1拉普拉斯变换的定义收敛域讲解

1、第五章逐後系优创S域今折以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号,而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制;另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难./(/)= 1 r Fa，dco = Flf(t 2兀拉氏变换优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行 变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚.本本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论.本章重点在于，以拉氏变换为工

2、具对系统进行复频 域分析.注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆.§ 57從普竝新变糕主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛一些蛍用函数的Ji氐变换一.从傅里叶变换到拉普拉斯变换1.拉普拉斯正变换佶号/(r),Jfl以衰减因子e "(C为任意实数)后容易满足 绝对可积条件依傅 氏变换定义：耳 S) = F /(Q y = J 3?仃 gp £*，<!'十8=f /(f)£E"clf =F(b+j<W)Jao令：b + jQ = 具有频率的量纲.称为复频率.则F(s)= f /(/)e z d/2.拉氏逆变换兀）=鮎

3、匚/（心5；F(b +jo?)= fGm”d/ =F($)= f /(r)e zdrJ-8J«对于/(J* e是/b + je)傅里叶逆变换/(/)<? " = J F(<7 + Jtw)cjf，/d 69 两边同乘以r/(/)= 1F(b + j 小 Hg2n J-8其中:s =(T +jo?;若常数，则d® = jde.8积分限：对=>对©打<40所以3 拉氏变换对F（$）= L/（/）=f * /（/）e °d/lE变换|/0）= L '.儿）=右 J ； F（$）ea 逆变换记作：/（），«）

4、艸为原函数，F（s）为象函数. 考虑到实际传号都是有起因估号：采用0_系统，相应的单边拉氏变换为i/（r）=r'7（0=右:f b ）亡、m例511设因果信号(/),求其拉氏变换例512设反因果信号£(/),求其拉氏变换 b v /7不 kiZ b = /?A2 VA Ku JV I CT A <3例5.13设/为双边函数，求其双边拉氏变换双边函数的 ept r <0/(n = /I(o+/2(o = “s f > o解： 件($2 &($)+ 耳2($) 其收敛域为a < Re s < /7 ,>a时.的相隨数在该收敛域内存在.右

5、0 s aFh(j)与人,($) 没仃共同的收敛域冈 而行(“不荷 在a二.拉氏变换的收敛域收敛域：使/(£)存在的£区域称为收敛域.实际上就是拉氏变换存在的条件：因果函数/(/)满足1. 在有限区间a <tb可积，即为有限值.2. lim/(r)e-*/ =0&>%)收敛轴" / / / / / / /乡收敛区/XZ./收敛坐标/. <T.<ri/ ，/' 夕才 F彳 F r /.例题及说明at4.e'等倍号比描数函数増 K快.找不到收敛坐标. 为1F指数阶信号.无法进行拉氏变换。3ime" e c =o