海文钻石卡《高等数学上》答案

1、2010届海文钻石卡学员高等数学上测试答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一（1）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 （ ） (A)xsi1xx(C)xcosx答案：（D） 1sinx(x0) x1 (D)cosx(x0) (x )x0 ) (B)1x(x0)，为有界变量乘以无穷小量，结果是无穷小量，故排除， 分析：（A）选项xsin （B）选项极限为1，故排除（C）选项xcosx(x) ，由数列极限与函数极限的关系，x，可以选两个不同的数列x=2k和x=2k+2，x相当于k，则一方面limxcosx=lim(2k)cos2k=，另一方面 x

2、klimxcosx=lim(2k+)cos(2k+)=0，所以此极限是不存在的。故排除C xk221 （D）cosx(x0)为无穷大，选择D。 x（2）当x0时，x-sinx是x的 （ ） 2(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小答案：(B)12xx-sinx1-cosx=0，故x-sinx是x2的高阶无穷小，所以分析:由lim=lim=limx0x0x02xx22x选(B)。第1页 共9页f(x),x0（3）设函数F(x)=x2，其中f(x)在x=0处二阶可导，f''(0)0，f(0),x=0 f'(0)=0，f(0)=0

3、，则x=0 是F(x)的（ ）(A) 连续点 (B)第一类间断点(C) 第二类间断点 (D)连续点或间断点不能由此确定答案 （B）分析 考察x=0 是F(x)的连续点还是间断点，首先看极限limF(x)是否存在，如果存x0在且等于F(0)，则是连续点。如果不连续，则其为第几类间断点，主要看其左右极限是否都存在，如果都存在则为第一类间断点，至少有一个不存在，则为第二类间断点。故由f(x)f'(x)-f'(0)1limF(x)=lim2=lim=f''(0)知其极限存在，而F(0)=f(0)=0，x0x0x0x2x2则（4）设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f

4、(x)在x=a处可导的一个充分条件是（ ） 1f''(0)=0F(0)，所以x=0是F(x)的第一类（可去）间断点. 2 (A) limhf(a+)-f(a)存在 (B) limh0h+h(C) limh01f(a+2h)-f(a+h)存在 hf(a)-f(a-h)f(a+h)-f(a-h)存在 (D) li存在 h0hh答案：（C）1f(a+)-f(a)1h存在，令分析：（A）选项limhf(a+)-f(a)存在，变形有limh+h+hh1f(a+-f(a)1h=limf(a+t)-f(a=t，则h+，相当于t0+，故limh+t0+hth存在，也即只能得出f(x)在x=a的

5、右导数存在，得不出导数存在，所以（A）不选。第2页 共9页（B）选项 limf(a+2h)-f(a+h)存在，但其非导数的定义，将其变形有 h0hf(a+2h)-f(a+h)f(a+2h)-f(a)-(f(a+h)-f(a)lim=lim h0h0hh=lim2h0f(a+2h)-f(a)(f(a+h)-f(a)存在 -2hh而导数如果是存在的话，是要求括号里面的lim2h0f(a+2h)-f(a)(f(a+h)-f(a)或lim极限存在，而由整体极限存在得不h02hhf(a)-f(a-h)f(a-h)-f(a)存在，即lim存在，正好是导数定义，h0h-h出括号里面的极限存在，所以（B）选项

6、不选，同理（D）不选。 （C）选项limh0所以选C。（5）已知limxaf(x)-f(a)=-1，则在x=a处 （ ） 2(x-a)(A)f(x)导数不存在 (B)f(x)导数存在且f'(a)0(C)f(x)取极小值 (D)f(x)取极大值答案：D 分析：考察一点导数是否存在，用导数的定义，由limxaf(x)-f(a)=-1有 (x-a)2limxaf(x)-f(a)11=-1，而lim=，要极限存在，只能xa(x-a)(x-a)(x-a)limxaf(x)-f(a)=0，所以f(x)导数存在，且f'(a)=0，故排除(A)，(B)。 (x-a)f(x)-f(a)f(x)-

7、f(a)=-1<0<0，由极限的保号性，在点附近有x=a(x-a)2(x-a)2又因limxa2而(x-a)>0，所以f(x)-f(a)<0，即f(x)<f(a)，故在x=a处函数取得极大值 。所以选(D)（6）设f(x)在(-,+)内连续，则下列叙述错误的是（ ） (A) 若f(x)为奇函数，则f(x)dx=0 -aa第3页 共9页(B) 若f(x)为偶函数，则f(x)dx=2f(x)dx-aaa(C) 若f(x)为非奇非偶函数，则f(x)dx0-aa(D) 若f(x)为以T为周期的奇函数，则F(x)=f(t)dt也是以T为周期的函数x答案 C解 （A），（B）

8、选项是积分的性质，显然是正确的 （C）选项若f(x)为非奇非偶函数，也可能有a-af(x)dx=0 02x x 例如：f(x)=,f(x)在(-,+)上为非奇非偶函数，但2< 0-3x x1-1f(x)dx=-3xdx+2xdx=0因此，选择（C）-121对于（D），利用结果“f(x)为以T为周期函数，则得 F(x+T)=T2T-2a+Taf(x)dx 的值与a无关”可T2T-2x+Tf(t)dt=f(t)dt+xx+Txf(t)dt=F(x)+f(t)dt 又f(x)为奇函x数，所以的函数。f(u)du=0于是F(x+T)=f(u)du=F(x)所以F(x)=f(t)dt周期Tx（7）

9、设I1=-x2sinx345x2则其按从大到,I=(sinx+cosx)dx,I=(sinx-e)dx，23-1+x4小顺序为_. 答案：I2>I1>I3 分析：I1= I2= I3=-x2sinx，因积分区间对称，被积函数为奇函数，所以I1=0 41+x3-(si3nx+cosxd)x=2sinxd+x-2coxsd=x2-coxs> dx0-(sin5x-ex)dx=sin5xdx-exdx=-exdx<0-第4页 共9页所以 I2>I1>I3（8）设f(x)为可导函数，f(1)=2，且满足条件limx0f(1)-f(1-x)=-1，则曲线y=f(x)2

10、x在点(1,f(1)处的切线方程为_.答案：y=-2x+4 分析：因为limx0f(1)-f(1-x)1f(1-x)-f(1)1=lim=f'(1)=-1，故f'(1)=-2。所x02x2-x2以切线方程为：y=-2x+4（9）+2=_. 答案： 32分析：在广义积分中，作换元，令x-2=t+2+2tdtdt2t+=2=arctan= 20(9+t2)33030(9+t)t（10）设函数f(x)满足f(x)=sinx+答案：f(x)=sinx+20f(x)dx，则f(x)=_. 2 2-解：两边积分有20f(x)dx=2sinxdx+0202f(x)dx 2，所以 2-令20f

11、(x)dx=A则有 A=2sinxdx+02AA=f(x)=sinx+2 2-三、解答题（本题共6小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（11）（本小题满分9分）x12t2-x2(1+t)edt求limx0ln(1+x)0解：x12t2-x2lim(1+t)edt x0ln(1+x)0第5页 共9页1x2t2-x2=lim(1+t)edt 1分x0x0 =limx0x0(1+t)edtxex222t2 2分=limx0(1+x2)exe+2xex22x2 7分1+x2=lim=1 9分x01+2x2（12）（本小题满分9分）I=2=tx=t， 1分则I=1=arctgtdt

12、2 2分 t =2ttarctgtdt=2arctgtdt 3分 =2(tarctgt-tdarctgt) 5分 =2(tarctgt-t) 6分 1+t2=2tarctgt-ln(1+t2)+C 8分=ln(1+x)+C 9分（13）（本小题满分10分）1sintdt,求xf(x)dx 设f(x)=10t11111221xf(x)dx=f(x)dx=xf(x)|-x2df(x) 解: 由00020211f(1)-x2df(x) 3分 =02x2sintdt，所以f(1)=0 4分 因f(x)=1tx2()()2xsinx22sinx2df(x)=dx=dx 6分 x2x第6页 共9页1111

13、22sinx22f(1)-xdf(x)=-xdx 故xf(x)dx=00220x1()=-10xsinx2dx 8分11122 =-sinxdx=(cos1-1) 10分 202（14）（本小题满分10分）2arctanx+ae2x,x0设函数f(x)=，试确定a,b的值，使函数f(x)在x=0处可导。sinx-b(1+x) ,x>0解：若f(x)在x=0处可导，则其必在x=0处连续。 1分因为f(0)=a，所以2xlimf(x)=lim(2arctanx+ae)=a=f(0) -x0x0x0+limf(x)=limsinx-b(1+x)=-b=f(0) +x0从而a=-b。 4分又因f

14、(x)在x=0处可导，所以2xf(x)-f(0)2arctanx+ae-af-'(0)=lim=limx0-x0-x-0x 2arctanxa(e2x-1) =lim+=2+2ax0-xxf(x)-f(0)sinx-b(1+x)-a=lim+x0x0x-0x sinxb(1+x)-b =lim-=1-bx0+xxf+'(0)=lim+由f-'(0)=f+'(0)，得2+2a=1-b。 8分考虑到a=-b，可知当a=-1,b=1时，f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。 10分（15）（本题满分11分）证明拉格朗日中值定理 设函数f(x)在闭区间a,b

15、上连续，在开区间(a,b)内可导；第7页 共9页则存在(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'() b-a证明设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，若在(a,b)内f'(x)>0，则函数f(x)在a,b上单调递增。 证明：作辅助函数(x)=f(x)-f(a)-易验证(x)满足： f(b)-f(a)(x-a)， 2分 b-a(a)=(b)；(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且'(x)=f'(x)-f(b)-f(a)。 4分 b-a根据罗尔定理，可得在(a,b)内至少有一点，使'()=0，即f'()-

16、f(b)-f(a)=0,f(b)-f(a)=f'()(b-a) 7分 b-a 对于任意x1<x2（x1,x2a,b），因f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，故f(x)亦在x1,x2上连续，在开区间(x1,x2)内可导，故满足拉格朗日中值定理，即有f(x2)-f(x1)=f'()(x2-x1)（其中(x1,x2)） 9分因在(a,b)内f'(x)>0，故f'()>0，而x1<x2则x2-x1>0，所以f(x2)-f(x1)=f'()(x2-x1)>0f(x2)>f(x1)，所以f(x)在a,b上

17、单调递增 11分（16）（本小题满分11分） 求函数y=x+x的极值点、拐点以及渐近线. 2x-1解：(I)定义域x±1，间断点x=±1，零点x=0，且是奇函数。 1分(II)求y',y''和它们的零点。xx311， y=x+2=2=x+x-1x-12(x+1)2(x-1)3x2(x2-1)-2xx3x2(x2-3)， y'=2(x2-1)2(x-1)2112x(x2+3) y''=+=3323(x+1)(x-1)(x-1)第8页 共9页由y'=0得驻点x=0,由y''=0得x=0。由这些点及间断点x=±1，把函数的定义域按自然顺序分成(-,-1),(-1,0)