超几何分布与二项分布考题详解

1、超几何分布与二项分布考题详解专题:超几何分布与二项分布南海中学20XX届高三理科数学备课组知识点关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足 超几何分布的特征:一个总体（共有N个）内含有两种不同的事物 A（M个）、 个），任取n个,其中恰有X个A.符合该条件的即可断定是超几何分布，按照超几何分布的分布列）进行处理就可以了 . nCN二项分布必须同时满足以下两个条件:在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生的概率为p,事件A发生的概率为：试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数 p,事件A发生的概率为11

2、、（2011?北京海淀一模）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每 一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为2.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.3（I ）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（n）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；（川）随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率【解析】（I）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A1 分J J J J J J J J J J 1八事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”，,2 分64213，汕仞,叶,“,计4 分 1010315(n)由题可知X可能取值为0,

3、123.3O21C1C6C<13P(X0)3,P(XI)36, C1030CI01 Op (A)1203C4C61C4C!P(X2)；3?P(X3)36""沖8 分 C102C106故X的分布列为,9 分（川）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ,10 分事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，分3038102、（2011?深圳一模）第26届世界大学生夏季运动会将于 20XX年8月 12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm

4、）:若身高在175cm 以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”， 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（n）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.人, 分【解析】（I）根据茎叶图，有,1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是“高个子”12人,“非高个子” 18 斤2U 丄，J J J J J J023尸130而1210306第1页共8

5、页11 2人，“非高个子”有183人，,3分66用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，则，,5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是.,6分101010C5（U）依题意，的取值为0,1,2,3 . ,7分所以选中的“高个子”有32（CI142S4CS p（. o） ：3 ， D ，3C1255C1255C212OI4C84 卩 I： 2），.,9 分卩（ 3）33C1255C1255因此，的分布列如下：O1理S5451E 01 128121 I 231 .,12 分 555555553、（2011?广州二模）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力

6、进行调查，瞬时记 忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力某班学生共有40人下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等，现進记忆施力怕岛id忆015113b汩：；ij010 1fll11,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为2. 5 (I)试确定a、b的值；(U)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏 高或超常的学生人数为求随机变量 的分布列【解析】(I)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学 生共有人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等 以上”为事件A,，解得 ，从而(U)由于从40位学生中任意抽取3

7、位的结果数为C40,其中具有听觉记忆能力或 视觉记忆能力偏高或则P超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听 觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 C24,所以从40位学生中任意抽取3位, 其中恰有k位具有听觉记忆能力或视k3 kC2-lC16 (k 0, 1, & 3) +的可能取值为 0、aLi*uT：iM:”721、2、3.觉记忆能力偏高或超常的概率为卩( k) 3C-4003122130C24CI因为，3333C40247C40247C401235C401235所以的分布列为第2页共8页4、(2011?北京朝阳一模)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛

8、规则是:每 场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已 知教师甲投进每个球的概率都是 2. 3 (I)记教师甲在每场的 6次投球中 投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望；(U)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(川)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了 4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一 场比赛中获奖的概率相等吗？【解析】(I) X的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.依条件可 知XB(6,2), 3 2 卩(X k) C3 k6k 136)，丨，2, 3, -1； 5, 6)所以 Xr*sflt&

9、#39;IfMJ2 JO12MF7*9729 I I 12260：:!16042405 92 fi 64)- 4.所以EX 72972922或因为XB(6,)，所以EX 6即X的数学期望为4. 331224125263221. (U)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A贝V卩(A) C4 ()() C4 0()333338132.答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为81242A4A42C42 (川)设教师乙在这场比赛中获奖为事件B,贝V卩勺此处为会更好！因为样本空2间基于:已知6个球中恰好投进了 4个球）即教师乙在这场比赛中获奖 的概率为.5显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场 比赛

10、中获奖的概率不相等.580815、（2011?北京石景山一模）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市 征召义务宣传志愿者从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者 的年龄情况如下表所示.（I）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频 率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30 ,） 35岁的人数；（U）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这 20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记 这2名志愿者中“年龄低于 30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期 望.分组 （单位：岁）频数换率-20.25)50

11、.05025,30)020030.35)3535.40)30 |0.300(4(X45100,1 (X)合计100L(X)岁第3页共8页【解析】（I）处填 20,处填0.35 ;补全频率分布直方图如图所 示.500名志愿者中年龄在；的人数为人，6分（U）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人.故X的可能取值为0, 1, 2;2C1521P(X 0)2C2038112C15C515C52I) 2，临 2, ,11 分C2038C2038所以XX0JP2138153812 ,13 分二啟 0 3838382岁6、（2011?北京朝阳二模）

12、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身 体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 已知某产品第一轮检测不合格的概率为11，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响610（I）求该产品不能销售的概率；（U）如果产品可以销售，贝y每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一 箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值 E（X）.【解析】（I）记“该产品不能销售”为事件 A,则卩（所以，该产品不能销售的概率为1611 . 10414分4 J J J J J J J J J

13、J J J J J 1丿 7 1（n）由已知，可知X的取值为320?200,出U印）.5 分J J J J J J J J J丿 J1113331卩侶 ：诅心 )斗,p(x 200)e.'40斗256446413273327231P(X80) C4 ()2()2PCX 啊)(M 0, 441284464381卩(X 160)()4 .分4256所以X的分布列为*320* 20。柏1G0P125636427 112827648125611分1追)：站)1127278110,故均值 e(x)为 40.,12 分 20080"IO1602566412864256;L2路线上有B1,

14、 B227、（2011?北京丰台二模）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从 家幵车到公司上班有 L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1, A2, A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为33, 452 (I)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；.(U)若走L2路线，求遇到红灯次数 X的数学期望；(川)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述 两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.10【解析】(I)设走 L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则P（A）-C301所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为231（.,4 分 222(U)依题意，X的可能取值为0, 1

15、, 2. ,5 分33933133339) (I ，卩(XTj n I，卩代乃.,8分X曹iIy¥r102ll10 ；45204510454520EX 012.,10 分102020201(川)设选择L1路线遇到红灯次数为 Y,随机变量Y服从二项分布，,213所以.，,12分因为時EY，所以选择L2路线上班最好. ,14 分228、(2011?北京海淀二模)某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4 层停靠已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在 2、3、4层下电 梯是等可能的.(I )求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(n )用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数

16、，求 X的分布列和数学 期望【解析】(I)设4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的事件 为 A,1 分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，,3 分32 65则 PCA) 1 H(A) 1分381.(n ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, ,7分1iK.JJK叩JiR1*1> 1ai811由题意可得每个人在第 4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影 响，所以分311分414339、(2011?福建福州3月质检)“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我 国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、 布；两个玩家同时出示各自手势 1次记为1次游戏，“石头

17、”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜 负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.(I)求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；（U）若玩家甲、乙双方共进行了 3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次 数记作随机变量X，求X的分布列及其期望.【解析】（I）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布， 布）.共有9个基本事件, 3分 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个.

18、所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 卩（U） X的可能取值分别为0， 1， 2， 3.331.6分 931，P X 1 C3P X 0 C332731P X 2C32-2 123273261 2 3 1. 10 分P X 3 C332732fXX131261.1 V11 (或：XB(3,) , EX 呼 31).-EX 01-13分272727273310、(2011?湖北黄冈3月质检)某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命 中率为，乙的命中率为p2，3在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测 中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐 组”；(I)若

19、,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;(U)计划在20XX年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得 “先进和谐组”的次数 ，如果求p2的取值范围.【解析】(I)12111122111；C2)(6 分 332233223(U)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率2112284) TC2. p2(l p2)_( )p22 p2 p22 3333998423而，所以E 12卩，由£.5知12宾 卩2)乳解得1.12 分994卩(C2111、(2011?湖北部分重点中学第二次联考)一射击测试每人射击三次， 每击中目标一次记10分。没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为

20、(I)求此人得20分的概率；(U)求此人得分的数学期望与方差。23分 39（U）记此人三次射击击中目标次得分为 分，则 B（3,）,分32二施）l（）H（ ）10 ：:!20*9 分321200【）（.）H）0D（.）100 3J2 分333（2011?江西八校4月联考）设不等式确定的平面区域为确定的平面区域为 V 12、（I）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域 U内任取3个整点，求这些整点中恰有 2个整点在区域V 的概率；【解析】（I）此人得 20分的概率为p C3 02223（U）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X,求X 的分布列和数学期望.【解析】（I）依题可知平

21、面区域 U的整点为共有13 个,C52.C840平面区域V的整点为()，()，1*1,0共有5个，AP 3C131431(u)依题可得：平面区域 u的面积为22 4 ，平面区域V的面积为：，221在区域u内任取1个点，则该点在区域 V内的概率为，4 21, 2, 3,且易知：X的可能取值为0，3203122 132111 111 ，P(X 0) C301P(X 1) c13338 822221卩 Qt 2)cX0IJ心-tj*斗 - 1 fJr lir - Q(IXjf'KJET'2321321311，卩隹萄8 2 233 21 3 21 1：U12 分123 =8 38 38

22、 38 32113)，故 EX np-3(或者：XB(3, )22213、(2011?山东淄博二模)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干 试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有2效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，31服用B有效的概率为.2(I)求一个试验组为甲类组的概率；(U)观察3个试验组，用 表示这3个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望。【解析】(I)设 Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0,1, 2;，i=0，1，2

23、Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i124224111111依题意有PUl) 2,P(A2)十M)3393392242221414144所求的概率为 卩 IMOAl)P(B1A2J49492994k4k5(U) 的可能取值为o, 1, 2, 3,且P( k) C3 0 (),k 0,12 3999 A 21二X的数学期望：EX 0所以数学期望E 3.9314、(2011?温州一模)盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红 球，4只黑球，4只白球.规定：一次摸出 3只球，如果这3只球是同色 的，就奖励10元，否则罚款2元.(I)若某人摸一次球，求他获奖励的概率；(U)若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量 为获奖励的人数，(i )求I) (ii )求这10人所得钱数的期望.1 142 1532C41【解析】（i）p 2-C10151011401141119)，则P( 1)P( 1) 10)1146 102.1(ii )设所以H(10)12I0H.10 (5 (10,(n)(i )由题意知10C10（）151515157为在一局中的输赢，则E 1515561