勾股定理易错题分析

1、勾股定理易错题分析勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错 误。【例1】在Rt ABC中，a=3，b=4，求c.错解 由勾股定理，得 c. a2 b2 = 、42 32 =5诊断 这里默认了/ C为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b>a时，/ B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况.当/ B 为直角时，c= . b2 -a2 =-, 42 -于=.7【例 2】已知 RT ABC 中，/ B=RT Z ,a.2 ,c=2.2 ,求 b.错解由勾股定理，得B=、c2 _a2 = , (2

2、、2)2 _(. 2)2=6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2+ b2=c2” .殊不知，只有当Z C=Rt Z时，a2 + b2=c2才能成立，而当Z B=Rt Z时，则勾股定理的表达式应为a2 + c2=b2.正确解答TZ B=Rt Z,由勾股定理知 a2 + c2=b2. b= .c2 a2 =、.(2、2)2 ( 2)2 -.10【例3】若直角三角形的两条边长为 6cm、8cm，则第三边长为 .错解设第三边长为 xcm 由勾股定理，得 x2=62+ 82.x= 68 = 36 64 =10即第三边长为 10cm.诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已

3、知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边.正确解法设第三边长为xcm .若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=6282 = . 36 64 =10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x= 82 - 62 = , 28 =2,7 (cm)因此，第三边的长度是10cm或者2 7 cm.【例4】如图，已知 Rt ABC中，/ BAC=90 ° , AD是高，AM是中线，且1 2 73AM= -BC=丄仝 AD.又 RT ABC 的周长是(6+2 '一 3 )cm.求 AD .2 3错解 ABC是直角三角形, AC:AB:BC=3:4:5-A

4、C : AB : BC=3 : 4 : 5. AC= ? (6+23)= 3312 2AB= (6+23 )= 6123BC= (6+2、3 )= 15 5 312 6又AC AB = 1BC *AD2 2 AD=AC *ABBC3 .3 6 2.32 315 5,3(3 .3)2(3、一3)5(3 日)= 2(3+、3)(cm)5诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形,并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特殊代替一般的错误.正确解法 AM= 3 AD3又 MC=MA , CD=MD .点C与点M关于AD成轴对称. AC=AM，/ AMD=60

5、76; =Z C.1,AC= BC,AB=2 AC+AB+BC=1BC+2咼C+BC=6+22,3.-BC=4 .12*3严 tad， AD=2bc=、3 (cm)【例5】在厶ABC中，a : b : c=9 : 15 : 12, 试判定 ABC是不是直角三角形.错解 依题意，设 a=9k, b=15k , c=12k(k > 0).T a2 + b2=(9k)2 + (15k)2=306k2, c2=(12k) 2=144k2, a2 + b2工/ ABC不是直角三角形.诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”.而上面解答错在没有分辨清

6、楚最长边的情况下，就盲目 套用勾股定理的逆定理.正确解法 由题意知b是最长边.设 a=9k, b=15k , c=12k(k > 0).t a2 + c2=(9k) 2 + (12k) 2=81k2+ 144k2=225k2 .2 2 2 2 2b2=(15k) =225k , a + c =b . ABC是直角三角形.【例6】已知在 ABC中，AB >AC , AD是中线，AE是高.求证：AB 2-2AC =2BC DE .错证 如图./ AE 丄 BC 于 E, AB 2=BE2 + AE2,AC2=EC2 + AE2. AB2-AC2=BE2- EC2=(BE + EC) (

7、BE EC)=BC (BE EC)./ BD=DC , BE=BC EC=2DC EC.2 2 AB AC =BC (2DC EC EC)=2BC DE .诊断题设中既没明确指出 ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形所以高AE既可以在形内,也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意而这里仅只证明了其中 的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。正确证明由读者自己完成.【例7】已知在 ABC中，三条边长分别为 a, b, c, a=n.2nb= _1,c=4n2 44（n是大于2的偶数）。求证: ABC是直角三角形。错证1 T n是大于2的偶数，.取 n=4,这时 a=4 , b=3 , c=5 .2,2, c222-a + b =4 + 3 =25=5 =c , ABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）.由勾股定理知 ABC是直角三角形.242