一、二次取到白球且第三、 四次取到红球四次取到红球的概率的概率. b个白球个白球, r个红球个红球分析分析: 随机取一个球随机取一个球,观看颜观看颜色后放回罐中色后放回罐中,并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球.条件概率及有关公式 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ” 解解: 设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第

9、第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4b=b+ r=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)(乘法公式乘法公式)b+cb+ r +c2rb+ r + c3r +cb+ r + cb个白球个白球, r个红球个红球条件概率及有关公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们它们实质上是加法公实质上是加法公式和乘法公式的综合运用式和乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)

10、P(B|A)P(A)0二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式条件概率及有关公式.,2;, 2 , 1,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE 样本空间的划分：样本空间的划分：1A2A3AnA1nA条件概率及有关公式称为称为全概率公式全概率公式. BB1niii=P=P APA则对任一事件则对任一事件B，有，有定理定理:设设 为随机试验为随机试验E的样本空间的样本空间, A1,A2,An是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分,且有且有P(

11、Ai)0, i =1,2,n,全概率公式的说明全概率公式的说明:“全全”部概率部概率P(B)被被分解成了许多部分分解成了许多部分之和之和.(1)它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:A1A2A3A4A5A6A7A8B条件概率及有关公式 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现出现(分类分类），适当地去），适当地去构造这一组构造这一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算.(2).全概率公式的另一个角度理解全概率公式的另一个角度理解: 某 一 事 件某 一 事 件 B 的 发 生 有 各 种 可 能 的 原 因的 发 生 有

12、各 种 可 能 的 原 因Ai(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是A1A2A3A4A5A6A7A8BP(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)条件概率及有关公式例例5. 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号号箱装有箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取

13、得红球即即 B= A1BA2B A3B， B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123且且A1B, A2B, A3B两两互斥两两互斥条件概率及有关公式 由全概率公式由全概率公式:31iiiABPAPBP)()()(代入数据得：代入数据得：P(B)=8/15=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)例例5 . 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号号箱装有箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中某人

14、从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率任意摸出一球，求取得红球的概率.123条件概率及有关公式例例 2. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被机被一人击中而击落的概率为一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击被两人击中而击落的概率为落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击飞机必定被击落落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式: P(B)=P

15、(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1BA2BA3B解解依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1条件概率及有关公式可求得可求得: 为求为求P(Ai ) ,设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 1123123123()()P AP H H HH H HH H H2123123123()()P AP H H HH H HH H H)()(3213HHHPAP代入计算得代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A

16、1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.条件概率及有关公式 (该球取自哪号箱的该球取自哪号箱的可能性最大可能性最大?)实际中还有一类问题，是实际中还有一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球，摸出一球，发现

17、是红球发现是红球,求求该球是取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式条件概率及有关公式 1iiinjjj=P AP B AP A | B =P AP B A说明说明: 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件A已发生的条件下已发生的条件下,寻找导致寻找导致A发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 它可以帮助人们确定它可以帮助人们确定某某结果结果( (事件事件A A ) )发生的最可能原因发生的最可能原因. .ni, 21定

18、理定理(贝叶斯公式贝叶斯公式):设实验设实验E的样本空间为的样本空间为 , B为为E的事件的事件, A1,A2,An是是 的一个划分的一个划分,且且P(B)0, P(Ai)0，i =1,2,n, ，则，则 条件概率及有关公式证明.证明.由由条条件件概概率率的的定定义义及及全全概概率率公公式式有有: :iP A | B iP A B=P B iinjjj=1P AP B AP AP B A1A2A3A5AiA4AB条件概率及有关公式 例例 3. 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对，患者对一种试验反应是阳性的概率为一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对，正常人对这

19、种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了，现抽查了一个人，试验反应是阳性一个人，试验反应是阳性, 问此人是癌症患者问此人是癌症患者的概率有多大的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. C已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04CC解解: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性， 求求P(C|A).条件概率及有关公式由由贝叶斯公式贝叶斯公式, 可得可得: )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得

20、代入数据计算得:P(CA)= 0.1066 条件概率及有关公式 例例4 对以往数据分析的结果表明对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良当机器调整得良好时好时,产品的合格率为产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障而当机器发生某一故障时时,其合格率为其合格率为30%.每天早上机器开动时每天早上机器开动时,机器调机器调整得良好的概率为整得良好的概率为75%.试求已知某日早上第一件试求已知某日早上第一件产品是合格品时产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少？机器调整得良好的概率是多少？解解 设设 A=产品是合格品产品是合格品, B=机器调整得良好机器调整得良好显然显然,BB,构成了必然事件的一

21、个划分构成了必然事件的一个划分,由贝叶斯公由贝叶斯公式式,所求的概率为所求的概率为25. 0)(,75. 0)(, 3 . 0)|(, 9 . 0)|(BPBPBAPBAP已知已知9 . 025. 03 . 075. 09 . 075. 09 . 0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP条件概率及有关公式B1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1)(1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式ABayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()( 全概率公式与全概率公式

22、与Bayes 公式公式B2条件概率及有关公式1.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理条件概率及有关公式.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 .)()(. 2的的区区别别与与积积事事件件概概率率条条件件概概率率ABPABP条件概率及有关公式例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再