新人教版九年级数学上册：《一元二次方程的根与系数的关系》教学学案

1、*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1 .探索一元二次方程的根与系数的关系.2 .会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.一、情境导入一般地，对于关于x的方程x2+px+q = 0（p, q为已知常数，p2-4q>0）, 试用求根公式求出它的两个解 x1、x2,算一算x1 + x2、x1 x2的值，你能得出 什么结果？二、合作探究探究点：一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值1 1,“，已知mi n是万程2x2 x 2 = 0的两实数根，则m十 %的值为（）11A. -1 B. 2 C . -2 D . 1解析：根据根与系数

2、的关系，可以求出m n和mn的值，再将原代数式变形 后，整体代入计算即可.因为 m n是方程2x2 x 2=0的两实数根，所以m1 1 n+m 2n 2，mnR 1，mn- mn 1 -1 一 ，2.故选C.方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提: 方程有两个实数根时，判别式大于或等于 0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程£12已知一元二次方程的两根分别是4和5,则这个一元二次方程是()A. x2 6x + 8 = 0 B . x2+9x1=0C. x2 x 6 = 0 D . x2 + x 20= 0解析：二.方程的两根分别是 4和一5,设两根为x1

3、, x2,则x1 + x2=1, x1 x2= 20.如果令方程 ax2+bx+c=0 中，a=1,则b= 1, c= 20. 方程为x2 + x 20=0.故选D.方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项.【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解ffiB （2014 云南曲靖）已知x = 4是一元二次方程x2 3x + c=0的一个根， 则另一个根为.解析：设另一根为x1,则由根与系数的关系得x1 + 4=3, ；x1 = 1.故答 案为x= 1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程 即可解决

4、.【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数（2014 山东烟台）关于x的方程x2 ax+2a= 0的两根的平方和是5,则a的值是（）A. 1 或 5 B . 1C. 5 D . - 1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决.设方程两根为x1 , x2,由题意，得x2 + x2 = 5. ；（x 1+ x2）2 2x1x2 = 5. . x1+x2 = a, x1x2 = 2a, . a22X2a= 5.解得 a1 = 5, a2 =1.又= A=a2 8a,当a=5时，A <0,此时方程无实数根，所以舍去 a= 5.当a=1时，

5、A >0,此时方程有两实数根.所以取 a=1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、 积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件0,导致解答不全面.【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用EI5已知x1、x2是一元二次方程(a 6)x2 + 2ax + a = 0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使x1+x1x2 = 4 + x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x1 + 1)(x2 + 1)为负整数的实数a的整数值.解：(1)根据题意，得八=(2a)2 4Xa(

6、a6)=24a> 0.解彳3 a>0.X/a-2aa-0,，/6.由根与系数关系得：x1+x2=一 口，x1x2 = 0.由一x1+x1x22a a= 4+x2 得 x1+x2 + 4=x1x2, 一 +4 = 036,解得 a=24.经检验 a = 242a a7H万桂一+ 4 =的斛即存在a=24,使-x1+x1x2 = 4+x2成立一.2a a6 一.(2)原式=x1+x2 + x1x2+1一三+ 三 +仁曰为负整数，则“a为1 或2, 3, 6.解得 a=7 或 8, 9, 12.三、板书设计/L次为程根%羽诚的美系教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式

7、得到的, 在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住A>0这个前提条件.基础导练1 .若X1 , X2是一元二次方程x2+4x+ 3= 0的两个根，则X1X2的值是（）A . 4 B . 3 C . -4 D . -32 .如果关于x的一元二次方程x2+px+ q = 0的两根分别为xi = 2, X2=1,那么p, q的值分别是（）A . -3,2 B .3,-2 C . 2, 3 D .2,33 .已知一元二次方程的两根之和为7 ,两根之积为 12 ,则这个方程为能力提升4,已知方程x2-3x+ m=0的一个根是1,则它的另一个根是 , m的值是5 .已知X1, X2是方程x2 3x 3=0的两根，不解方程可求得x2+x2=.6 .已知、X2是方程x2 6x 3 0的两实数根，求挺 土的值.X| x2参考答案1. B 2.A