浙江省绍兴市稽阳联谊学校2021届高三11月联考数学试题

1、浙江省绍兴市稽阳联谊学校2021届高三11月联考 数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部 分3至4页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：L答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷 和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本 试题卷上的作答一律无效, 参考公式：棱柱的体积公式V=Sh其中S表示棱柱的底面积，力表示棱柱的商棱锥的体积公式1上一劭3其中S表示棱锥的底面积，力表示棱锥的商 校台的体积公式v = a(S +qSS, + s?)其中S,

2、S分别表示棱台的上下底面面积，力表示棱台的高共40分)如果事件九B互斥,那么p(a+*=p3+ps如果事件从B相互独立，那么尸。心=尸(4 p如果事件/在一次试脸中发生的概率是A那么A次独立重灾试睑中恰好发生才次的概率PM=Cp (lp)rk (k = 0,1,2,，n)球的表面积公式S = 4欣 2球的体积公式：1保=十哝3 (其中斤表示球的半径) 第I卷(选择题,一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.巳知集合M =*1-1工4," = 11/一工一60,则知0%=D. xl-2<x<4()D. 2(

3、)A. xl-l<x<4| B. xl-l<x<3 C. x-2<x<32.巳知复数z =一一，其中i为虚数单位，则16= 1/A. ；B. *C. V2x - y - 2 < 03 .若变量xy满足y 2W0，则匕3.的最小值是x-62x+y-4>04A. -2B. 一一C. -45rein X4 .巳知函数/(x) = l的图象可能为2 - cos xD. >/3 +1, 5C. 3 + 不,二37.如图，已知点尸（瓦，光）是双曲线6：十一二=1上的点, T第6题图过点p作椭四a：±+二=i的两条切线，切点为a,b, -43直

4、线48交G的两渐近线于点E，尸，。是坐标原点，则瓦方的值为A.C.3443B. I8.四面体48CQ中，/WJ_4C8J_3C,3c = 2,且异面直线A3与。所成的角为60二 若四面体ABCD的外接球半径为小,则四面体ABCD的体积的最大值为（）A. 25/3B. 4>/3C. D. 369.巳知数列“是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为S “.若P < "7 v v 5且 + 4 =机+小p,q,m,金N：则下列判断正确的是（）A.S2P =2p(B. apaq > amC.1111+ < + aP 4 q1111n 十 >Sp Sq

5、 Sm Sn10.巳知c为自然对数的底数，d 为实数，且不等式lnx + （2c l）x + + l。对任意的x e (0,+8)恒成立.则当取最大值时，a的值为a + A. 2eB. 21C. 3e( )D. 3e 1第II卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分，单空题每题4分。1 L 已知tan。+二=一，且一va二，则 tana= f sin2a =.I 4 J 22212 .若(2x)s = c% + ax(2x-l) + a2(2x-I)2 + %(2x 1)' + «4(2x-l)4 + %(2x 1),则 %+q +/+%

6、+%+%=，“2=.13 .已知动直线/：y = H-2与圆=6交于A,8两点.当女=1时，IA4I= .当/运动时,线段A3的中点例的轨迹方程为 .14 .在A8C 中，角 A、B、。所对的边分别为。、。、c ,已知才csinA+Gm'+-ruO, 则NC= ；若点。是边力8上靠近A的三等分点，且CQ = 1,则AABC面积的最大值为.1 215 .巳知正实数。涉满足一 + 7 = 1,则m + l)S + 2)的最小值为.a b16 .袋中装有6个大小相同的球，其中3个白球、2个黑球、1个红球.现从中依次取球，每次 取1球，且取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用X

7、表示终止取球 时巳取球的次数，则随机变量X的数学期望石(X)=.17 .巳知平面向量”,反c,2满足：14 1=|3|=4» = 2,。4=8.若对满足条件的任意。，IJ-cI 的最小值恰为IZ 7.设2 = +)，兀则x + 2y的一大值为一 .三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.18 .(本题满分 14 分)巳知函数/(x) = 2siif(x +马一"cos2x-l,xeg,为44 2(I)求/。)的单调递增区间；(II)若不等式!/.(#-/川2在巧；,上恒成立，求实数团的取值范围.19.(本题满分15分)如图，三棱台ABC

8、 -45G中，48_18。,44。8 = 30二侧面4，64为等腰梯形，AC = 2A4=2AG=2CC = 4, AR = 3.（I）求证：AC YAB.（H）求直线BC与平面4CGA所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知等差数列4满足：=5,4是4+4和弓一4的等比中项. 数列"满足：afy + 02b2 + + anbn = （21） 2n+, + 2.（I）求数列%和俗的通项公式.(II)若J =数学试题卷第5页(共4页)21.（本题满分15分）已知椭圆G : v+ V = 1和抛物线C2: V = 2PX（ 0）,点E为G的左焦点，点七为G的焦点.（I ）过点尸的直线

9、与C?相切于点尸，若PF 1=5/5,求抛物线G的方程.（II）过点上的直线/交G于RQ两点，点M满足 丽=-4两（。为坐标原点），且点M在线段x = -l（二）上.记 APQW 的面积2-2为"，石尸夕的面积为$2,求?的取值范围.22.（本题满分15分）巳知函数/*）='+内22,4/6K）.（I）若/&）在0,+8）上为单调递增函数，求实数”的最小值.（H）若g（x） = /（x） + （2/ +2）x有两个极值点玉,（玉 占）.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：l + 口一内+为11皿.a2数学参考答案及评分标准第I卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题

10、共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.l.B 2.B3. A 4. A 5.C6. A 7. B 8. A 9. D 10. D各题详细参考 解答1 .解：由于 M=WT<x<4,N = W-2<x<3,从而 M PIN = xl1 v x v 3,选 B.2 .解：由于z =_L+L,见缄1=走.选b.1-z2222x - y - 2 < 03 .解:如图，不等式组丁一24。表示的平面区域为如图,2x+y-4>0v + 2 的阴影部分，从而当x = 4,y = 2时，>有最小值2.选A.x-6rein

11、y4 .解：由于/（x）= c一 .为偶函数,且/（x）在x = 0右侧取值正，故选A.2-cosx5 .解：充分性：log、2 > log。2 >0 = a >Z? > 1 =。 1 > 人一 1 > 0 =111>1 匕-119 充分性成立.必要性：取。= 2/ = !，则成立，而条件不成立，故A/9MA22log, 2 > log。2 > 0是I a -11>|。- 11的充分不必要条件，故选c.6,解：该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成，直观图如图S = Hx2 + i-V2->/2x2+-1x4 = 7 +

12、x/3.2222V=VH -2,=1.1.2-2-1-1=1,故选 A.J 乙J7 .解：椭圆G关于点P（Xo,光）的切点弦A3的方程为3天/ + 4%y=12.联立：3V+4.voy = 12小V =X24褥 6、底：o + 2%'底。+ 2儿,，同理厂（46一6氐厂2%，氏一2%,则无.方= + 寒一、2 故选B.("%) -(2%)一(岛)-(2y0)- 3/ -4.%8 .解：构建直三棱柱48E CQF,设G,“分别为尸的外心，连接GH,取其中点。，则。为直三棱柱A3ECOF的外接球的球心，也为四面体A8C。的外接球的球心，因为异面直线A8与。所成的角为60 ,所以N

13、A8E = 6(T. C设三棱柱底面三角形A45E的外接圆半径为则，二斤？ = 2,AE = 2rsin60 =25/3,再由余弦定理，AE2 = AB2 + BE2 -2AB BE cos60 AB2 + BE2 - AB BE = 2 f B所以 2 = AB? + BE2 - AB BE N 2AB BE - AB BE = AB BE所以 VA-BCD = - ABE-CDI- = - - - -/IB - BF - sin 60 BC = AB BE <2>/3t 33 26故四面体ABC。的体积的最大值为26.故选A.9 .解：由于 $2。=二? J；7")=

14、 pSp +Gp+1)W 2pp ,故选项 A 错误.由于= ap aq-a an =am+(p-rn)d-aH+(q-n)d-am an = am-(q-n)d-a +(q-n)d-am-a =(q-n)d(am -an)-q-n)2d1 =-(q-n)d2(n-m) -(q-n)2d2<0t故选项B错误.由于故选项C错误.%4% apY%ant alt设k = 一 = "?一 >。，则 pq - inn = (/? + x)(m - x) - nin = -x(n - m) - x2 <0 , 从而IN v mn,由于 + q = ? + = “2 +/ + 2

15、Pq = m2 +n2 + 2mn ,故 / 十夕2 > 帆2 + 2.。/ x P° + q2 m,z 、 in2 +n2 -m-n , o故 S+ 5g = (p + cj)a +d > (7 + )q +d = 5加 + 5.乙乙c C r,s (T)m “ J7(q-l)2 JM(P + 4 - 2)pg(p-l)(g-l)解SP sq=l+-5- dI 0 + - d】=pq，+d、 阳(/ + -2) , 用(一 l)(g-l) P ,. ?(， + “- 2) f ?(?一 1)( -1) P< mna +qd + ',"才 <

16、mna + ad + 小= S,. S”.由此 = "=+.,故选项 d 正确.故选 D.注：本题也可用特殊数列代入，利用排除法求解.数学试题卷第9页（共4页）10.解：由于 lnx + (2e-a-l)x + + l K0olnx + 2ex-l < (a + )x-(b + 2).此不等式对任意x£(O,+s)恒成立，则需要保证。+ 1>0 ,令x = ,，则卜1 + 2-14( + 1), 一 2 e ee从而( + 1)1之 + 2,从而生ea + e另一方面,当a = 3c 1,Z? = 1 时，lnx+(2s-“-l)x+ + l£()即为

17、Inxx+2<0,1-cxi设 f(x) = Inx-ex + 2(x>0),则 /'(x) =e =>0#0<x<-,故/(x)在(0,-上xxee单调递增，在d，+s)上单调递减，从而/(x)«/(l) = O,即 =3“-1,。= 1可使不等式恒成 ee、一 ,1 -y- 8 + 2 bH 1立，从而可取一.。+ 1e综合上述，当空二取最大值1时， = 3eL故选D. a + e第n卷(非选择题部分 共no分)二、填空题：本大题共7小题，共36分，多空题每题6分,单空题每题4分。11.352乃 9>/3 ,3 ' 812. 3

18、2； 1013. V22 ; (x )2+(y + l)2=3 (去掉原点).213915. 1816.17. 360说明：第13题不去掉原点也不扣分.各题详细参考I (4、tan a +111T打3万” .J1011 .解：由于 tan a+ =,贝4 tana =-；又一v a v ,故sin a =,4 J1 - tan a232210c°sa = _ 也，从而.2a = 2s-sa = 2x 巫 x(-亚)=/ 101010512 .解：令 x = l,贝1。0 +。1+生+。3+。4+45=2、=32；由于(2x)，=(2x-l + l)5,从而6 一；=叵.a'

19、= C；= 10 .故填 4 +q +a, +% + a4 +a5 = 32 ；= 10.11 211 ml I 人 Q I G=研=万则=213 .解：当攵=1时，点。到/的距离由于直线/过点0（0,-2）,C（l,0）,则点M在以。C为直径的圆上，该圆的圆心坐标为（g,1）,半径，=£,故点M的轨迹方程为（x ；）2+（y + »=* （去掉原点）.2242/r 2 1 ” .又 CO = G4 + C8, 3334f.14 .解：由于2Z?csin4+c；) = 0,故2bcsinA+G2a/?cosC = 0, 从而csin4+ /3acosC = 0 ,即 sin

20、Csin A+ JJsinAcosC = 0，故 tanC = -JT,所以从而|国=二己+上砺+二4 = 1.故3399929-ab <i9 即 不,故 SZBc= %sin"也.数学试题卷第13页(共4页)1 215 .解：由于一+ = 1,则2。+/? =。/?,从而(。+ 1)(。+ 2) = 2。+ +。 + 2 = 2(2。+勿 + 2a b= 2(2« + )(l + -) + 2 = 2(4 + - + ) + 2>2(4 + 4) + 2 = 18 ,当且仅当 =2。= 4,即 a ba b当 =2,。= 4取等号.16.解：根据题意X可取2,

21、3,4. P（X=2）=3x2x2 + 3x2 + 2x2 116x5P(X=3)=3x2x2+3x2+2+2x3153x2x2+3x2x116x5x46x5x4x320Doy aHBO139故 E(X) = 2xP(X =2) + 3xP(X=3) + 4x 尸(X =4)= 6017 .解：如图，设。=PA,b = PB,c = PC,d = PD ,由于I。1=1。1=。/? = 2,则cos<PA,PB >=1,故 N4P8 = 60°.由于 72 = 8,过点。作 2弘的垂线/,垂足为K,则PK = 4,故点C在定直线/上.故1721的最小值即为点。到直线/的距

22、离由此= 故点。的轨迹为以点A为焦点，准线为/的抛物线.设AK的中点 。为原点建立直角坐标系，则抛物线的方程为>=-4',P(T0).A(T.0),B(-2.7J).取尸8的中点M,平行于直线A"作抛物线的切线，切点分别为。0一切线交K轴于点E.由于 d =xa + yb,即 PD = xPA + yPB = xPA + 2y = xPA + lyPM，故当点。位于点 D()时，x+2y有最大值，最大值为如.PA设抛物线y2 = -4.r上的点。°(一/2),该点处抛物线切线为x + zy-r=O .令 一;= 3.“= 一 爰，则，=6,则切线AE:x+/)

23、，3 = 0,故点 E(3,0).从而(*+2，)心=3. 三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或 演算过程.18 .解：(I)由于 f(x) = 2sin2(x + )-75cos2x-1 = 2sin(2x-)434分 又'呜卓，则"2x 会斗，则令"2x "kJ,解得亲.故/的单调递增 区间为6,葛.7分(II)若不等式心A/川<2在xe6,上恒成立=2 + m<f(x)<2 + m.9分由于当xejg, 上”二经,故f(x) = 2sin(2x £)的值域为1,2. 4 2633312

24、分由此2 + '"，故 0<?<3.14 分. "2 + /« > 24; 俄 2 C,19.解法一：(D如图，过点8作4C的垂线，垂足为。， /tv以08、0C所在直线为x轴和y轴建立空间直角坐标系.2 il JBj 由于乙408为二面角A1一 AC -8的平面角，由于A O = JJ, 80 = J5, A 3 = 3 ,故 N4 03 = 120°.则A(O,-1,O),B(V3,O,O),C(O,3,O), A(-三，0，上).考 虑到 A分= (JJ，。)，则 2244 =；48 = （g,；,0）, 从 而（x% +

25、 *,y用,包 -彳）=（=，g、°）, 故 乙乙 乙乙乙乙 乙1 3附2/4分 . 3 后3-由于衣= （0,4,0）, 4月=（+，0,一5）,从而4乙4月=0,故AC_LA".乙乙7分di）设平面acga的法向量为 = a，y，z）,由于西=（g,o,j）,无=（o,3,o）,n - OAt =0.一 l且,从而x:y:z =,因此取 = (JJ,0/).11 分n-OC = 0 5 3又。4=(0,-二,弓).设直线8c与平面ACCA1所成角为夕，则1*3cos<Cfi>|= ：l CBL =2_ 3 _3用.13分1 n-CB. 7"F 一再

26、一百2xvt 3x/34334从而sin夕=cos <儿C耳 > =嗅=，直线用C与平面ACG4所成角的正弦值为弓 686815分.解法二：（I）如图，过点8作AC的垂线，垂足为。， 则 801. AC, AOIAC, 80 n 4。=。，8。, A0 u 平面 A0B ,故AC_L平面A08.5分 /又48u平面AQ8,故ACJ.48.7分（H）设A片交于点在AC上取一点E,使得。E/8C，54则AD:Z）q=2:l,故4七：反? = 2:1,从而47 = 1。七=二,EC = .直线8c与平面 33ACG4所成的角即为直线。石与平面ACGA所成的角.考虑到平面4。81.平面47

27、6；4,则过点。作A。的垂线，垂足为“，则。“，平面ACG4,故“石”为直线。石与平面4CGA所成的角.11分由于40 = 1.0 =1.4 =走.0 =逆.0七=?.0,0七12 个 2232_ 从而 tan/DEH =也 = HE6a/127 + 93V3468综合上述，直线8。与平面AC&A所成角的正弦值为斐三.6815分20 .解：（D由于心是6+4和%4的等比中项，则。32=（©+4）（。5-4）0.即(5 + 4)2 =(9-4)(5 + 34-4)>0,从而4/-164 + 16 = 0,从而("-2)2=0,故d = 2.从而 4 = % +

28、(- 2)d = 2/1 +1.4分由于 afy = 6 ,从而3=2 .当 N 2 时,他=(2 - 1)22 + 2T(2 - 3)2" +2 = (In +1)2由从而4=口±二=2"，显然 =2也符合条件，从而以=2".7分a综合上述,%r = 2+i, bn=r.【注：其他合理方法酌情给分.如当x>0时，仄7<271-1 2/ + 1+h,则两式相减得、儿 丁 352 +1 E t 1 丁 35设(=齐+研+则=>+>+；北=最+ 2(好+击)昔= ； + 2x乙乙乙乙乙*T _ 1"22n +1 512/z

29、+12计24 T 2-2数学试题卷第17页（共4页）14分15分 5 2n + 5 故(=5 乙,b 5 In + 55故 G+c?+,+%<" +，= +不一一r< + 5【注：利用裂项求和也可:2/7 +1 2+ 3 2(+ 1) + 322向弋(2k + 3 2(k + l) + 3上】2 + 3 2(/? + 1) + 3 5 2 + 5 i- -2- 2r,",21.解：（I）由题可知：尸（一1,0）设直线/的方程为：y = Z（x + l）,联立 V：k（A + l）可得：k2x2+（2k2-2px+k2=0. 2 分厂=2px'7则=（象2

30、2p）24k4=-8&2p + 4p2=0,故 P = 2 公且.0= £4 = 1，即点尸。±同b:4 分故|PF| = J（l + l+2=",所以=：,抛物线G的方程：V=x-7分【其他方法也可：设点P（2p,2pf）,则G在点P处的切线方程为2my = 2p ”士），即乙2, = 2P产+x ,由于该切线经过点F（-l,0）,故0 = 2产1，即产=士,故 P（l,土而）,|PF| = 7(1 + 17+2/7 = 75.（ID设点。工,打，直线P。方程为:12P -）PI) cl X = _+()'= ： + )，联立、 2 .y2 =

31、2px可得：y2 -2ptx-p2 =0.、_厂 J7一故 % + % = 2m，yPyQ = -p2，从而力=yQ y() 1Va211又QO = 4OM ,则=_7工0=_:=_1，)"=一13'°=_%， 4844从而先2=8p,且一亍）屈亍，则0pl.11分从而S = j S*PQ = ? X ； X导卜p _为卜« _凡= 9./+8P16 1yoi邑=眄|升引用后卜和+ 2）/.】3分乙 乙乙由此可得色=匕悔L=*.s=3P + 2J'翔+ 2）后 4 P + 2 4115分22.解：(I)由于/(x)在0,+s)上为单调递增函数，则/

32、(幻=2/'+2办一220对任意的xe0,+co）恒成立.2分方法一：由于/(式)=2/'+26-220.尸(0) = 0,因此/”(x) = 4L+24,/”(0) = 4 +为20因此22.5分下面证明 =2可以取到.事实上，当。=2时，f'(x) = 2(e2x-2x-l),则令f'Xx) = 2(2e2x-2)>0,解得X20 .因此f '(x)在0,+s)上单调递增，故/ V) > / f(0) = 0,故/'(X)在。+8)上为单调递增函数.综合上述，实数。的最小值为-2.7分2x a方法二：显然x = 0不等式/'

33、;") = 2/、+ 241-22。成立.当x>0时，则一。二恒成 x立.3分令 p(x) = Jll(x>0),则'(工)=二一=(A >0),令q(x) = 2x+1 ,X厂则 q'(x) = 2 "、+ 4xe2x - 2e2x = 4xe2x 2 0 ,因此 q(x)在0,)上单调递增.从而 q(x) > 0.故P '(X)=绅之O(X > 0),即p(x)在0, +O0)上单调递增.5分厂从而一。 lim p(x) = lim "- j) =一)1 = 2 ,从而。2-2.综合上述，实数”的最小值为-

34、2.7分(II ) ( i )由于g(x) = e2x + ax2 +2e2x有两个极值点n,(为<占)> 则g'(x) = 2/'+2ax + 2/=0有两个实根不占，故。=匚二.设介。)=£1 ,则 xxh(A) = 21一(婢一/)= 2/'-2 9 分X2X2设 r(x) = 2e2xx - e2x - e2 9 则»Xr(l) = 0, rx) = 4e2xx + 2/ ° - 2e2x = 4/' .工之0,解得了之。.故 r(x)在(y), 0)上单调递减,在(0,+s)上单调递增，又，(0)<0,y=-alim r(x) = 0.故当 xKl(xwO)时，X->-OCr(x)<Ot hx) = <0；当 x>l 时，r(x) > 0,厂=.由此/?(x)在(yo,0)上单调递减，1厂在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.由此(X)图象如图所示.从而一。>2/,即4V - 2/综合上述，实数”的取值范围为(- 8,-2/).11分(ii)由于18，U,) = 2<