1.2第八节闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、第九节第九节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理基本要求：基本要求：1. 了解闭区间上连续函数的性质了解闭区间上连续函数的性质 最值定理最值定理;介介值定理值定理;零点定理零点定理.2. 能正确叙述定理得条件、结论能正确叙述定理得条件、结论, 了解其几何意义了解其几何意义. 3. 能正确运用定理作一些不太复杂的证明题能正确运用定理作一些不太复杂的证明题. 一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义 设函数设函数 y=f(x) 定义在区间定义在区间I内上内上, 假设假设 , I, 对对xI

2、 有：有： f(x) f( ), f(x) f(), 则称则称 f(x)在区间在区间 I 上的最大值上的最大值 f( ), 最小值最小值 f().记为：记为： )( f)(maxxfIx )( , f )(minxfIx 例如例如:, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y定理定理1(最值定理最值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值上有界并一定有最大值和最小值.abxyo)(xfy , ,)(baCxf , ,)(baBxf . )()(min),()(max, fxffxfbabaxbax 使使得得且且 注意

3、注意 若区间是开区间若区间是开区间, ,或区间内有间断点或区间内有间断点, , 定定理结论不一定成立理结论不一定成立. .例如例如 )1,0(, xxy在在(0,1)内无最大值和最小值内无最大值和最小值. xoy11 21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122又如又如在在0,2内无最大值和最小值内无最大值和最小值. 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使若若xfxxxfx 定理定理2(零点定理零点定理) 若若f(x)Ca,b, 且且 f(a)与与 f(b)异号异号(即即 f(a) f(b)0), 则至少存在一点则至少存

4、在一点 (a,b) 使使 f( )=0.ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 注意注意 1.1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成定理不一定成立立; ;2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性零点的存在性.例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在在证明方程证明方程 xx证证, 1

5、4)(23 xxxf令令, 1 , 0)(Cxf 则则, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx几何解释几何解释:Mf(b) f(a)mab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(一个交点一个交点至少有至少有水平直线水平直线与与连续曲线弧连续曲线弧 yxfy定理定理3(介值定理介值定理) 假设假设 f(x)Ca,b, 且且 f(a) f(b),则对介于则对介于 f(a)与与 f(b)之间的任意一个实数之间的任意一个实数 , 至少至少存在一点存在一

6、点 (a,b) 使使 f() = .推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M M 与最小值与最小值 m m 之间的任何值之间的任何值. .例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令, ,)(baCxF 则则aafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使至至少少),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即.)()(称称为为辅辅助助函函数数证证明明中中引引入入的的函函数数xxfxF 设辅助函数是微积分

7、证明中常用到的技巧之一设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一.例例3 3.)3 , 2(, )1 , 0( , )2, 3(0263内内各各有有一一个个实实根根在在方方程程证证明明 xx证证,26)(3 xxxf令令, 3 , 21 , 02, 3)( Cxf则则, 06)2(, 07)3( ff而而由零点定理由零点定理,使使至至少少),3 , 2(),1 , 0(),2, 3(321 ),3 , 2 , 1( , 0)( ifi , 03)1(, 02)0( ff, 011)3(, 02)2( ff即方程至少有三个实根即方程至少有三个实根1, 2, 3.又又方程为三次方程方程为三次方程,

8、至多只有三个实根至多只有三个实根. 方程只有三个实根方程只有三个实根.命题得证命题得证.例例4 4 证明：实系数的奇次代数方程至少有一实根证明：实系数的奇次代数方程至少有一实根. . 证证)( ,0)(111为为奇奇数数naxaxaxxfnnnn , ),()( Cxf则则)(limxfx ,0)(, 011 xfx使使得得设实系数的奇次代数方程为设实系数的奇次代数方程为, )(limxfx ,0)(, 022 xfx使使得得, , ,)(21xxCxf 则则,0)()(21 xfxf且且由零点定理由零点定理,使使至至少少),(210 xxx , 0)(0 xf即方程至少有一个实根即方程至少有

9、一个实根 x0 .三、小结三、小结三个定理三个定理最值定理最值定理;介值定理介值定理;零点定理零点定理.设设 f(x) f(x) C a,b, C a,b, 那么那么: :1. f(x)在在a,b上有界上有界.2. f(x)在在a,b上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值.3. f(x)在在a,b上可取最大与最小值之间的任何值上可取最大与最小值之间的任何值.4. 假设假设 f(a) f(b)0 , 则至少存在则至少存在 (a,b) , 使使 f( )=0.解题思路解题思路1.直接法直接法2.辅助函数法辅助函数法思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义, 在在),(b