立体几何难题探究(含答案)

1、立体几何难题探究1. （2020届安徽省合肥市高三第二次质检）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所 示.已知半球的半径为“，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）A. 24乃B. （18 + 30）兀C. 211D. （18 + 4&）冗【答案】D【解析】设圆柱高为 （0<工<遥），则圆柱底而半径为厂=石二7",圆柱体积为V = nrx = x（6-x2） =笈（6x-x3）,V'=乃（6 3/）,由V' = 0得x = & （行舍去），当xw（0,JI）时，r>0,函数V =乃（6x

2、d）递增，xe（应、册）时'Vz<0,函数丫 =亚6工一丁）递减，戈=应时，匕1ax =46应一（&）3 = 4后，r=:6-丁 =2,圆柱体积最大时，此几何体体积最小.S 个=7x（而）2 +2;rx2x 应+2;rx（"）2 =（18+4 应）；r.故选D,2. （2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）在三棱锥一 ABC中，已知NAPC =。，ZBPC =,43PALAC, PBLBC,且平而PAC_L平而PBC，三棱锥P48C的体积为正，若点RA,仇。都在 6球。的球而上，则球。的表面积为（）A. 4ttB. 84C. 12乃D. 167r【答案】A【解

3、析】取尸C中点。，连接A28O,设球半径为R,因为/BPC =%,PA1AC. PB工BC, 3所以AO = 3O = R, PC = 2R, PB = R, BC = 6R,因为N4PC = 2, PALAC,所以PA = 4C,则AOLPC, 4因为平而P4C_L平而尸8C,所以40_L平面PBC,即匕，=_L s AO = 色，/ /tot3 roL6所以立改=正，/.R = l,一球的表而积为44穴2=4乃.66故选A。3.（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P A8CQ中，若石为侧棱PB的中点，则异而直线尸。与AE所成角的正弦值为（）A. £

4、B. 2C.无D.叵3332【答案】A【解析】设四棱锥PABC。的棱长为2,连接AC、8。交于点。，连接。E,如下图所示:则点。为3。的中点，又,.,E为PB的中点，：.OEPD，所以，异而直线产。与AE所成的角为N4E。，且= AO = 1AC = V2, AENpa2-PE2=6,AO2 + OE2 = AE2，, AO _L OE，则 sin ZAEO =.AE 于 34. (2020届广东省东莞市高三模拟)约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度.如图, 金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米：然后，他站立在沙地上，请人不断 测量他的影子，当他的

5、影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离 约为22. 2米.此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为( )tA. 115 米B. 137. 2 米【答案】B【解析】当泰勒斯的身高与影子相等时,*於3C. 230 米D. 252. 2 米身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边,*As再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高.所以由题意得金字塔塔高为OA = OB + BA = 5 + 22.2 = 137.2米，故选B.的中点，经过点名，E,尸的平而。交力。于G,则AG=（5. （20

6、20届广东省东莞市高三模拟）在棱长为1的正方体A88 44G2中，£尸分别为45和。2【答案】D【解析】平面与片尸与平而CG。的交线与8也平行，即过户作的平行线交aA于，连接耳H ,过E作EG 坊交于G,由比例关系，为GA的四等分点，从而G为4。的三等分点，故而2AG =.故选 D。A. 1.8975x1()6 立方尺B. 3.7950x1()6立方尺C 2.5300x1()5立方尺D. 1.8975x1()5 立方尺6. （2020届广东省汕头市.高三第一次模拟）”今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五 尺这是我国古代数学名著九章算术卷第五中“商功”中的问题.意思为“

7、现有城（如图，等腰梯形的直 棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等 于（）【答案】A【解析】l =（40 + 20）“玉）-1265 = 1897500 = L8975x 10,（立方尺），故选 A。7. （2020届广东省湛江市模拟）在三棱柱ABC 45G中，平面A5C.若所有的棱长都是2,则异而直线AG与3C所成的角的正弦值为（）.【答案】A【解析】如图，连接A片，8C片G， 4G耳就是异面直线AG与8C所成的角.在 aAGB1中，AG = AB】=2/5,心。=2,1x/2J14： cos ZAC£ = / sin

8、 ZAC. =-1 12>/241 14.异而直线AC；与BC所成的角的正弦值为叱士.4故选A。8.（2020届广西柳州巾高三第一次模拟）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）.七1. 6/B. 12乃C. 12JJ/TD. 士5乃【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为底面是正方形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥S-AB8 ,以S, A, B,C, D为顶点将其拓展为正方体ABCD-NMES , 且正方体的边长为2 ,则正方体的外接球为四棱锥的外接球, 外接球的直径为正方体的对角线，即2A = 2",A = 所以该几何体的外接球的表面积为4（"）2

9、= 124.故选B。9. （2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）在正方体ABCD-AiBiCiD1中，三棱锥Ai-BCiD内切球的 表面积为4兀，则正方体外接球的体积为（）A. 8阮B. 36 乃C. 32aD. 64后【答案】B【解析】设正方体的棱长为。，则8。= "/，因为三棱锥A -8G。内切球的表面积为47，所以三棱锥A-8G。内切球的半径为1,设A- BCD内切球的球心为。，A到面的距离为力，则匕I-BGO = 4%_因力,S瑞CD x/i = 4x-x S油CD X 1 ,./? = 4,0a = 4,4 = 25/3 ,亭缶又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长

10、,正方体外接球的半径为 #） +（2/）+仅召）=3,4/r其体积为一x33 =36乃，故选B。 310. （2020届湖北省宜昌市.高三调研）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为四，在此几何体中，平而。过点M且与直线A3垂直.则平而。截该几何体所得截而图形的而枳为（）fiftmB.手C.日D.叵4【答案】A【解析】如图，原几何体是一个正三棱柱AOE F8G, M上A/中点，取AO中点N ,连接MMNEfM ,连接OE,由三视图知AQ8尸是正方形，DhAB,又M,N分别是ARAO中点，.MNZ）F,:ABLMN,正

11、三棱柱中，8。J_平而HOE，ENu平面AOE，故.EN1BD,又 EN1AD，ADHBD = D,则可得 EN1 平面，4。=平而4。8/，硒_143,又 MN cEN = N, ：. AB J_平而 MNE, AMNE 即为截面 a , 同理由£N1平面尸得ENLMN,由三视图得MN = JS，EN = BS = x>/2 x-s/3 =-故选 A。22H. （2020届湖南省常德市高三模拟）三棱锥P ABC中，P4,P8,PC互相垂直，PA = PB = . M是线段BC上一动点，若直线AM与平面P8C所成角的正切的最大值是理，则三棱锥PA3C的外接球 2的表而积是（）A

12、. 27B. 4C. 8兀D, 16万【答案】B【解析】M是线段上一动点，连接加，/%,夕丛夕。互相垂直，./4"就是直线人"与平面P8C所成角，当尸”最短时，即PM_LBC时直线4W与平面P8C所成角的正切的最大.此时卫_ ="，PM =曲,在直角aPBC中，PM 23PB PC = BC PM nPC = Jl + PC? x 如=PC = 0.3三棱锥P-ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为V1+T+2 = 2，三棱锥P ABC的外接球的半径为R = 1,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4万代=44.故选B.12. （2020届湖南省衡阳巾高三一模）已

13、知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则此几何体的表面积为（）【答案】CD. 4【解析】根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、8且该几何体一个直三棱锥，如下所示:容易知= pc = 2V2 > ac = J5,故可得PAC中PC上的高/? = <0* _ J_尸。V12故可得 S.PAC = PCxh = 2/2 ,八8 = jX2x. 5.p8c = 3x 2x 2 = 2 , 5.八8c =2x >/=,乙乙乙故该几何体的表而积为2& +&+

14、2 +JJ = 2 + 40 ,故选C。13. （2020届湖南省衡阳市高三一模）如图，矩形A8CO中，BC = 2AB = 2, N为边BC的中点，将绕直线4N翻转成g4N （8心平而ABC。），M为线段4。的中点，则在翻折过程中，与平面AN垂直的直线必与直线CM垂直：线段CM的长恒为直异面直线CM与N片所成角的正切 2值为虫当三棱锥的体积最大时，三棱锥5 -ANO外接球的体积是四.上而说法正确的所有序号是 33B N CA.(§)B.【答案】AC.【解析】取AB】的中点K，4。的中点。，连接KW，。巧，QN ,显然CM 平面,故正故正确;CM =NK = gN? + B、K? =

15、 F +/ vzn B、K 1NKN4即为异而直线CM与N用所成角，tanNKN8=茨=彳，故错误:当三棱锥为一 AND的体积最大时，则平而B、AN _L平面AND，不妨取4N中点为夕，连接Bf,P。，则容易知片P«L平面4VQ,因为A用=81N = 1,且Aq_LB|N,故可得= 乎，又因为P,。分别为AN、AO中点，故可得OP = J_ ON =立， 22故在心与尸。中，BQ = QbF+OP2 =1.因为三棱锥用- AND的底面为直角三角形AND，且。为斜边上的中点, 故可得OA = ON = OD = 1,又。4=1,故。为三棱锥片- AND外接球球心，且尺=。4 = 1,故

16、正确,综上,正确，故选A。14. （2020届山西省太原市高三模拟）刘徽注九章算术商功中，将底而为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）俯视图D. 4【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是一个正方形，设四棱锥外接球的半径为H, 将其置入到长方体中，如图所示，易得P0 = 1，QA = A8 = 1,所以2R = PB = J百92驴=的， 所以r =正,故选c。215. （2020届陕西省咸阳巾高三第二次模拟）我国古代九章算术将上下两个平行平而为矩形的六而体 称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底

17、的边长分别为2和6,高为2, 则该刍童的表面积为（ ）A. 325/2B. 40 + 32&C. D. 72【答案】B由三视图可知该几何体是如图所示的正四楼台，棱台侧而梯形的高为万万=2或.故几何体的表面积为G +2? +4x少x2点= 40 + 32& ,故选B。 216. （2020届四川省泸州市高三二诊）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？ ”其意思为：“现将大豆在屋内靠增堆成半 圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？ ”已知1丈等于10 尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的大豆有（）A. 44 斛B. 144 斛C. 288 斛D. 388 斛【答