圆周运动中的临界问题

1、圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图1、图2所示，没有物体支承的小球， 在竖直平面作圆周运动过最高点的情临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界=、/Rg能过最高点的条件：v>qRg ,当v>/Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产 生压力。不能过最高点的条件：vvv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生 压力能过最高点v临界=0,此时支持力N= mg当0<v< 晒 时，N为支持力，有0vNv mg且N随v的增大而减小当v=#g时，n= 0当v>，Rg , N为拉力

2、，有Nl>0, N随v的增大而增大a、b分别表示小球轨道的最低点和例1（99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过。的水平轴自 由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中最高点，则杆对球作用力可能是（）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D> a处为推力，b处为推力例2 长度为L=的轻质细杆 OA A端有一质量为 m=的小球，如图5所示，小球以s, g 取 10m/s2,则。点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是/此时细杆OA受到（）A的拉力B、的压力C 24N的拉力DX 24N的压力例3 长L=,质量可

3、以忽略的的杆， 其下端固定于 。点，上 端连接着一个质量 m= 2kg的小球A,A绕O点做圆周运动（同图5）, 在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当A的速率vi= 1用/s时当A的速率V2=4m/s时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度3变化时，物体有远离或向着圆心运动的 （半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例4如图6所示，两绳系一质量为 心的小球，上面绳长 L = 2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45° ,问球

4、的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？例5如图7所示，细绳一端系着质量 心的物体,静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m=的物体，M的中与圆孔距离为，并知 M和水平面的最大静摩擦力为 2N。现 使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？ （ g=10m/s2）说明：一般求解“在什么范围内”这一类的问题就是要分析 两个临界状态3、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m/s时，车对桥的压力为车重的车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）A、 15 m/s曰 20 m/sG 25 m/s0 30m/s2、如图8

5、所示，水平转盘上放有质量为 m的物块，当物块到 转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直 （绳上张力为 零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的科倍。求：当转盘角速度3 1=、 时，细绳的拉力 。当转盘角速度3 2=/329时，细绳的拉力 丁2。三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。答案例1分析：答案A是正确的，只要小球在最高点 b的速度大于婀，其中L是杆的长；答案B也 是正确的，此时小球的速度有 0<v啊;答案G D肯定是错误的，因为

6、小球在最低点时，杆对小球 一定是拉力。例2解法：小球在A点的速度大于顾时，杆受到拉力，小于 回时，杆受压力V)=gL =错误!m/ s=错误！m/s由于v= m/s<# m/s,我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg和细杆的支持力N2 v 由牛顿第二TE律 mg- N= m L2VN= mg m L =故应选 B解法一：(同上例) 小球的速度大于 木m/s时受拉力,小于J5 m/s时受压力。当Vi = 1m/s<45 m/s时，小球受向下的重力2、,V由牛顿第二JE律mg- N= m mg和向上的支持力 N2VN= mg m = 16Nmg即杆受小球的压力16No当

7、V2 = 4m/s>45 m/s时，小球受向下的ft力2、,V由牛顿第二JE律m时F=m mg和向下的拉力F2VF=m L mg= 44N即杆受小球的拉力 44No解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上面解法中的的情形。2由牛顿第二定律mg+ F=m +2IV得到F=m ( L g)图7当vi=1m/s时，Fi=16NFi为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当vz=4m/s时，Fz=44N。F2为正值，说明

8、它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例4解析：当角速度3很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当3逐渐增大到 30°时,BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为31,则有：Taccos30 ° = mgTAcSin30 ° = m3 ；Lsin30 °将已知条件代入上式解得31= rad /s当角速度3继续增大时Tac减小，Tbc增大。设角速度达到3 2时，TAc= 0 （这又是一个临界状态）则有：Tbccos45 ° = mgTBcSin45 °

9、 = mw ；Lsin30 °将已知条件代入上式解得32= rad /s所以 当3满足rad /s< w < rad /s, AG BC两绳始终张紧。本题所给条件 3=3 rad /s,此时两绳拉力 Tac、Tbc都存在。TAcsin30 ° + TBSin45 ° = mw 2Lsin30 °Taccos30° + Tb（cos45 ° = mg将数据代入上面两式解得Tac= ,Tbc=注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果3V rad /s时，Tbc=0, AC与轴的夹角小于 30° 。如果3>/s时，Tac= 0, BC与轴的夹角大于 45例5解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而 M与平面静止时有两个临界状态:当3为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对 M的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此时，对M运用牛顿第二定律。有 T fe ML 12r且 T