高考数学大一轮复习几何证明选讲教师用书理苏教版

1、几何证明选讲1 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也木_(2) 平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例.2 .相似三角形的判定与性质(1) 相似三角形的判定定理 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;_ 三边对应成比例的两个三角形相似 (2) 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于相似 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.3 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该

2、直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于4 .圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.(3) 切线的判定与性质定理 切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.(4) 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等(5) 弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半(6) 相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等.割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (8) 切割线定理从圆外一点

3、引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等 比中项.(9) 圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形判定定理(i )如果四边形的对角互补，那么此四边形内接于圆;(ii)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. 圆内接四边形性质定理(i )圆内接四边形的对角互补；(i )圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.1 . (2021 广东)如图，在平行四边形 ABCD中，点E在AB上且 CDF勺面积2AEAC与 DE交于点F，那么 的面积 答案 解析 在平行四边形 ABC呼，因为EB= 2AE所以A?*= AD故AD= 3.因为AE/ CD所

4、以 AEFA CDF 所以 SCD= (AD2= 9.Sa aef AE2.如图，在直角梯形 ABCDh DC/ AB CBL AB, AB= AD= a, CD= |,点E, F分别为线段 AB AD的中点，贝U EF=.a答案|3. (2021 湖北)如图，P为O O外一点，过P点作O O的两条切线，切点分别为A, B过PA的中点Q作割线交O O于C, D两点假设QC= 1, CD-3，那么PB=答案 4 解析 由切割线定理得 QA= QC- Q> 4,解得QA= 2.由切线长定理得 PB= PA= 2QA- 4.4 如下图，过点 P的直线与O O相交于A, B两点假设PO= 3,那

5、么O 0的半径等于 答案)6解析 设O 0的半径为r(r>0),PA= 1, AB= 2, PB= PA+ AB= 3.延长 PO交O O于点 C,贝y PC= POb r = 3 + r.设PO交O O于点D,贝U PD= 3-r.由圆的割线定理知，PA- PB= PD- PC 1X3= (3 r)(3 + r) , 9- r2= 3, r = .'6.1如图，在 ABC中，点D是BC边上的中点，且A4 AC DEL BC DE与AB相交于点E, EC与 AD相交于点F.(1)求证： ABCA FCD假设 Safcd= 5, BC= 10，求 DE的长.(1)证明 DEL BC

6、 D是BC边上的中点， EB= EC / B=Z ECD又 AD= AC :丄 ADC=Z ACD ABC FCDBBMC解 过点A作AML BC垂足为点 M/ ABCo FCD BC= 2CDSABCSFCD又 Safcd= 5, Saabc= 20,又 Saabc= 1x BCx AM= 2 x 10X AM= 20,解得AM= 4,DE BD又 DE/ AM AM BM/ DM= 2dC= 2，BM= BD+ DM= 5 + 2=券,DE4 -58血，解得DE= 3.思维升华 (1)三角形相似的证明方法很多， 解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法. 般的思考程序：先找两对内角对应相等

7、；假设只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是 否对应成比例；假设无角对应相等，就要证明三边对应成比例.(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，假设题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明.如图，在梯形ABCD中,AD/ BC AB= CD DE/ CA 且交 BA的延长线于 E,求证：ED- CD= EA BD证明 在梯形 ABCDL： AB= DCABC=Z DCB 又 BC= BCABCA DCB/ BAC=Z BDC/ AC/ ED, AD/ BC/ E=Z BAC=Z BDC / EAD=Z ABC=Z DCB EAD DCBEA ED 刚 DC= DB 即 ED8 EA

8、BDft题型二 直角三角形的射影定理如图，在 ABC中，D F分别在 AC BC2上，且 A吐 AC AF丄 BC BD= DC= FC= 1 求 AC解在厶ABC中，设AC为x,/ AB! AC, AF丄 BC又FC= 1,根据射影定理，得 AC= FC- BC,即 BC= x2.再由射影定理，得 AF= BF- FC BC- FC - FC,即 A=x2 1, AF= :x2 1.在厶BDC中过D作DEI BC于 E1 2/ BD= DC= 1,. BE= EC=-x2.2DE DC DE= DCF亘又 AF! BC DE/ AF肘 ACAC x '在 Rt DEC中，I DE +

9、 EC= DC,x 1 21 2 22即亠匚+2x= 1 ,x2 1 , X4 一 2 + ； = 1.x 4 整理得x6 = 4,.x=引2, 即 AC= 2.思维升华1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式转化为相似三角形中的“比例式.2证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.如下图，在 ABC中,/ CAB= 90°, ADL BC于D, BE是/ ABC的平分线，交 AD于F,求证:DF AEAF EC证明 由三角形的内角平分线定理得,在厶ABD中,DBDAF= AB，在厶ABC中,AE AB ecTBc在Rt ABC中，由射影定理知,AB = BD- B

10、C刚 BD AB_即AB= BB.由得:AB AF= BC，由得:AE AF= EC题型三圆的切线的判定与性质BE平3如图，在 Rt ABC中，/ C= 90°,分/ ABC交 AC于点 E,点 D在 AB上, DEL EB 且 AD= 2 3 AE= 6.(1) 判断直线AC与 BDE勺外接圆的位置关系；(2) 求EC的长.解取BD的中点Q连结0E/ BE平分/ ABC/ CBE=Z OBE又 OB= OE/ OBE=Z BEO/ CBE=Z BEO - BC/ OE/ C= 90°, OEL AC直线AC> BDE勺外接圆的切线, 即直线AC-与 BDE勺外接圆相

11、切. 设厶BDE勺外接圆的半径为r.在 AOE中,oA oE + aE,即r + 2 ,''32= r2+ 62,解得 r = 2 ：3, OA 2OEA= 30°,/ AOE= 60°./ CBE=/ OBE= 30°,11L1L厂 EC= 2BE= 2x .'3r = 2X ：3X2 3 = 3.思维升华 证明直线是圆的切线的方法：假设直线经过圆上某点或直线与圆有公共点，那么连结圆心和这个公共点， 设法证明直线垂直于这条半径；如果条件中直线与圆的公共点不明确或没有公共点，那么应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线 段的长等于

12、圆半径.2021 广东改编如图，AB是圆O的直径，点 C在圆O上，延长 BC到D使BC= CD过C作圆O的切线交 AD于E.假设 AB= 6, ED= 2，求 BC的长.解 C为BD中点，且ACL BC故厶ABD为等腰三角形.AB= AD= 6,所以 AE= 4, DE= 2.AE AC又一=AC AD所以 aC= AE- AD= 4X 6= 24, AC= 26,在厶 ABC中, BC=AB-AC =寸36 24 = 3.题型四 与圆有关的比例线段42021 课标全国n 如图，P是O O外一一点，PA是切线，A为切点，割线 PBC与O O相交于点B, C, PC= 2PA D为PC的中点，A

13、D的延长线交O O于点E.证明：(1) BE= EC(2) AD- DE= 2PB.证明连结AB AC由题设知PA= PD故/ PAD=Z PDA因为/ PDA=Z DAC-Z DCA/ PAD=Z BADFZ PABZ DCA=Z PAB所以Z DAC=Z BAD从而BE = EC.因此BE= EC 由切割线定理得 PA = PBPC因为 PA= PD= DC所以 DC= 2PB, BD= PB由相交弦定理得 AD- DE= BD- DC所以 AD- DE= 2PB.思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形

14、等.(2) 相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用.如图，O O的半径0B垂直于直径 AC M为AO上一点，BM的延长线交O O于N,过N点的切线交 CA的延长线于P.(1)求证：PM = PA- PC假设OO的半径为2 ,：3 , OA= ；'3OM求MN的长.(1)证明 连结 ON贝U ONL PN,且厶OBN为等腰三角形，那么/ OBN=/ ONB/ PMI4Z OM寻 90°/ OBN/ PNIW 90°/ ONB/ PMN=/ PNM 二 PM= PN根据切

15、割线定理，有 pN= pa- pc pM= pa- pc 解 OMI= 2,在 Rt BOM中, BM= ：OB + OM 4.延长BO交O O于点D,连结DN由条件易知 BOMA BND于是BO_BMBNT BD，4 BN 4肿，BN= 6.与圆有关的几何证明问题D, E分别为 ABC边AB AC的中点，直线 DEF, G两点假设CF/ AB证明： MN= BN- BM= 6 4= 2.典例：(10分)如图, 交厶ABC勺外接圆于(1) CD= BC(2) BCMA GBD思维点拨 (1)连结AF,利用平行关系构造平行四边形可得结论;(2) 先证 BCDFHA GBD为等腰三角形，再证明两三

16、角形顶角相等即可.标准解答证明 因为D, E分别为AB AC的中点,所以DE/ BC又CF/ AB故四边形BCFD1平行四边形，所以 CF= BD= AD而CF/ AD连结AF,所以四边形 ADCF1平行四边形，故 CD= AF5分因为 CF/ AB 所以 BC= AF,故 CD= BC6 分因为FG/ BC故GB= CF由(1)可知BD= CF,所以GB= BD所以/ BGD=Z BDG8 分由 BC= CD知/ CBD=Z CDB又因为/ DGB=Z EFC=Z DBC 所以 BCDh GBED10 分处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1) 利用圆的有关定理；(2) 利用相似三角形；(3

17、) 利用平行线分线段成比例定理及推论；(4) 利用面积关系等.温馨提醒 (1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论， 要熟悉各种图形的特征，禾U用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决.(2) 证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明.(3) 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.(4) 圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件方法与技巧1 证明等积式成立，应先把它

18、写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似， 假设不相似，那么进行线段替换或等比替换.2 圆幕定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线 段的比由于圆幕定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.失误与防范1 在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例.2 在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否那么容易出错A组专项根底训练时间：50分钟1 如图， ABC中, BF丄AC于点F, CELAB于点E, BF和CE相交于点P,求证：It(1) BPEA CPF EFPA BCP证明 BFL AC于点F,CEL AB于点 E,/

19、BFC=Z CE& 90°.又/ CPF=Z BPE 由(1)得厶CPF BPEEP FPBPCP又/ EPF=Z BPCA EFPA BCP2.如图， ABC中，/ BAC= 90°, AD丄 BC交 BC于点 D,假设 E是 AC的中点,ED的延长线交 AB的延长线于F,求证:ABLDFACAF证明 / E是Rt ADC斜边AC的中点,A- AE= EC=DE/ EDC= / ECD 又/ EDG / BDF/ EDG / C= / BDF又 ADL BC且Z BAG 90°,/ BAD Z C,.Z BAD Z BDF DBi ADFDB_ dfAD

20、T丽又 Rt ABB Rt CBA 因此ABT DBA AD CPFA BPEAB_ DF AC A?3. 2021 江苏如图，AB是圆O的直径，C, D是圆O上位于AB异侧的两 点.证明：Z OCT Z D.证明 因为B, C是圆O上的两点，所以OB= OC故Z OCT Z B.又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点，O故Z B,Z D为同弧所对的两个圆周角，所以Z B= Z D.因此Z OCT Z D4. (2021 江苏)如图，AB和BC分别与圆 O相切于点 D, C AC经过圆心 O,且BC= 2OC求证：AC= 2AD证明 连结OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/

21、ADO=Z ACB= 90°.又因为/ A=Z A 所以 Rt AD® Rt ACB所以BC ACODTAD又 BC= 2OC= 2OD 故 AC= 2AD5.如下图，平行四边形ABCDK E是CD延长线上的一点,1AD交于点 F, DE= gCD (1)求证： ABMA CEB 假设厶DEF的面积为2，求平行四边形 ABC啲面积.(1)证明四边形ABCD1平行四边形，/ A=Z C, AB/ CD/ ABF=Z CEBABFA CEB解四边形ABCD是平行四边形, AD/ BC, AB/ CDDECEB DE2 ABF - DE= CDD _cEFDSASASDEF DE

22、 2 1Sabf ( aB 4.SDEF= 2 , Sa CEB= 18, S ABF= 8 S 四边形 BCDF Sa CEB S DEF= 16./. S 四边形 ABC S 四边形 BCD* SxABF 16+ 8 24.AB的延D6. 2021 课标全国I 如图，四边形ABCD是O O的内接四边形， 长线与DC的延长线交于点 E,且CB= CE1证明：/ DZ E;设AD不是O O的直径，AD的中点为 M且MB MC证明： ADE为等边三角形.证明 由题设知，A, B, C, D四点共圆, 所以Z DZ CBE由 CB= CE得Z CBE=Z E,故Z D=Z E.M如图，设BC的中点

23、为N,连结MN那么由 M= MC知 MNL BC,故O在直线MNh.又AD不是O O的直径，M为AD的中点，故 OM_ AD 即 MNL AD 所以 AD/ BQ 故Z AZ CBE 又Z CBZ E,故Z AZ E, 由(1)知，Z DZ E, 所以 ADE为等边三角形.B组专项能力提升时间：30分钟1. 如下图，在 Rt ABC中, Z ACB= 90°, M是BC的中点,足是 N 求证：AB- BM= AM- BN证明 I CM= MN AM又 M是BC的中点， BM MN- AM.BM_MN Am" Bm又/ BMN=Z AMB AMB BMNAB AM BN=丽 AB' BM= AM BN2. 如下图，在 ABC中, AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点,CF交AD于点E.求证：AE- BF= 2DE- AF证明 过点D作AB的平行线DM交 AC于点M交FC于点N在厶 BCF中, D是 BC的中点，DN/ BF, DN=?BF DIN/ AF, AF0A DNE AE