2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷理科）

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项： 1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上； 2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。 3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。一

2、、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（ ） （A）AB （B） （C） （D）（2）在等差数列中，若，则（ ） （A）1 （B）0 （C）1 （D）6（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是（ ） （A）19 （B）20 （C）21.5 （D）23（4）“”是“的”（ ） （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A） （2） （3） （4）（6）若

3、非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角为（ ）（A） （B） （C） （D）（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）（A） （B）（C） （D）（8）已知直线：是圆C：的对称轴，过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则（ ）（A）2 （B） （C）6 （D）（9）若，则（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）410、设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）二

4、、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应的位置上。（11）设复数的模为，则 （12）的展开式中的系数是 （用数字作答）（13）在ABC中，B120º，AB，A的角平分线AD，则AC 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。（14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CE：ED2：1，则BE （15）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为

5、，则直线与曲线C的交点的极坐标为 （16）若函数的最小值为5，则实数a 。三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（）求三种粽子各取到1个的概率；（）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。（18）（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分） 已知函数 （）求的最小正周期和最大值；（）讨论在上的单调性。（19）（本小题满分13分，（）小问4分，（）小问

6、9分） 如题（19）图，三菱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB，D，E分别为线段AB，BC上的点，BC上的点，且CDDE，CE2EB2。 （）证明：DE平面PCD；（）求二面角APDC的余弦值。（20）（本小题满分12分，（）小问7分，（）小问5分） 设函数。（）若在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（）若在上为减函数，求a的取值范围。（21）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分） 如题（21）图，椭圆（）的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于P、Q两点，且。（）若，求椭圆的标准方程；（）若，求椭圆的离心率e。（22）（本小题满分12分，（）小问4分

7、，（）小问8分） 在数列中，。（）若，求数列的通项公式；（）若，证明:2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工类）参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分（1）D (2)B (3)B (4)B (5)A（6）D (7) C (8) C (9) C (10) A二、填空题：每小题5分，满分25分（11）3 (12) (13) (14)2 (15) （16）-6或4 三、解答题：满分75分（17）（本题12份） 解：（）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典型的概率计算公式有 （）X的所有可能值为0，1,2，且 综上知，X的分布列为 故（个）。（18）（本题13分） 解：

8、（） 因此的最小周期为，最大值为 （）当时，从而 当时，单调递增， 当即时，单调递减。（19）（本题13分） （）证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE. 由CE=2，CD=DE=得为等腰直角三角形，故CDDE. 由PCCD=C,DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，故DE平面PCD。 （）解：由（）知，为等腰直角三角形，.如答（19）图，过D作DF垂直CE于F，已知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2. 由得DFAC, 故AC= DF= 以C为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的方向建立空间直角坐标系，则 设平面PAD的法向量为 由得，故可取 由（）可知DE平面PCD

9、，故平面PCD的法向量可取为,即. 从而法向量，的夹角的余弦值为 故所求的二面角A-PD-C的余弦值为.（20）（本题12分） 解：（）对求导得 因为在处取得极值，所以即. 当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得 （）由（）知 令 由解得 当时，即，故为减函数； 当时，即，故为增函数； 当时，即，故为减函数； 由在上为减函数，知解得 故的取值范围为（21）（本题12分） 解：（）由椭圆的定义， 设椭圆的半焦距为c，又已知因此,即从而故所求椭圆的标准方程为（）解法一：如答（21）图，设点在椭圆上，且则 求得 由得从而 由椭圆的定义，.从而由有又由知因此即于是解得 解法二：如答（21）图，由椭圆的定