一道课本立体几何题引发的思考讲解

1、一道课本立体几何题引发的思考丰县华山中学 王永青85683561为什么有些学生花了很多时间，做了大量题目，就是不得解题的 要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因，数学解题过程分以下几个步骤：审题-探索-表达-反思；反思是解题过程 的深层次的思考；是进一步深化，整理和提高的过程，是进一步开发 解题的智力价值过程；也是再发现和再创造的过程。下面从课本一道 立几题的反思入手来分析和解答此题。倒1: P、A、B、C是球0的面上的四个点，PA、PB、PC两两具体解法见课本例题解答反思：仔细研究此图形，不难发现这三条互相垂直的线可以看作 是某个正方体的一个顶点出发的三条棱， 如果能看到这一点

2、的话，我 们可以利用补形的方法来完成此题的解答过程， 把它补成球的内切正 方体，而球的内切正方体的体对角线必过球心， 这样就很容易地求出球的直经，从而求出球的体积 V二三和表面积S=3二。由此可见在立2几中，正、长方体是立几中的重要模型，教学积累使我们感到有不少 的数学问题通过构建正、长方体，可使复杂的问题简单化，抽象问题 直观化，实施问题的有效转换，使问题的解决变的简捷易行。此为课 本立几中的一例题，在此题中我们感受到立几中的基本图形的重要 性，同时要对基本图形有一个比较深刻的了解， 能感受到它的内部结 构，这样就可用补形的方法来完成解题的过程。变式1： P、A、B、C是球0的面上的四个点，

3、PA、PB PC两 两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球0的体积和表面积。（构建球 内接长方体可解）变式2:已知球面上的四点 0、A、B、C满足0A、OB、0C两 两垂直，且球面上一点 P,到0A、OB、0C的距离分别为3、4、5, 求球的直径。例2: 个正方体如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，则截得到的正三棱锥的体积是正方体体积的几分之几。BD分析：此题如果直接去做的话，既要做图，又要经过繁琐的计算， 真的是有点处复杂，但我们会发现截去的四个小的三棱锥的体积非常 好求，同时正方体的体积是已知的，所以此题可设正方体的棱长为 a, 则四个截去的三棱锥的体积是一样的大小，

4、 且等于正方体体积的六分 之一，则截去的体积为正方体积的三分之二， 则剩下的体积为正方体 的体积的三分之一。变式：一正四面体的棱长都等于 a，求此四面体的体积。（图1）BC分析：大部分同学都是用从一个顶点向底面作垂线，求出正四面 体的高，再求出正四面体的底面积，然后再求出正四面体的体积。反思：正四面体和正方体有着必然的联系， 我们可以研究正方体,（图2）如果连接正方体的六个面的一条对角线，可以发现此六条对 角线的连线恰好构成一个正四面体，此四面体的棱长是正方体棱长的 2倍，这样可以用正方体的体积减去四个三棱锥的体积，就可以求 出此正四面体的体积，此法的计算量不大，而且需要的数据都是已知 的。变

5、式：球的内接正四面体的棱长为 a,求此球的体积和表面积。 （可以把正四面体补成一个正方体，则此四面体可以看作是正方体的六个面的对角线组成，正四面体的棱长等于正方体的边长的,2倍，面球的直经是正方体的对角线，所以球的体积和表面积即可求） 禾U用补形的方法可以很容易地求出一个比较复杂的立体几何题， 上面几个例子充分说明了这一点，但我们利用补形的方法也可以去求 二面角和异面直线方面的问题。例3:过正方形ABCD的顶点A作PA丄面AC ,设PA=PB,求平面PAB和面PAC所成二面角的大小。分析：将原图补为正方体ABCD A'B'C'D'，显然所求二面角为侧面PQBA与

6、对角面PQCD所成角，帮二面角为45°。（此题s'还可以用cos二来求解；其中s'是面PCD在面PAB上的射影响S面积，S是面PCD的面积）反思：我们做几何题时一定要对基本图形有很好的了解，能把它们之间的内在关系弄好，弄懂，这对我们解决几何问题来说是比较有 利的，由此我们可以看到，数学有联系紧密的知识结构，数学知识本 身就是一个创生和发展的过程，诸多数学家的发明和创造本身就是一 本“活生生”的教科书。数学可以提供学生发现的方法和思维的策略， 能够给学生以智慧和力量，学生就有可能实现数学知识的“再创造”。 因此，在数学学习中，学生进行的探究性学习和再创造，长此以往， 学

7、生在学习中就自然而然地就能进行再创造和发现的奇迹，对于学生的学习兴趣有非常大的影响。例4：设a、b是空间的两直线，它们在平面:上的射影是两条相 交直线，它们在平面上的射影是两条平行直线，它们在平面 上的 射影是一条直线外一点，则这样的平面 有多少个？分析：构造长方体ABCD A'B'C'D'，如图所示：取A'B为 a, D'C 为 b,面 ABB'A'为:ABCD 为 一：，ADD 'A'为，故与 ADD 'A'平 行的平面都满足题意，故有无数个。上述的这些例子说明，在解决某些几何问题时，若能充分应用割 补法，利用具体对象的特征，往往能找到超乎常规的巧妙解法，这对 激发学生兴趣，培养学生的创造性思维，促进素质教育的实施大有益 处，同时课本既是教师教学之本，又是学生学习之本，教师对课本上 的例题，习题及概念不能仅限于让学生做完，老师讲完，而应适时引 导学生及时进行类比反思，多角度思维，逆向思维创造性思维等，真 正让学生成为课本的奴隶，做题的工具，同时又不能鄙弃教材，甚至 丢在一边，同时变式练习是数学课堂教学之法宝，但同时要顺其自然， 追求自然的变式。所以，在解决问题的过程中，要用策略性知来监控 自