指数运算和指数函数

1、指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质a,(a 0)a,(a 0)(1)当n为奇数时，有 Van a (2)当n为偶数时，有Van |a(3)负数没有偶次方根2.哥的有关概念(4)零的任何正次方根都是零正整数指数哥:ana a.na(n N )(2)零指数哥a01(a0)负整数指数哥a1亚(a 0.P(4)正分数指数募n.am(a0,m, n N，且n1)负分数指数哥m an4 (aan0, m,n N，且 n1)(6)0的正分数指数哥等于3.有理指数哥的运算性质0, 0的负分数指数哥无意义(1) ar asars,(a0,r,s Q)(2)(ar)sars,(a 0,r,sQ)(ab)r

2、sa ,(a0,b 0, rQ)4 .指数函数定义：函数y ax(a0且a 1)叫做指数函数。5.指数函数的图象和性质xy a0 < a < 1a > 1图 象i V o'y1工o-l yX性 质定义域R值域(0 , + 8)定点过定点(0, 1),即x = 0时，y = 1(1) a > 1,当 x> 0 时，y > 1；当 x< 0 时，0<y< 1。(2)0 < a < 1,当 x> 0 时，0< y < 1;当 x< 0 时，y > 1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性x .

3、x. .y a和y a关于y轴对称、指数函数底数变化与图像分布规律(1) y axy bx y cx y dx则：0< b< a<1<d< c又即：xC(0,+ 8)时，bx ax dx cx(底大哥大)x e(8,0)时，bx ax dx cx(2)特殊函数Vv1 v1 Vy 2x, y 3x, y (-)x, y (一广的图像： 23三、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若 AB0 AB;AB0 AB;AB0 AB;AA当两个式

4、子均为正值的情况下，可用作商法，判断-1,或11即可.BB四、典型例题类型一、指数函数的概念例1.函数y (a2 3a 3)ax是指数函数，求 a的值.【答案】2【解析】由y (a2 3a 3)ax是指数函数，a2 3a可得3 1，解得aa 0,且 a 1, a2，,所以a 1,2.举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？(1)y4、；(2) yx4；(3)y 4x； (4)y ( 4)x ；V1 一7(5)y(2a1)x(a3且a1)；(6) y 4 x.【答案】(1) (5) (6)【解析】(1) (5) (6)为指数函数.其中(6) y4 X=-,符合指数函数的定4义，而(2)中

5、底数X不是常数，而4不是变数；(3)是-14x的乘积；(4)中底数4 0,所以不是指数函数.类型二、函数的定义域、值域例2.求下列函数的定义域、值域(2)y=4 x-2X+1;32X11$才a (a1的常数) 0 0(1) R,(3)(0, 1)； R 0,；(4) 1a) U (a+ OO)(1)函数的定义域为R (对一切xR, 3、w-1).(13x)11 3XX ,13X又 3X>0,1+3>1A 11 3X1 A1 3X(2)定义域为R, y1" 0，值域为(0,1).(2X)2 2X 1 (2X 1) 2x>01广一即 X=-12时，y取最小值3,同时y可

6、以取一切大于4(3)要使函数有意义可得到不等式3 , 一3的实数，410,即 32X19值域为).3X是增函数,所以2X12,X工，即212,，值域是0,2XX 1又X 1X 1口 0定义域为(-8, -1) U1+°0),2X 1y a X11且 y2X 1a'lX1 a,a) U (a , +°0).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第 (3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中1不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域:(2)2X2-12Ti(1) R;(1)R(4) y-,3 ;.iTaa 0,a 1)(3) 0,+; (

7、4) a>1 时，-,0 ; 0<a<1 时，0,十(2)要使原式有意义，需满足 3-x >0,即x 3,即-,3 .(3)为使得原函数有意义，需满足2X-1 >0,即2X>1,故x>0,即0,+ 为使得原函数有意义，需满足 1 ax 0,即ax 1,所以a>1时，-,0 ； 0<a<1时，0,+.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数哥 的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系类型三、指数函数的单调性及其应用，,，一，1例3.讨论函数f (x)3的单调性，并求其值域.x2 2x2X2 2x【思路

8、点拨】对于 xC R,0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(X)的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性, 综合得到结果.1)上是增函数，在区间1,+ 8)上是减函数(0,【答案】函数f(X)在区间(一00,3【解析】x2,解法一：.函数 f(x)的定义域为°°,+°°),设 X1、X2C8,+OO)且有 X1V f(X2)X2 2X213f(Xi)1 X232xif(X2)f(X1)1 x2 2 x23( X2 2X1132(X X )(X2 X1)(x2 4 2)13(1)当 X1VX2V 1 时,X1+X2

9、V2,即有X1+X2 2 v 0.2)1.1 (X2 X1)(X2 X1又X2X1>0, 1. (X2X1)(X2+X1 2)< 0 ,则知 一3又对于 xCR, f (X) 0 恒成立，f(x2) f(X1).函数f(x)在(8, 1)上单调递增.(2)当 1WX1VX2 时，X1+X2>2,即有 X1+X22>0.又X2X1>0, 1.(X2X1)(X2+X1 2) >0 ,则知, (X2 X1)(x, X 2)八1，一一0-1. - f(X2)f(X1).3函数f(X)在1, +8)上单调递减.综上，函数f (x)在区间(一8,1)上是增函数，在区间1

10、 , +00)上是减函数.X2 2x3.u1I ,1在其定义域内是减函31_1X22x=(x 1)21 > - 1 , 0 - 1,0 一 33函数f(x)的值域为(0, 3.解法二：;函数 f(X)的下义域为R,令u=x2-2x,则f (u)u=x22x=(x 1)21,在(8, 1上是减函数，f (u)数，函数f(X)在(一8, 1内为增函数.u一1又f(u) - 在其7E义域内为减函数，而u=x22x=(x 1)21在1 , +8)上是增函 数，函数f(X)在1, +8)上是减函数.值域的求法同解法一.【总结升华】由本例可知，研究 y af(X)型的复合函数的单调性用复合法，比用定

11、义 法要简便些，一般地有：即当 a>1时，y af(X)的单调性与y f(x)的单调性相同；当0 vav 1时，y af(X)的单调与yf (x)的单调性相反.举一反三：2【变式1】求函数y 3 x2的单调区间及值域.331【答案】X (,一上单增，在X -,)上单减.(0,3 4 22【解析】1复合函数分解为：u=-x2+3x-2 , y=3 u;2利用复合函数单调性判断方法求单调区间；3求值域.设 u=-x2+3x-2, y=3 u,23其中y=3为R上的单倜增函数，u=-x +3X-2在x (，一上单增，223，u=-x +3x-2 在 x -,)上单减，2233则y 3 x 3x

12、 2在x (，上单增，在x -,)上单减.2223 2 11v2 3v 21又 u=-x +3x-2 (x _)2 _ y 3 x 的值域为(0,34.24 42 ,【变式2】求函数f(x) a'->(其中a 0,且a 1)的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数 y=au在(，)上为增函数，内函数 u=x2-2x在区间2 ,(,1)上为减函数，在区间1,+ 上为增函数，故函数f(x) ax-x在区间(-1)上为减函数，在区间1,+上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=au在(,)上为减函数，内函数u=x2-2x在区间(，1)上.2 ，为减函数，在区间1,+上

13、为增函数，故函数 f(x) a -在区间(，1)上为增函数，在区间1,+上为减函数.xa 1例4.证明函数f (x) -x(a 1)在定义域上为增函数. a 1【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为 x R,任取x1<x2,f(X)f(x2)a/ 1ax2 1(a* 1)(ax2 1) (ax1 1)(ax2 1)x1. a又a>11 0,则 f (x)另：ax1x 1<x2xaxax2ax2 x1a1,ax1 1ax2 12(a均 a")(ax1ax2 11)(ax20,1)ax1ax2 ,(ax1 /a (11(ax11)(ax21)ax1ax

14、21)在定义域上为增函数.x2 Xax2 x1a1)(ax21)0,0 ， f(x 1)<f(x 2),),ax10 , a>1 且 x2-x >0,0.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数 学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.因此，在例5.判断下列各数的大小关系:(1)1.8 a与 1.8a+1;(2)741 .2(3)3,3 ,(3)(3)2 2.5, (2.5) °, (2)2.5(4)a无与a衣(a0,a 1)【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。1 21 0.【答案】(1) 1.8 <1.8(2) (-)3<(

15、-) <3433(4)当 a>1 时，a"2 a'3,当 0<a<1 时，a'2(3) (1)2.5 <(2,5)0 <22.52、.3a 因为底数1,8>1 ,所以函数y=1.8'为单调增函数,又因为 a<a+1,所以 1.8a<1.8a+1.41(2)因为34 ，又y3(1尸<(；)-2<34.33x1 一 ，一一1 是减函数，3一 121c所以(1)3<(1)-2<33-4132.5因为22.51,1 LC CL1,所以 产隈讨会2.5当 a>1 时，a° a7

16、3,当 0<a<1 时，a" a73 .【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写;(2)不是同底的尽量化为同底数哥进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“ 0”和“ 1”).举一反三:【变式1比较大小：(1)2 2.1 与 22.3(2)3.53与 3.2 3 (3)0.9-0.3 与 1.1 -0.111(4)0.9 .与 0.7. (5)1.5(2)3,(4)3.33【解析】(1)2 2' < 223(2)3.5 3>3.2 3.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数,而是y=

17、x3,它为增函数.(3)由 0.9-°.3, 0<0.9<1 , -0.3<00.9 "0.3>1,1.1>1, -0.1<00<1.1 -0.1 <1,贝U 0.9-0.3>1.1-0.1 ;(4)由指数函数图象相对位置关系一一数形结合，0.9 0.3>0.7 0.4(5) 1.5 0.2(2)0.2,又函数 y(2)x 为减函数，3322 1x 00 y 1 , . 1(-)0.2(-)30,4 v141221 y(一)x为增函数,x 0 时,y>1, (一)3 (一)0.2(一)3.33333111另解

18、：哥函数y x3为增函数，则有(竽1(2)% (下略).33【高清课堂：指数函数369066例1】111【变式2】利用函数的性质比较 2万，3% 66111【答案】3322 661311【解析】22 = 26(23)6861211作出y 8x, y 9x,y 6x的图象知36(32)6 96y 9x y 8x y 6x111所以332266【变式3】比较1.5 -0.2 ,1.3。：21A ()3的大小.32【答案】（2）31.5 0.2 1.30.73322 ：2【解析】先比较 1.5 .() .()5与()3的大小.由于底数一(0,1),.233311y ()x在R上是减函数， 0,0 (

19、2)% (2)5(2)° 1 ,再考虑指数33 5333函数y=1.3x, 由于1.3>1 , 所以y=1.3x在 R上为增函数1.3 0.7>1.3 °=1 ,2 1(2)3 1.51.3 .3【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果； 不能化成 同底数的，要考虑引进第三个数(如0, 1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽 量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断a进行分类讨论，去掉绝例6.(分类讨论指数函数的单调性 )化简：Va-2a a

20、' 【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对对值。423 -2a a32a311-a3 ,a 12a3 - a3,0 a 12x 1 x 5一【变式1】如果a a (20,且21),求*的取值范围.【答案】当0 a 1时，x 6;当a 1时，x 6【解析】(1)当0 a 1时，由于a2x1 ax 5,2x 1 x 5,解得 x6.(2)当 a 1 时，由于 a2x 1 ax 5,2x 1 x 5,解得 x6.综上所述，x的取值范围是：当 0 a 1时，x 6；当a 1时，x 6. 类型四、判断函数的奇偶性例7.判断下列函数的奇偶性：f (x),11、，、，(万-) (x)

21、 ( (x)为奇函数【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称(x)定义域关于原点对称，且 f(x)的定义域是(x)定义域除掉。这令 g(x)12x 11 g( x)212x2T2x25r-(2x 1)2x 112x 111(二 2) g(x)1 g(x)为奇函数,(x)为奇函数,1 f(x)为偶函数.【总结升华】求 f (x)g(x)(x)的奇偶性，可以先判断g(x)与(x)的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶,奇偶=奇，得出f(x)的奇偶性.【变式1】判断函数的奇偶性:f (x)2x【答案】偶函数【解析】定义域x|x1又 f ( x) x(R且 xw 012)x(1x(22xf(-

22、x)=f(x),则 f(x)1-)x(12偶函数.2xF12x 112)2x1x(7；力21 21、/ 11、一) x(x-)22x 1 2f(x)，类型五、指数函数的图象问题例8.如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y ax的图象，而a2, 2则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知,C2的底数v C1的底数vC4的底数V C3的底数.【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关因此我们必须熟练掌握这一性质,在y轴的左边“底大图低”问题，同时还可以解决有关不同底的哥的大小比较的问题,这一性质可简单地

23、记作：在 y轴的右边“底大图高”举一反三：【变式1】设f (x) |3x 1| , cvbva且f (c) f (a) f(b),则下列关系式中一定成立的是( )A 3c3b B 3c3b C 3c 3a2 D 3c 3a 2【答案】 D【变式2】为了得到函数y 9 3x 5 的图象，可以把函数y3x 的图象()A.向左平移9个单位长度，再向上平移 5个单位长度B.向右平移9个单位长度，再向下平移 5个单位长度C.向左平移2个单位长度，再向上平移 5个单位长度D.向右平移2个单位长度，再向下平移 5个单位长度【答案】 C【解析】注意先将函数 y 9 3x5 转化为 y 3x 2 5 ，再利用图

24、象的平移规律进行判断y 9 3x5 3x 2 5 , 把函数y3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 9 3x 5 的图象，故选 C【总结升华】 用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等函数y (xA.C.x|xx| x5)05, x 5(x212) 22.若指数函数3.4.5.A.函数A.C.函数A.已知A.C.指数函数测试题1B. x |xD. x|2在1,1上的最大值与最小值的差是f(x)2x2,x1,x1.51.5C.2f(x)2 x1,5或 x

25、5则底数a等于D.1的x的取值范围(1,1)x| x,1、y 21T2B.D.(1, x|x1x2xf(x)-x 2得单调递增区间是C.2,D.E2xe ，则下列正确的是奇函数，在R上为增函数奇函数，在R上为减函数B.偶函数，在D.偶函数，在R上为增函数R上为减函数二、填空题6.已知函数f (x)的定义域是(1, 2),则函数f(2x)的定义域是7.当a>0且aw1时，函数f (x)=ax 23必过定点8.已知1<a<0,则三个数三、解答题13a,a3,a3由小到大的顺序是9. (12分)求函数的定义域.10. (12分)已知函数2xa2ax1(a 1)在区间1,1上的最大值

26、是14,求a的值.11. (12分)(1)已知f(x)23x 1m是奇函数，求常数 m的值;(2)画出函数y|3x 1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3X- 1 I = k无解？有一解？有两解?指数函数测试题1答案21、DCDDD AAD D A二、11.（0,1）；12.（2,2）；13. a'14. a a33a；15.解：要使函数有意义必须：x 0x 1定义域为：r r16.解：a b rcrrab ,其中 0 a1,0 b1.ccc c2 x _ x17.解：y a 2a 1(a1(1 t a),对称轴为t 1. a当r>1时，_a r b r a c c c

27、rr当rv 1时，a b c cb 1,所以 ar+brv cr； ca b 1，所以 ar+br>cr. 1c c2_1),换兀为y t2 2t当a 1 , t a ,即x=1时取最大值，略解彳导a=3 （a= 5舍去）18 .解：（1）常数 m=1x（2）当k<0时，直线y=k与函数y | 31 |的图象无交点，即方程无解；x当k=0或k 1时，直线y=k与函数y |31|的图象有唯一的交点，所以方程有一解x当0<k<1时，直线y=k与函数y |31 |的图象有两个不同交点，所以方程有两解。19 .解：（1）设 0 t1 t2，因为g为常数，g（t1）g(t2),即

28、0)在ert1 vrt2e v 0,则 g(0)rt2v 设0 t1 t2 ， g(t1)r,. 、p 小g(t2)g(0) -e vr=g(0) prr-t2-t1evevLt1 t2ev因为g(0) E 0, 0 tl t2, g(t1) g(t2).污染越来越严重指数和指数函数练习2、选择题1 .(3/次)4(6肉)4等于()(A) a16(B) a8(C) a4(D) a22 .若 a>1,b<0,且 ab+a-b=2j2，则 ab-a-b 的值等于()(A) <6(B)2(C) -2(D) 23 .函数f (x) =(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是()

29、(A) a 1(B) a 2(C) a<V2(D) 1< a724.下列函数式中，满足 f(x+1)= lf(x)的是()2(A) !(x+1)(B)x+1(C)2 x (D)2-x24x 2 x5 .下列 f(x)=(1+a ) a 是()(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既奇且偶函6 .已知 a>b,ab0下列不等式(1) a2>b2,(2)2 a>2b,(3) 1 a-,(4)a 0>b',(-) a<( - )bb33中恒成立的有()(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个2.1 I7 .曲数y=-是()2

30、1(A)奇函数(B)偶函数偶函数8 .函数y=1的值域是()2x 1(C)既奇又偶函数(D)非奇非(A) (- ,1)(B) (- ,0)(0, + )(C) (-1 , + )(D) (-, -1)(0, + )9.下列函数中，值域为 R+的是()1(A) y=5 2 x(D)y= .1 2xx x10.函数y=e一e的反函数是()2(A)奇函数且在R+上是减函数(B)偶函数且在F+上是减函数(C)奇函数且在 R+上是增函数(D)偶函数且在R+上是增函数11.F列关系中正确的是()(1)2(1)2(1)1(1)1)2,2(A)3<3<3(B)< (-)3<(-)125

31、2225212221(C)(1)3 <(1)3 <(1)3(D)(1)葭(-)(-)马52252212 .若函数y=3+2x-1的反函数的图像经过P点，则P点坐标是()(A) (2, 5)(B) (1, 3)(C) (5, 2)(D) (3, 1)13 .函数f(x)=3 x+5，则f-1(x)的定义域是()(A)(0 ,+)(B)(5, +)(C)(6,+)(D)(,+)14 .若方程ax-x-a=0有两个根，则a的取值范围是()(A) (1, + )(B) (0, 1)(C) (0, + )(D)15 .已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点(1,7),又知其反函数的图像

32、经过点(4, 0),则 函数f(x)的表达式是()(A)f(x)=2 x+5 (B)f(x)=5 x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+316 .已知三个实数a,b=aa,c=a a ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是()(A) a<c<b(B) a<b<c(C) b<a<c(D) c<a<b17 .已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限二、填空题3_1.若a2<a、L则a的取值范围是2,若 10x

33、=3,10y=4,贝U 10x-y =x d5 1x 15 .直线x=a(a>0)与函数y=( 1 )x,y=( 1 )x,y=2 x,y=10 x的图像依次交于 A、B、C D四点，则 32这四点从上到下的排列次序是 。26 .函数y=32 3x的单调递减区间是 。7 .若 f(5 2x-1)=x-2,则 f(125)=.8 .已知f(x)=2 x,g(x)是一次函数，记F (x) =fg(x), 并且点(2,1)既在函数F (x)4的图像上，又在 F-1 (x)的图像上，则F (x)的解析式为.三、解答题221 .设0<a<1,解关于x的不等式a2x 3x1 >ax

34、 2x 5。,求x的取值范围。2 .设 f(x)=2 x,g(x)=4 x,gg(x)>gf(x)>fg(x),113 .已知x -3,2，求f(x尸 1的最小值与最大值。4x2x4.设 a R,f(x)=xa 2 ax212，、 ,一 ，一，、，,，(x R),试确定a的值，使f(x)为奇函数。25 .已知函数y=( 1) x 2x5,求其单调区间及值域。36 .若函数y=4x-3 2x+3的值域为1 , 7,试确定x的取值范围。xa 17 .已知函数f(x)= (a 1),(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域;ax 1证明f(x)是R上的增函数。指数与指数函数练习 2选

35、择题题号12345678910答案ACDDDBCADB题号11121314151617181920答案CDCBADAAAD、填空题1. 0<a<1 2.33.14x 1 04.(-,0)(0,1)(1,+) 工 ，联立解得 x 0,且 x 1。51 01 991 U5. (_)9,39令 U=-2x2-8x+1=-2(x+2) 2+9, / -3 x 1,9 U 9 , X.- y=( - )U33为减函数，(1) 9 y 39。6 o Dk C B、A。37. (0, + )2令y=3U,U=2-3x 2, y=3U为增函数，y=3 32 3x的单调递减区间为0 , +）。8. 0 f(125)=f(53)=f(5 2 2-1 )=2-2=0 。9. 1 或 3。3Y=nmx+2nx-1=(mx+1) 2-2, 它在区间-1 , 1上的最大值是 14,(肃