导数练习题(精编)

1、1 已知函数 f x e2x x2 ax 2.(1)当a 2时，求函数f x的极值；(2)若gx f x x22,且gx0恒成立，求实数a的取值范围.212.已知函数 f(x) ln x mx , g(x) - mx2 x, m R,令 F(x) f (x) g(x).21(1)当m 时，求函数f(x)的单调递增区间；2(2)若关于x的不等式F(x) mx 1恒成立，求整数 m的最小值；x23 .已知函数f(x) e (sin x ax 2a e),其中a R,e 2.71828 为自然对数 的底数.(1)当a 0时，讨论函数f(x)的单调性；.1 _(2)当一 a 1时，求证：对任意的 x

2、0,), f (x) 0.24 .已知函数 f (x) ex m ln2x.(1)若m 1,求函数f(x)的极小值；(2)设 m 2,证明：f (x) ln 2 0.x5 .已知函数f (x) x lnax, g(x) =，其中a R且a 0, e为自然常数. e(1)讨论f (x)的单调性和极值；(2)当a 1时，求使不等式f(x) mg(x)恒成立的实数 m的取值范围.6 .已知函数 f(x) x ln x ax2 1,且 f (1)1.(1)求f (x)的解析式；(2)证明：函数y f(x) xex x2的图象在直线y x 1的图象下方.7 .已知函数 f x 1 x3 ex2 mx 1

3、,g x nx.3x(1)函数f x在点1,f 1处的切线与直线 1 2e x y 4 0平行，求函数f x 的单调区间； ''(2)设函数f x的导函数为f x，对任意的x1,x2 0, ，若g K f x2恒成立，求m的取值范围.8 .设函数 f (x) xln x(x 0).(I)求函数f (x)的单调区间；(n)设F(x) ax2f (x)(a R), f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(出)当x 0时，证明：ex f (x) 1 .,，一一(x 1)29 .(本小题满分12分)已知函数f(x) lnx -.2(I)求函数f x的单调递增区

4、间；(n)证明：当 x 1 时，f(x) x 1；(出)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0 1,当x (1,x0)时，恒有f (x) k x 1 .10 .(本题满分14分)设函数f(x) xlnx(x 0).(I)求函数 f(x)的单调区间；2(n)设F(x) ax f (x)(a R), F(x)是否存在极值，右存在，请求出极值；右不 存在，请说明理由；(出)当x 0时.证明：exf (x) 1.试卷第2页，总2页参考答案1 .（1）函数f x极小值为f 01,无极大值； 0,2e .【解析】试题分析：（1）当a 2时，f x e2x x2 x 2, f'x 2e2x 2x 2

5、,通过二次求导可知2x函数f'x 2e 2x 2在R上单调递增，且f'00,所以当x 0时f'x 0,当x 0时，f ' x 0因此函数f x在区间 ,0上单调递减，在区间 0,上单调递增，所以 f x的极小值点为2xf 0，无极大值点；（2）对函数g x求导可得g' x 2e a,分a 0和a 0讨论，显然a 0时，g' x 0,函数g x在R上单调递增，研究图象可知一定存在某个 x0 0 ,使得在区间，%2x2x上函数y e 的图象在函数 y ax的图象的下万，即 eax不怛成立，舍去；当 a 0时，函数g x 在区间 1ln - 上单调递减

6、，在区间 11ng 上单调递增， 22221 ag x g 1n 一 0，斛行 0 a 2e.min 22试题解析：（1）函数f xe2x x2 ax 2的定义域是R ,当a 2时，2x 22x2xf x e xx 2f' x 2e 2x 2,易知函数f'x 2e 2x 2的定义域是R上单调递增函数，且 f'00,所以令f' x 0,得x 0;令f'x 0,得x 0,所以函数f x在区间,0上单调递减，在区间 0,上单调递增.所以函数f x极小值为f 01 ,答案第13页，总13页无极大值.22x 222x2xx 2 e x ax 2 x 2 e ax,

7、贝 Ug'x 2e a.当a 0时，g' x0恒成立，所以函数g x在R上单调递增,且数形结合易知，一定存在某个x0 0 ,使得在区间，x0上，一、“，2x2x函数y e的图象在函数 y ax的图象的下万，即满足 e ax的图象即g x 0 .所以g x 0不恒成立，故当a 0时，不符合题意，舍去；当a 0时，令g' x所以函数g x在区间0 ,得 x 1 ln a ； g' x2 211n a上单调递减，在区间,2 20 ,得 x - ln；2211n a 上单调递增22 ,所以函数g x定义域R上的最小值为g 11n-ln- 1a0，即e 2 a -1n-2

8、20，22若g x 0恒成立，则需满足g .1in a22即 a a11na 0，即 a 1 N 0. 22222a又因为a 0，所以1 In -0 0，解得a 2e，所以0 a 2e.2综上，实数a的取值范围是 0,2e考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值 .【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于又t题.本题第一问研究函数的极值， 通过二次求导得到导函数的最小值说明f x的单调性,来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把g x0恒成立转化为求函数 g x的最小值，按照a的符号进行讨论，来判断g x的单调性，当a 0

9、时，g x单调递增，通过找反例排除，当a 0时，求出函数g x零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解2 .(1) (0,1) ； (2)最小值为 2 .【解析】1试题分析：(1)当m 时，对f (x)求导求其单调增区间；(2)先化简F(x) mx 1为 2F(x) mx 1 0,恒成立问题，转化为求G(x) F (x) (mx 1)的最大值来求解.1 o11 x2江也斛析：(1) f(x) 1n x -x,x 0, f (x) - x , (x 0).2 x x2由f (x) 0得1 x 0又x 0,所以0 x 1 ,所以f (x)的单增区间为(0,1).1 2(2)令 G(x) F

10、 (x) (mx 1) In x - mx (1 m)x 1.22'1mx (1 m)x 1所以 G (x) mx (1 m)xx, . 一. _ 一_'. _ _ . . . _当m 0时，因为x 0,所以G(x) 0所以G(x)在(0,)上是递增函数,一3又因为G(1)-m 2 0.2所以关于x的不等于G(x) mx 1不能恒成立.1m(x )(x 1)当 m 0时，G'(x)m.x“一，11_，1一，令 G(x) 0 得x 一,所以当 x (0,一)时，G (x) 0；当 x (,)时，G (x) 0, mmm11因此函数G(x)在x (0,)是增函数，在x (，

11、)是减函数.mm11故函数G(x)的最大值为G() ln m.m 2m人111令 h(m)lnm,因为 h(1)0, h(2)In 2 0.2m24又因为h(m)在m (0,)上是减函数，所以当 m 2时，h(m) 0,所以整数m的最小值为2.考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题.【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题，只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题，我们一般都需要对已知条件进行化简，如本题我们就化简F (x) mx 1为F(x) mx 1 0,化简后右边为零，我们就可以转化为求 G(x) F(x) (mx 1)的最大值来求解.借助导数

12、工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解3. (1)函数f(x)在R上为减函数；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)对函数f(x)求导，利用函数的单调性与导数的关系 ，得出函数f(x)的单调性；(2)对任意的x 0,), f (x) 0等价于对任意的x 0,) , sin x ax2 2a e 0 ,再构造函数2g(x) sin x ax 2a e,求导，利用导数，求出g(x)的取大值小于蚕.试题解析：解：(1)当 a 0 时，f (x) ex(sin x e) , x R,f (x) ex (sin x cosx e) exV2 sin(x ) e,当 x R时，-72 sin(x

13、 ) V2, . f (x) 0.4f(x)在R上为减函数.(2)设 g(x) sin x ax2 2a e, x 0,), g (x) cosx 2ax,令 h(x) g (x)cosx 2ax, x 0,)，则 h (x) sin x 2a1,当1a 1时, 2x 0,)，有 h(x) 0,h(x)在0,)上是减函数，即 g (x)在0,)上是减函数,又 g (0) 10, g(Z) ? O,0,g (x)存在唯一的 x (0,),使得 g (x0) cosx0 2ax04当 x0 (0,x0)时，g (x) 0,g(x)在区间(0,Xo)单调递增;当 x (x0,)时，g (x) 0,g

14、(x)在区间(x0,)单调递减,因此在区间 0,)±g(x)max2g(x0) sin x0 ax0 2a ecos x02ax00,Xo1一 cosx0, 2a将其代入上式得g( x) maxsin x0cos2 x0 2a e 4a1 c"2cnsin x0 sin x04a14a2a e,令 t sinx0, x0(0,4)2，则t (0,)21 2即有P(t) t 4at工4a2a(0, 2 p(t)的对称轴t2a0,：函数p(t)在区间(0,2上是增函数，且1,P(t)18a2a1581,、e 0,( a 1)2即任意x0,)g(x)0,f(x)exg(x)0,因

15、此任意0,f (x) 0.考点：1.利用导数研究函数的单调性;2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的综合应用等知识点，是压轴题.在(2)中，注意等价转换，对任意的x0,), f (x) 0等价于对任意的x 0,2)，sin x ax 2a再构造函数g(x)一,一 _ 2sin x ax22a e ,利用单调性，求出函数g(x)的最大值，即g(x)max sin Xo-cos2 Xo 2a e 4a1.2一 sin x0 sin x0 4a14a2a e,把sin x0看成个整体，就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化4.（1）f 11 ln2;证明见解析.

16、【解析】试题分析：（1）当m 1时，f1 口 一得其零点 x1,判断f x在0,上的单调性，可知f x有极小值;（2）把函数m ln 2x ex 2 ln 2x ,构造函数g（x） ex 2ln 2x12eIn 2利用导数研究函数g x的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论试题解析：（1）ex 1 ln 2xln 2ln x ,所以f x1 x1x11-ee一,exx观察得f 1x (0,1)时0,当1,十单调递增，故有极小值1 ln2.证明：（2）因为2,所以0;所以xln 2x e令 g(x) ex21-1ln 2x eln 2ln x ,则 g (x)增,1g(1) - 1e0，g(

17、2)所以设g （%）x (0, x0)时,g (x)0,x (x0,)时,g (x)x0,上单调递增,所以g( x) ming(x0)ex0ln 2x0,又因为所以x0 2ln elnx0x0ln x0所以g( x) ming(x0)ex0ln 2x0 ex0一x0 x0ln2ln 21当且仅当一x0g(x)min ln2,即g(x)1在(0, x）上单调递增，所以当在0,1单调递减，f xln 2x ,0;所以,易知g (x)在(0,x0g(x)在则x°0,x0在1,+）单调递(1,2)；当上单调递减,x0g (x0)eln 2 ln x0x0x0 2 e1x。x0即x0ln 2,

18、所以 f(x)ln 2 ，ln 2x02x01时等号成立，即 f(x) ln2而x0(1,2),所以考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 .【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题(1)中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是(2)证明不等式，可利用函数f X的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数g(x) ex2 ln 2x的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提

19、下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧5.(1)当a 0时，x 0, f (x)在(0,1)上单调递减，在 (1,)上单调递增， f(x)有极小值' x 1f (1) 1 lna；当a 0时，x 0, f (x) 0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无 x极值；(2)(, e).【解析】试题分析：(1)求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；(2)分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值.试题解析：(1)因为 f(x) x ln ax,a 0, a R,所以当a 0时，f(x)的定义域为(0,)；

20、当a 0, f(x)的定义域为(，0).1 x 1又 f(x) x In ax x In x lna, f (x) 1 ,x x故当a 0时，x 0, f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，f(x)有极小值 f(1) 1 lna；x 1_当a 0时，x 0, f (x) 0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无极值. x(2)解法一：当a 1时，f(x) x ln x ,由(1)知当且仅当x 1时，f(x)min 1,1 x 一.因为g (x) -,x 0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，e，一， 一1当且仅当x 1时，g(x)max -.ex当 m

21、0 时，由于 g(x) 0, f (x)min 1,所以 f(x) mg(x)恒成立； e当 m 0时，mg(x)max m, e要使不等式f (x) mg (x)恒成立，只需1 m,e综上得所求实数 m的取值范围为(，e).解法二:x 一当 a 1 时 f(x) x lnx,所以 x 0, g(x)二 0, ex故 f(x) mg(x)f(x) g(x)ex(x In x)人ex(x In x) (x 1)ex(x In x 1)令 F (x) ,则 F (x)-4xx由(1)可知x In x 0,''所以当 x 1 时，F (x) 0,当 0 x 1 时，F (x) 0,所

22、以 F(x)minF(1) e.故当m e时，不等式f(x) mg(x)恒成立.考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用.【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用f(x) M恒成立f (x)min M转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.一 一 . . .2.6.(1) f (x) xln x x 1；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)求导，由 f (1)y x 1的下方”等价于

23、 ln xx .h(x) In x e 1的单调性与最值，证试题解析：对f (x)求导，得f (x) 1所以 f (x) x ln x x2 1(2 )证明：“函数y f (x)ln x ex 1 0 ,所以只要证.1求出a即可；(2) “函数yxe 10,构造函数h(x)h(x)max 0 即可.In x 2ax, f (1) 1x 2xe x的图象在直线yxh(x) 1nxe 1 , h (x)f (x) xex x2的图象在直线xIn x e 1 ,求导，研究函数2a 1, a 1,x 1的下方”等价于即要证-ex ,x趋于 0时，h (x) 0, x存在一个极值x0(0,1)使彳te&

24、amp;1-，、，一 等价于h(x) ln x0X011 (0 XoX01)所以 h(x)0故函数y f(x) xex2x的图象在直线yX 1的下方.2考点：1.导数的运算法则;2 .导数与函数的单调性、极值、最值;3 .函数与不等式7. (1) fx的单调区间为 2e,0 ,单调减区间为0,2e ；(2)试题分析：(1)根据f x在点1,f 1 处的切线与直线2e0平行，可得2e,据此可求得m ，研究f x的符号变化即得函数的单调区间;(2)若对任意的Xi,X20, ，若g x1f x2恒成立,则有g X maxX min，分别求出fX min 和g x的最大值即可求得m的取值范围.试题解析

25、:(1) f x2ex m1 2e m2e, m 0所以函数(2)函数2ex0,解得x 2e或x 0,的单调区间为1 In xg x的单调为e 时，g X max2e,0,单调减区间为 0,2e ；In x单调减区间为e,2ex2m e，f X minX1f X2恒成立,考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属 于中档题.利用导数的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判 断给出的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断

26、导数的符号，有时还要讨论， 本题的难点是(2)中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题8. (I)1f(x)的单调增区间为(1, e1，一 ,一),f(x)的单调减区间为(0,)；(口)当a 0时，F(x)无极，e值；当a10时，F(x)有极大值一2ln J -,无极小值.(皿)证明详见解析.2a【解析】试题分析:(i)利用一阶导数的符号来求单调区间.(口)对a进行分类讨论，F(x)的极值.(皿)把证明不等式转化求函数的最小值大于0.试题解析：(I) f (x) lnx 1(x0).令 f (x)令 f (x)1 f(x)的单调增区间为(二e一111 0,得x

27、 ,故f (x)的增区间为(一，)； ee1- 1、1 0 ,得x ，故f (x)的减区间为(0,)；ee，1),f(x)的单调减区间为(0,-).，e(口)2F(x) ax In x1(x0) F (x) 2ax2ax2 1 , 川(x 0) x当 a 0时，恒有 F(x) 0 . . F(x)在(0,)上为增函数，故F(x)在x (0,)上无极值;11当 a 0 时，令 F(x) 0,得 x J ，当 x (0,J ), F (x) 0, F(x)单调递增, 2a2a),F (x) 0, F(x)单调递减.F极大值(x)11F(. 2a) 2In1-I ，F(x)无极小值; 2a综上所述：

28、a 0时，F(x)无极值a 0时，F(x)有极大值1 ln J ,，无极小值. 2 2a(皿)证明：设 g(x) ex In x(x 0),则即证 g(x)2 ,只要证 g(x)min 2.x 11 一一g (x) exg(0.5)e22 1.7 2xx 1又g(x) ex 在(0,)上单调递增 x:方程g (x) 0有唯一的实根x t ,且t (0.5,1) .当 x (0,t)时，g (x) g (t)0 .当 x (t,当 X t 时，g(x)minet lnt1.1, g (t)0 即 e 1则 t e g(x)min -:原命题得证.考点：求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的

29、最值.)时，g (x) g (t)0【方法点睛】(1)解含参数a的不等式，需要对a进行分类讨论,是本题的亮点,也是本题的难点之一.(2)把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一.(3)在求最小值的过程中，对零点t设而不(4)本题题干简洁，但是内涵求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方. 丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长.9. （I） f X的单调递增区间是 0 1一叵 ;（口）详见解析;，2(ID),1 【解析】试题分析：（I）求导，令导数大于 0得增区间.（口）令FX 1 ,求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最

30、大值小于0即可.（皿）由（口）知k 1或k 1时均不成立.当k 1时，令Gx f X,求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间.根据单调性可得其最大值,使其最大值大于0即可.0,（口）则有F的单调递增区间是1 X21,时，F X1,0,1520,上单调递减,故当X 1时，F x F 1（W）由（口）知，当0,0 ,即当 X 1 时，f X X 1 .k 1时，不存在x0 1满足题意.试题解析:解彳导00F( x)在(0,)上为增函数,答案第17页，总13页k x 1 ,从而不存在x01满当k 1时，对于x 1,有fx x 1 kx1,则fx当k 1时，令G x则有G xx21 k x 1x由 G

31、 x 0得，x21 k x 1 0.1 k 1 k 2 4解彳导X1 0X21,X2 时，G0,故G1,X2内单调递增.从而当x1,x2 时,0,综上,k的取值范围是,1 考点:用导数研究函数的性质.10.(1D f(x)的单调增区间为(1, e1、),f(x)的单调减区间为(0,1)；(ii)当a 0时,，eF(x)无，一1极值;,无极小值.(皿)证明过程详见解析. 2a当a 0时，F(x)有极大值一2【解析】(口)函(皿)原不等式等价于 ex ln x试题分析：(I)求出导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结出单调区间;数有极值，则导函数等于零有变号零点，从而求出参数范围;函数，设g