第7讲-微积分发展史

1、第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生 产技术和自然科学的发展。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线 下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积 分的思想。极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人 们习惯于研究常量和有限的对

2、象，遇到无穷时往往束手无策。生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的天体运行论确立了 “日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。 这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题

3、需要解决，数 学也开始进入了 “变量数学”时代。通过这些向数学提出了如下4个问题：(1)由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。(2)确定物体运动方向(切线方向)或光学中曲线的切线问题。(3)求最大、最小值问题。(4) 一般的求积(面积、体积)问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一 般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对 解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。这种新的数学方法取代了古老的欧几里得几何的 综合方法，这种数学发展中的质

4、变，为17世纪下半叶微积分的出现准备了条件。1615年，开普勒在他的测量酒桶体积的新科学中采用微元的方法研究了面积、体积 等问题，例如，他认为面积就是无穷多条线段之和，而线段可以看作无穷小的面积，用无穷 多个同维的无穷小元素之和来确定曲边形的面积和曲面体的体积是开普勒方法的精华。伽利略的学生卡瓦列里的最大贡献是提出了“不可分原理” 。1635年，卡瓦列里出版的用新的方法推进连续体的不可分量的几何学中认为，面积是无数个等距平行线段构成的，体 积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量，这种思想基 本上就是微积分的思想了。他运用“不可分原理”算出了一些面积和体积的结果，得

5、到了等aan 1价于xndx -的结果。“不可分原理”的著名命题是“卡瓦列里原理”，在我国称作“祖0n 1咂原理”。1638年，费马首次引用字母表示“无限小量”，并运用它来解决极值问题，之后，他又提出了 一个与现代求导过程实质相同的求切线方法，并由此解决了 一些与切线有关的问题和极 值问题。后来，格列哥利、华利斯继续费马的工作，用符号“o”表示无限小量，并用它来进行求切线的运算。牛顿的老师巴罗是剑桥大学的数学教授，他的几何讲义对微积分的创立是一个巨大贡献。他的几何方法的特点是利用微分三角形来构造切线，即以自变量增量 x与函数增量 y为直角边构造直角三角形，该三角形中包含了微积分的精华，它的两个

6、直角边的商可决定变 化率，即导数。巴罗甚至还指出了求切线和求体积的互逆性，但他不喜欢代数方法，认为自 己的结果是对古典几何的完善化，从而失去了创立微积分的机会。1669年，巴罗将教授席位让给牛顿，并对牛顿的微积分创立工作施以很大的影响。二、微积分的创立1.牛顿的工作牛顿的微积分研究大体可以分为 三个阶段：第一阶段的工作以运用无穷多项的分析学（ 1669年）为标志。其方法举例说明如下：设有一条曲线，它下面的（曲边梯形）面积可表为z axm （m为有理数）。当横坐标x获 得瞬o （无限小增量）时，产生的面积瞬为oy （面积增量）。新面积为z oy a（x o）m由二项展开式（以牛顿命名）得：/ m

7、 m 1 m（m *1） m 22z oy a（x mx o x o1 2两端消去相等的部分（z axm）并除以。得：m 1 m（m 1） m 2.y amx ax o L1 2略去含o的项得：m 1y amx这就是曲边梯形的曲边表达式。这个结果表明，若面积由z axm给出，则曲边梯形的曲边为 y amxm1；反之，若曲线由y amxm 1,则曲边梯形的面积为 z axm。这不仅给出了求（瞬时）变化率的方法，而且 还揭示了求积与求变化率之间的互逆关系。第二阶段 的工作主要体现在1671年成书，1736年出版的流数法和无穷级数一书中。书中牛顿把随时间而变的量称为流量，用字母x、y、z等表示，而把

8、流量的变化速度（流量对时间的变化率）称为流数，记为£、&、&等。前一阶段出现的“瞬”仍保留，它表示一个无限小时间间隔，仍记为 o。该书主要解决下面两个问题：（1）已知流量之间的关系（即 y f（x）求它们的流数比：& （实际上，即求 y对x的变*化率dy ）。 dx（2）已知一含流数的方程，求流量之间的关系（简单情况即求原函数一积分问题，一般情况 为微分方程问题，它们是（1）的逆问题）。牛顿指出，流数法（即微积分） “不仅可以用来求作任何曲线的切线，而且可以用来解决 曲度（曲率）、面积、曲线长、重心等深奥问题。 ”这个认识把握住了微积分的普遍意义，是 前人不可

9、能企及的。第三阶段 的工作，可以从1676年写成 文中，牛顿为了排除前一阶段人为地“略去含有 提法。1704年发表的论文曲线求积术中看到。在该o的项”而使用了 “最初比”和“最后比”的为例。设x由“流动”而变成(x no)nnx2n n nx2(xno)nnx2n n nx2将 o ： o:( xno)1: (x o)nn称为最初比，令o消失得1: nxn1称为最后比。这个“最后比”是在o （逐渐）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。尽管如此，牛顿对“）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。尽管如此，牛顿对“o”（即无穷小）的处理始终处于一种似是而非的直觉中，正如马克思所说的

10、是“魔术般”地丢掉，是武力“镇压”。（见马克思数学手稿）。2.莱布尼兹的工作戈特弗里德莱布尼兹（公元 16461716年）是德国十七、十八世纪之交的大哲学家、数学家。1646年6月21日生于莱比锡。从小就显露出“神童”般才华。15岁进入莱比锡大学学法学，毕业时成绩很好，但莱比锡大学以他过于年轻为借口，拒绝授予他法学博士学位。因此他转到了纽伦堡的阿尔特多夫大学，1667年在这里获得博士学位，年仅二十一岁。随后他到美因兹选帝侯的政府中任职。1672年他作为外交官出使巴黎，遇到了惠更斯。第二年去伦敦结识了奥尔登伯格和其他一些数学家。在巴黎居住的四年时间，是他数学创造的“黄金时代”。在这段时间，他已构

11、想出他的微积分方法的大致轮廓。1676年返回德国后，在汉诺威的布龙斯威克公爵那里任职。1700年他创办了柏林科学院并出任第一任院长。1716年11月14日逝世于汉诺威城。莱布尼兹的主要职业是法律和外交，但他的历史性的贡献则是数学和哲学。在哲学上，他是客观唯心主义的代表人物。他的单子论是他的哲学基础。在数学上，他除了独立地创立微积分而外，还开创了符号逻辑的研究，制造过计算机。莱布尼兹在微分学的历史和起源（1714年）这篇短文中，指出他的微积分思想起源于他早期关于数列之和或差的研究。1673年他写的论组合的艺术中，研究了数列及其一阶差、二阶差、三阶差等。例如:0, 1,2 , 3,4 ,1,1,1

12、0,0 ，,1,0, 又如：数的平方序列:一阶差：0,1 , 4,9 , 16,1,3 , 5,7 , 2,2,2 ,三阶差：0,0 ,莱布尼兹将离散量的研究推广到与几何曲线相联系的连续变量的研究，数列变成变量y ，一阶差变成一阶微分 dy,高阶差变为高阶微分。这个思想是非常微妙和深刻的，因为差值和微分在极限过程中是等价的。不仅如此，莱布尼兹还从差与和的关系，发现了微分与积分的关系。例如，在平方序列中，一阶差前3个的和1+3+5=9,前n个的和连续化，则有，则有 dy y (最初莱布尼兹用 omn 表示积分，而未用)莱布尼兹在研究切线斜率时也利用微分三角形。他说： “微分三角形的各边是不可分量

13、或微分量”。如果dx是任意的，dy可由dy : dx y : 次切线确定。从微分三角形出发，又得出(ds)2 (dx)2 (dy)2微分是莱布尼兹微积分的基点，积分是作为反微分(微分和)来研究的。莱布尼兹在数学上的微分和他在哲学上的单子是相适应的。他认为“单子乃是自然的真正原子，简言之，是事物的元素。” “单子必须有一些性质，否则它就不会是存在物了。单纯的实体之间没有性质上的差别，就无法觉察事物中的任何变化，。”"单子如果没有性质，也就不能彼此区别。 ”微分就是数学上的单子，各种微分是有内容、有区别的。这种单子式论的微积分，在现代产生的非标准分析中已得到逻辑论证。莱布尼兹的数学符号是

14、相当优越的，他的微积分符号dx、 dy、 等，抓住了他的微积分本质，使符号和概念融为一体，直到今天还被我们使用着。利用他深邃的概念和优越的符号，莱布尼兹最早得出微分的和、差、积、商、幂、根等公式。除微积分而外，数学上的很多术语也是由莱布尼兹引进的。例如：函数、坐标、代数曲线、超越曲线，等等。三、优先权之争微积分的创立是数学发展史上的重大事件，恩格斯曾经高度评价了这一成就，他说： “在一切理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。 ”正因为如此，在 18 世纪的欧洲，曾有一场关于建立微积分优先权问题的争论。“优先权”之争是由局外人搬弄是非引发的。169

15、9年一位瑞士数学家N.F.德丢勒在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”， 莱布尼兹则是“ 第二发明人”， “曾从牛顿那里有所借鉴”，尤其后面这句话，使得德国人十分不满.1712 年，英国皇家学会还专门成立一个“调查委员会”，并于第二年公布了一份通报，宣布“确认牛顿为第一发明人。 ”这种事态引起了莱布尼兹的申诉，双方争论越演越烈，指责对方的话说得十分难听。这实在是“科学史上最不幸的一页”，使得 18 世纪英国数学家与欧洲大陆数学家分道扬镳，英国数学坚持牛顿原始创新的那种传统不肯改进，远离了数学分析逐渐完善的主流，分析数学的主流与中心移到了德国与法国，不必要的“优先权”之争使英国数学受到了

16、损失。关于微积分发明的优先权之争使牛顿和莱布尼兹两位微积分的领袖人物光彩受损，其实应该说是各自在差不多相同的时间内的独立创造，不宜非得分出个我先你后。在人类科学的历史上，一些重大的发现往往是历史条件成熟时由不同国度不同的人物相互独立得出的。就微积分而言，牛顿在1687 年以前并未公开发表任何有关微积分的文章，而莱布尼兹则于 1684 年和 1686 年分别先于牛顿发表了关于微分与积分的两篇重要文章，可见文章的发表莱布尼兹先于牛顿，但牛顿对微积分的发现确实领先于莱布尼兹，而且莱布尼兹对牛顿有很高的评价。1701 年在柏林王宫的宴会上，当普鲁士王问莱布尼兹如何评价牛顿时，莱布尼兹答： “综观有史以

17、来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。 ”牛顿对莱布尼兹也有公正的评价，牛顿在原理的前言中称： “十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼兹的信中曾指出：我发现了一种新方法，可以用来求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。可见牛顿也承认莱布尼兹与他同时发现了微积分。尽管牛顿在1665 年到 1687 年间，已经取得了微积分的重要成就，特别是他的分析学一文曾经在他的老师巴罗和朋友之间流传，但是在1687 年以前，他没有发表任何与此有

18、关的文章和著作。莱布尼兹1673 年曾出使伦敦，在那里他结交了一批数学家，并获得巴罗的几何讲义 ，也了解牛顿的分析学，于是英国人认为莱布尼兹已知牛顿的工作情况，并认为他剽窃了牛顿的成果。牛顿的支持者有著名数学家泰勒和马克劳林，莱布尼兹的维护者则是著名数学家贝努利兄弟，这场争论把欧洲科学家分成势不两立的两派英国派 和 大陆派 ，并因此使双方停止了学术交流。由于牛顿 的 代表著作 自然哲学的数学原理中主要使用的几何方法，所以在牛顿去逝后的100 多年中，英国人继续以几何为主要工具，沿用牛顿的落后记号，以致使英国数学开始落后于大陆。两人工作的不同点：（ 1 ）在建立微分学的出发点上，牛顿主要从力学出

19、发，以速度为模型，而莱布尼兹则主要从几何出发，从作曲线在一点的切线开始建立了微分学。（ 2）在积分学问题上，牛顿偏重于求微分的反运算，即今天的不定积分概念；而莱布尼兹则侧重于把积分了解为求微分的“和”，实际上他把这种算法叫“求和计算”，也就是今天的定积分概念。（ 3）对无穷小的理解也不尽相同。牛顿的无穷小不分阶数，而莱布尼兹试图定义高阶微分，并对其间的关系作过生动的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可见，莱布尼兹的微分有许多层次，在这一点上比牛顿深刻。（4）二人采用的符号不同。比如牛顿用“点”，而莱布尼兹用“ d”等，并由于他精心设计，反复改进，系统地提出了至今仍沿用的符号，这对微积分的发展起

20、到了积极作用。（ 5）他们二人的学风也不尽相同。作为科学家的牛顿学风严谨，小心谨慎，重视实际。作为哲学家的莱布尼兹则比较大胆，富于想象，勇于推广，因为他不赞成因过分的细密而阻 碍了最好的创造。四、微积分的发展与完善如果把十七世纪称为天才的世纪，那么十八世纪则是一个充满创造活力的世纪。十七世纪引进了卓越的微积分基本概念，十八世纪在此基础上发展并增进微积分的威力。在物理学、天文学及数学本身的激励下，新的数学分支：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何及变分法，如雨后春笋，不断涌现。这些分支（包括以后发展起来的复变函数、实变函数、泛函分析）形成了数学中一个广阔的领域，泛称分析学 。综合几何与代数

21、在十八世纪只有较小的扩展。十八世纪是一个分析的世纪。十八世纪分析学发展的特点是与实践紧密相依，与物理学同步前进。数学成了达到物理目的的一种方法，物理引导着数学前进，并时常提供一些物理意义上的论据，以补数学论证的不足。人们用数学结论在物理上的正确性来保证它在 数学上的正确性。数学的逻辑性较差。十八世纪的数学家在没有逻辑支持的情况下，如此勇 敢地向前冲杀，使十八世纪成了数学的“英雄世纪”。第二次数学危机的阴影虽然总跟在数学的后面，但并没有阻碍数学的前进。不过十九世纪和二十世纪的人们常常贬低十八世纪的成 就，只把它看作粗糙的归纳性工作。十八世纪最伟大的数学家是欧拉。此外，还有贝努利家 庭及法国学派各

22、名家（蒙日、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、卡诺、克雷罗、傅里叶等）。十八世纪的分析遗留了很多问题，正象阿贝尔（公元 1802 1829年）在1826年的一封 信中所说：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计划和体系的 分析，竟有那么多人能研究它，真是奇怪。最坏的是从来没有严格对待过分析。人们 到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法。而非常奇怪的是这种方法只导致极少几个 所谓的悖论。”为了改变分析的这种“没有计划和体系”的局面，建立它的严格的逻辑基础， 波尔察诺、阿贝尔、柯西、狄里赫勒作了基础性的工作，后来维尔斯特拉斯进一步予以发展。 其中以柯西和维尔斯特拉斯的成就最为

23、显著。1.函数概念的发展解析几何出现以后，有了变量，这为函数概念的产生与发展提供了条件，而自然科学的 发展需要人们研究函数。微积分产生之后，函数的研究就成为必然，初等函数已经被充分认 识。牛顿用“流量” 一词表示变量之间的关系，莱布尼兹用“函数” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。1734年，欧拉使用记号 f（x）表示函数。这个时期的函数概念，是由解析表达式（有限或无限的）所给出，是运算的组合，函数要与曲线联系起来。1807年，傅里叶由于研究热的传导问题，发现了不能用单个（有限的）解析式表达的函sin 3x sin 5x 一数，如y sin x L ,他的这一发现是函数概念发展的一

24、个转折点。虽然欧35拉等人也有类似傅里叶的思想，但只是在傅里叶对热传导深入研究引起人们注意时，他关于 函数的这个发现才对人们有所震动。1821年，柯西在他关于分析学的著作中给出函数一个新的定义：若干个有联系的变量之 间，当给定了其中一个变量的值，就可以决定所有其它变量的值。该定义基本上摆脱了 “解 析表达式”的要求，侧重于关于变量间关系的认识，但仍未揭示出变量之间的对应关系这一 函数概念的本质。更进一步的定义是德国数学家狄利克雷在1837年给出的：如果对于给定区间的每一个x的值，有唯一的一个 y的值与之对应，那么 y就是x的一个函数。他还举出一 个著名函数的例子， 以说明函数概念的一般性， 这

25、就是“狄利克雷函数”：当x是有理数时，y 取值1;当x是无理数时，y取彳t 0。这个函数是不可能写出任何解析表达式来的。2 .函数的极限极限的思想自古以来就有，但直到柯西时，才使它有了一个明确的定义。他在1821年的代数分析教程中这样说的：当一个变量逐次所取得的值无限趋向一个定值，最终使变量 的值和该定值之差要多么小就有多小，则该定值就叫做这些值的极限。柯西的定义与前人不同的是，他摆脱了几何图形及几何量的任何牵连，只用了 “变量” 的“数”或函数，没有几何或力学的直观。在此基础上，柯西很自然的定义了 “无穷小量” 及“无穷大量”，他把无穷小量看成是以 0为极限的变量，这就澄清了对无穷小量 “似

26、零非零” 的模糊认识，把它从物理的、几何的原形中抽象成为一个纯数学概念。由柯西建立起来的这个分析体系，极限是最基本的概念，使用它给出了微分、积分、收 敛、连续等几乎所有的概念。但是，柯西的定义中这样一些描述性的词语，如：“无限接近”、“要多小就多小”等，其数学意义是不确切的，还留有物理过程的直观痕迹，没有达到算术化程度，因此这样的极限论还是初步的、不精确的。1850年左右，魏尔斯特拉斯为排除极限概念中的几何直观性，提出了关于极限的纯算术 定义，用他发明的所谓语言来表达极限概念，也就是我们现今使用的定义，它与柯西的定义不同的是：其中没有任何或明或暗地含有几何、运动的含义，完全算术化了。没有“变量

27、”、“变化”、“趋向”等动态的词，是一个静态的定义，它说明极限的本质 是“静态”的。柯西定义中“要多小有多少”这种词是一种定性的描述，现在量化了。没有涉及“无穷小量”，从而可以彻底地在微积分中排除“无穷小”概念。3 .关于导数1817年和1823年，波尔察诺与柯西分别定义了导数，都是按照函数增量与自变量增量之比的极限来定义的。与导数有关的严密化问题，有下面几点：柯西给出导数定义后，又把 dx定义为任一有限量，而把 dy定义为f'(x)dx,从而导数概念与莱布尼兹的微分统一起来，并可以通过导数定义微分。1797年，拉格朗日给出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西给出了中值定理的证明，并

28、且用它阐明了 上与f '(x)之间的关系。 x可微性与连续性的关系花了几十年时间才被人们弄清楚。柯西认为，连续函数一定是 可微的。虽然波尔察诺在 1834年就已经知道连续性与可微性有区别，并且构造出连续但在任 何点都没有导数的函数来，但是他没有发表。1854年，黎曼给出处处连续但在很多点没有导数的例子，这也没有引起人们的注意。连续性与可微性之间惊人的区别，是由瑞士人塞莱里埃指出的，1860年他给出处处连续但处处不可微的函数f(x) ansinanx ( a是正整数)，n 1此后魏尔斯特拉斯也给出这样的例子，连续性不蕴含可微性的发现有重大意义，它使人们更 加不敢依赖直观和几何的思考方式了

29、。4 .积分学的严密化过程牛顿的积分本质上是微分法的逆运算，也可以说是“不定积分” ；莱布尼兹把面积看成矩 形微元的和，实际上是定积分。他们的这种模糊不清的概念和关系延续了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。1823年，柯西对定积分做了开创性的工作，即他对连续函数下了定积分的定义，并对积 分的理论进行了下列建设性的工作。他证明连续函数的积分必存在，并强调在使用积分前先解决这个问题，这说明他对存 在性是很重视的。由于没有一致连续性的概念，他的证明是有缺陷的。证明了微积分基本定理。证明了全体原函数彼此之间仅相关一个常数，且定义了不定积分为变上限的定积分， 由此开始，人们把不定积分与原函数区分开了。

30、定义了无穷区间上的积分及无界函数的积分。用极限定义了区域的面积、曲线的长、立体的体积等概念。1854年，黎曼从考虑傅里叶级数和积分公式出发，认为被积函数的条件应该放宽，因此 他把积分定义推广到有界函数上，不再要求连续性，即所谓黎曼积分.1875年，达布引入了 “达布和”，给出了可积性充要条件。至此，黎曼积分的理论基本上得到了完善。5 .无穷级数微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的的流数论中自由运用无穷级数，他凭借二项式定理得到了sin x,cos x, tan x,arcsin x,arctan x和ex等许多函数的级数。 泰勒级数则提供了将函数展开成无穷级数的一般方法。在18世纪

31、，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。数学家在早期运用无穷级数时，没有对收敛和发散问题引起足够重视。到了18世纪末,由于应用无穷级数得到了一些可疑的有时甚至是完全荒谬的结果，如无穷级数S 1 1 1 1 1 1 L到底等于什么？当时人们认为一方面S (1 1) (1 1) (1 1) L 0；另一方面，S 1 (1 1) (1 1) (1 1) L 1,那么岂非0 1 ?这种矛盾曾使傅里叶这样的大数学家1也困惑不解，甚至于让欧拉也在此犯下了可笑的错误。他在得到1 x x2 x3 L后,1 x1在令x 1时，得出S 1 1 1 1 L -O由此

32、可见当时数学界中的混乱局面。当时几乎2无人过问分析中一些比较细致的问题，如级数、积分的收敛性等，显然，无穷级数运算的合 法性亟待有人来研究。1811年，傅里叶首先给出了级数收敛的严格定义，而第一个对无穷级数的收敛性质作出 研究的是数学大师高斯。1812年，他在无穷级数的一般研究的著作中研究超几何级数F(,)时，把级数的使用限制在它的收敛范围内，同时，他引入了高斯级数的概念，除了证明这些级数的性质外，还通过对它敛散性的讨论开创了关于级数敛散性的研究。1821年，柯西在分析教程一书中给出了著名的柯西准则以及比值判别法和根式判别 法。他在1853年认识到，要使得连续函数的级数的和一定连续，必须有一致

33、收敛的条件，但 他仍然没有看出在使用级数的逐项积分时也要求一致收敛。是魏尔斯特拉斯引入了一起被忽视的一致收敛的概念，从而消除了微积分中不断出现的 各种异议和混乱现象。他利用一致收敛的概念给出了逐项积分和在积分号下求微分的条件。 由于他对一致收敛的研究使得微积分日趋严密，他也因此成为分析严格化的最大贡献者，并 被誉为“现代分析之父”。调和级数的讨论引引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散 级数而获得一些著名的数值逼近公式。18世纪通过研究发散级数获得的一个重要常数“欧拉常数”，是欧拉讨论如何利用对数函数来逼近调和级数时得到的，它最简单的表示形式为：11,1lim1-L-lo

34、g nn23n欧拉曾计算出的近似值为0.577 218,但迄今我们还不能判定究竟是有理数还是无理数。五、微积分发现的伟大意义1 .自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描 述运动。微积分改变了整个数学世界的面貌。牛顿、莱布尼兹17世纪创立的微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制 它旺盛的生命力。18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创 立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等。在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括 复变函数，微分几何等，后者

35、包括数论，概率论等。可以说，在有了微积分之后的两、三百年时间，数学获得了极大的发展，获得了空前的 繁荣。微积分的严密逻辑基础也在 19世纪完善地建立起来。微积分基本定理的表现形式在多维 空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域 里的普遍意义。2 .对其他自然科学和工程技术的作用有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具加以改造，微积分成了物理学的基本语 言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答。“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有 现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学。微积分的创立得到了天文学的启示，此

36、后，天文学再也离不开微积分。19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系。现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道。3 .对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说， 现代工程技术少不了微积分的支撑，从机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微 积分的思想和方法。如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今， 任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作。在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早 已利用微积分计算出了宇宙速

37、度。今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者 们的预料之中。在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具。微积分诞生 之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎成为一切领域所运用。它对人类物质生活 的影响是越来越大。4 .对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在天文、社会科学领域亦如此，因而微积分也浸透 于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西。哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响了哲学方法，也影响到世界观。辩证唯物主义更关注微积分。六、主要数学家介绍1 .牛顿-微积分的创始人牛顿(I. Newton),英国林肯郡人，

38、出身农家，L642年生,尚未出 生即已丧父,降生后其母改嫁他乡，小牛顿由外婆抚养和供其上学. 1661年考入剑桥大学,1669年被评为剑大数学教授,1703年被选为 英国皇家学会会长,并接受女士安娜的封爵,1727年逝世口牛顿的科学贡献涉及数学、力学、天文学、物理学和化学等众多 领域，为数学和自然科学奠定了以下四个方面的基础(1)创建微积分，奠定了近代数学的基础牛顿与德国数学家莱布尼茨同时独立创立的微积分，后来发展 成近代数学的中心学科,在它的基础上衍生出常徵分方程、偏微分方程、夏变函数论、微分几何、泛函分析、变分法等数学分支以及理论力 学、天体力学等自然科学学科。为数极多的数学问题和自然科学

39、问 题,不用微积分就根本不能解决。在微积分的成果面前,就连曾不遗 余力攻击牛顿的流数(即导数)术挑起第二次数学危机的大主教伯克 莱(G.Berkclcy, 16851753),最后也表态说:“流数术是一把万能的 钥匙，借助于它，近代数学家打开了几何乃至大自然的秘密,这一方 法使数学家们能够在发现定理和解决问题方面大大超越古人。”现 代著名科学家冯诺伊更如此评价:“微积分是近代数学当中最大的 成就，对它的重要性,无论怎样估计，都不会过分。 ”(2)首创光谱分析实验，为近代光学奠定了基础(3)发现力学三大定律,为经典力学奠定了基础(4)发现万有引力定律，为近代天文学奠定了基础科学家阿西莫夫认为,任

40、何一位科学家,只要具有牛顿这四项发现 中的一项，就足以成为最著名的科学家,而牛顿集四项成就于一身,只 有牛顿是有史以来最伟大的科学家，是人类文明史上的超天才。1665年伦敦发生瘟疫,剑桥停课,牛顿还乡一直住到1667年,时 年22岁到24岁，风华正茂、才气横溢的牛顿在家乡做出了人类思想 史上无与伦比的儿项发现：负指数和分数指数的二项式级数;微分学 和积分学;作为了解太阳系结构的万有引力定律;用三棱镜把日光分 解成可见光谱，借以解释了彩虹的由来等。牛顿是一个内向沉稳的科学家，对出书和发表文章没多大兴 趣，代表作是自然哲学的数学原理。他是一个对科学痴迷到不 食人间烟火的人。关于牛顿的轶事很多

41、76;下面列举若干。一日，牛顿一边煮鸡蛋一边看书想问题,过了好长时间才想到 该把煮熟的鸡蛋捞出来吃,结果竟从锅里捞出一块怀表,原来他只顾 思考问题,把怀表当成鸡蛋扔到锅里煮了！又一日，一位朋友来访,牛顿请人家一同用餐，他想起自己有一瓶好葡萄酒,于是对这位朋友说,我去拿酒，请稍候。朋友左等右 等不见牛顿回来,就去找他，一看,牛顿正在他的实验室里案张地做 实验,早把请朋友喝酒的事忘到疯后去fo。再一日，I位朋友请牛顿吃饭,饭菜摆好,朋友再三催牛顿从 书房出来用餐，牛顿迟迟不出来，朋友饿了，狼吞虎咽把饭菜吃了个 精光,啃剩的鸡骨头扔得狼藉满桌，后来牛顿出来吃饭.看到桌匕的 骨头，自言道我真糊涂,这顿

42、饭我不是吃过r吗! ”于是又回书房继 续研究他的问题。牛顿青年时代与表妹相爱，谈婚论嫁,一对恋人已约定结婚日 期，可是因为科研一忙,牛领竟忘记了结婚n期,女方误认为表兄心 变，另求新欢了°从此牛顿再未婚恋,独身生活一生，把全部身心都 献给了科学事业）传说-日牛顿端坐苹果树下思虑问题.突然,只菰果砰然坠 地，牛顿自问，为什么这只苹果一定要垂直落地而不E向他方？从中 悟出定是地球在拉动这只苹果,进而究之，是否物体间皆互相吸引牵 拉，再经实验研究，终于发现了万有引力定律这一自然界的金律。I英国人把牛顿视为神圣,一位诗人为牛顿写墓志铭R ： ',宇宙和自然规挣隐藏在黑暗之中. 神说：

43、让牛顿降生吧！ 一切才会光明。” 当然牛顿艳非神仙下凡，他自我评价说他是站在巨人肩上的孩子,所创 的科学理论，只是“在科学的大海岸边拾到的几只美丽的贝壳而已J2 .莱布尼茨-微积分的创始人戈特弗里德威廉凡 莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz, 1646年7月1日1716年11月14日）德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、历史学家和 哲学家， 一位举世罕见的科学天才，和 牛顿（1643年1月4日1727年3月31日）同为 微积分 的创 建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。公元1646年7月1日，戈特弗里德威廉凡莱布

44、尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父 亲弗里德希莱布尼茨是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲凯瑟琳娜施马克出身于教授家 庭，虔信路德新教。莱布尼茨的父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染使莱布尼茨从小就十分好学，并有很高的天赋，幼年时就对诗歌和历史有着浓厚的兴趣。不幸的是，父亲在他6岁时去世，却给他留下了丰富藏书。8岁时，莱布尼茨进入尼古拉学校，1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，在听了教授讲授的欧几里得的几何原本的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。1664 年 1 月，莱布尼茨完成了论文论法学之艰难，获哲学硕士学位。是年2 月 12 日，他母亲不幸去世。18 岁的莱布尼茨

45、从此只身一人生活，他生在思想、性格等方面受母亲影响颇深。1667 年，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文论组合的艺术 。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。1666 年，加入了一个炼金术士团体，结识了政界人物博因堡男爵约翰克里斯蒂文，从此莱布尼茨登上了政治舞台。1672年，莱布尼茨作为一名外交官出使巴黎。在这期间，他深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作。1677 年 1 月，莱布尼茨抵达汉诺威，担任

46、布伦兹维克公爵府法律顾问兼图书馆馆长和布伦兹维克家族史官，并负责国际通信和充当技术顾问。汉诺威成了他的永久居住地。在繁忙的公务之余，莱布尼茨广泛地研究哲学和各种科学、技术问题，从事多方面的学术文化和社会政治活动。不久，他就成了宫廷议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕。1682 年，莱布尼茨与门克创办了近代科学史上卓有影响的拉丁文科学杂志学术纪事（ 又称教师学报） ，他的数学、哲学文章大都刊登在该杂志上；这时，他的哲学思想也逐渐走向成熟。从1695 年起，莱布尼茨就一直为在柏林建立科学院四处奔波，到处游说。1698 年，他为此亲自前往柏林。1700 年，当他第二次访问柏林时，终于得到了弗

47、里德里希一世，特别是其妻子（ 汉诺威奥古斯特公爵之女） 的赞助，建立了柏林科学院，他出任首任院长。1700 年 2 月，他还被选为法国科学院院士。至此，当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员。公元1716 年 11 月 14 日，由于胆结石引起的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤寂地离开了人世，终年70 岁。 。个人成就始创微积分；八卦方圆图与二进制；高等数学上的众多成就；计算机科学贡献；丰硕的物理学成果；哲学贡献单子论 ；中西文化交流之倡导者。3 欧拉分析的化身18世纪微积分的般主要成就体现在欧拉的下列3部微积名 著之中：(1)无

48、限小分析引论，两卷集，1748。(2)微分学,两卷集，1755。(3)积分学,三卷集，17681770。(1)、(2)<3)是数学史上星程碑式的巨著，在18世纪到19世纪里,世界各国把这3种著作当作最佳教材在各著名大学讲授，培养了好几代数学家。现今分析中的标准符号，例如/(%), £*,i等都出自这3大名著.欧拉(L.Euter, 17071783),生于瑞士巴基尔城郊，其父是牧师，爱好数学，是欧拉的数学启蒙教师°欧拉13岁人巴基尔大学,欧拉的数学老帅是大数学家约翰伯努利(Johann Bemcdli.1667 1748)和雅各布伯努利(Jacob BerroulB,

49、 16541705)两兄弟，师生 间情谊极深，欧拉又结交了约翰的两个儿子尼古拉伯努利(Ni» hus BcmoullD和丹尼尔伯努利(Daniel Bernoulli),后来尼古拉和丹 尼尔也成了著名的数学家。到19世纪中叶,伯努利家族中出了十 几位著名的数学家，是历史上令人羡慕的科学世家,初等微积分中 大部分内容出自雅各布和约翰之手。英国斯科特在其所著的数学史论及伯努利家族时写道:“这 个天赋聪颍的家族几乎对数学的每个分支都作出过最有价值的贡 献，欧洲大陆上微积分的迅速发展多半应归功于他们的热情和才 能/在约翰伯努利的严格教导之下，欧拉17岁便狭硕士学位，且 成为约翰的助手。对欧拉

50、的突出的数学才能,约翰伯努利十分赏识,约翰在一 封给欧拉的信中写道我讲授高等分析时，这门学科还是个孩子,而您正在将它带大成人1725年，圣彼得堡科学院成立,尼古拉伯努利和丹尼尔伯 努利双双聘为彼得堡科学院教授，1727年,欧拉应邀到圣彼得堡 科学院工作。1733年,26岁的欧拉接替返回瑞士的丹尼尔，成为 数学教授和圣彼得堡科学院数学部领导人。1735年年仅28岁的 欧拉右眼失明。1741年欧拉被邀到柏林科学院任物理数学所所长，1759年, 欧拉成为柏林科学院领导人。欧拉是历史上成果最多的数学家，生前发表的著作和论文 560余种，目留下大批未发表的手稿，欧拉去世后的80年间彼得 堡科学院不断发表

51、欧拉的遗著，1911年,瑞士开始出版欧拉全 集,计划出84卷，皆四开大册° 1771年，圣彼得堡科学院遭受火 灾,64岁的欧拉险些葬身火海，但他的部分研究成果化成灰烬，不 然欧拉的数学成果会更加丰硕。56岁时，欧拉的左眼亦失明，他 在黑暗中拼搏了 20年,完全凭着惊人的记忆和心算进行研究和写 作,由子女（欧拉是13个子女的父亲）笔录,在这种情况下的作品 约占他一生作品的一半.1783年9月18日，欧拉与同事讨论与计算天王星轨道时突然 烟斗坠地，正如法国数学家康多塞（Condwa）所感叹:“欧拉停止 了计算，也结束了生命！”美国数学家塞蒙斯说自1748年以来，所有的微积分教材, 基本上

52、是抄袭欧拉的无穷小分析引论、微分学和积分学，或 者是抄袭那些抄袭欧拉这3部书的书J欧拉的文笔轻松易懂，总是把他深刻丰富的思想和广泛的兴 趣写得有声有色。他喜欢搞特定的具体问题，而不是一味热衷于 一般理论。除了微积分而外，对于微分方程还提供了降阶法、第级 数解法、积分因子法等等重要解法；1736年，欧拉解决了哥尼斯堡 七桥问题而开创了图论与拓扑学；至于欧拉在数论与函数论以及 物理学当中的贡献如此之多，以至于一些著名的定律人们认为不 必再注明是欧拉首次提出的了；例如著名公式屋=586+1774年，欧拉出版寻求具有某种极大或极小性质的曲线 的技巧)一书，使新的学科变分法诞生，“'变分法”一词

53、1766年首 次使用，欧拉是复变函数论的先驱者。1742年.欧拉与哥德巴 赫通信时提出了今日所称的4哥德巴赫猜想，欧拉在概率论, 微分几何、代数拓扑等领域亦有重大贡献1770年出版的欧拉 名著代数学完笛引论是欧洲几代人的教科书心对“三体问 鹿”欧拉进行了开创性的数学理论分析。在天文力学方面的著 作有：(1) 1744年,行星和彗星的运动理论工(2) 1753年<月球运动理论.(3) 17、年,日做的计算电 <4) 1736年,力学，或解析地叙述运动的理论。(5) 1752年,流体运动原理K (6)1755年,流体运动的一般原理九欧拉还有大量关于物理学、建筑学、惮道学以及哲学、音乐和神学的著作。当代“欧拉问廖”专家，瑞士科学院的埃米尔费尔曼对于欧拉 有如此巨大成就的原因总结出3点:惊人的记忆力；罕见的聚 精会神的能力;孜孜不偌。4 .柯西-19世纪严格化最有影响的先驱者柯西(Cauchy Aiig>iAtin Louis, 17891857) ,巴黎人其父结识 的朋友中有大数学家拉格朗口和拉普拉斯，两位数