高等数学：2-4 隐函数求导法则

1、12.4 2.4 非初等函数的求导方法非初等函数的求导方法2解解1.)1()1( xxfy )(sine)(sin xfyxf3. )1(12xfx 2.4.12.4.1抽象函数求导抽象函数求导 xxfxfcos)(sine)(sin 问：问：有什么区别？有什么区别？与与 )(sin)(sin xfxf例例1 1 设设 f 可导，求下列函数的导数：可导，求下列函数的导数：1.)(sinxfy )1(xfy 2.)(sine. 3xfy 32.4.2 2.4.2 隐函数求导法隐函数求导法问题问题: 隐函数不隐函数不能显化时如何求导能显化时如何求导 ?例例如如, , 隐隐函函数数: :133 yx

2、, , 显显化化: :331xy . . 如如果果二二元元方方程程0),( yxF确确定定了了一一个个函函数数)(xyy , ,称称之之为为隐隐函函数数. . 当然当然, ,)(xy一经解出一经解出, ,则称为则称为显函数显函数. . 方程方程222ayx 可以确定函数可以确定函数22xay 与与22xay , ,有两个有两个. . 但但有有时时不不易易或或不不能能显显化化, ,如如Kepler方方程程： 0sin yxy )10( . . 4求由方程求由方程222ayx 所确定的隐函数所确定的隐函数)(xyy 的导数的导数. . 方方程程两两边边关关于于 x求求导导( (将将 y视视为为 x

3、的的函函数数) ), ,得得 解得解得 yxy . . 显显化化后后, ,22xay , , 另另一一分分支支: : 22xay , ,22xaxy yx . . 例例2 2解解，022 yyx比较：比较：22xaxy ；yx 5例例3 3解解方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 当当0 x时时, ,1 y, , ，0e yxyyy，xyyy e.e1 0 xy6，0e yxyyy，xyyy e.e1 0 xy1)0( y2)(e)1e ()e (xyyxyyyyy 2)(e)1ee ()e (exxyyxxyyyyyy 322)(ee)(e2xyxyyyy .e1 0 xy72.4.

4、3 “疑似疑似”非初等函数：幂指函数的求导法非初等函数：幂指函数的求导法是否是初等函数？是否是初等函数？xxysin 问：问：)(sin xxy)e(lnsin xx)ln(sinelnsin xxxx)/sinln(coselnsinxxxxxx )/sinln(cossinxxxxxx xxxxeexyxlnsinlnsinsin 因为因为所以所以 8例例4 4解解.),0(yxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnln 求求导导得得上上式式两两边边对对 x1ln1 xyy)1(ln xyy. )1(ln xxx9例例5 5解解 142) 1( 3111e)4(1) 1

5、(23xxxxxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,e)4(1)1(23yxxxyx 求求设设严严格格讲讲, ,取取对对数数时时应应取取绝绝对对值值, ,如如xxln2ln2 , ,但但xx/1)(ln , ,故故省省略略绝绝对对值值. . 注意：注意：10方法方法： 先在方程两边先在方程两边取对数取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围: :.)()( 比较复杂的函数的情形比较复杂的函数的情形以及乘、除、根式表达以及

6、乘、除、根式表达用于幂指函数用于幂指函数xvxu取对数求导法的进一步推广：取对数求导法的进一步推广：112.4.4 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt关系,或者或者xyddtxtydddd12(P108(P108例例7)7)已已知知椭椭圆圆的的参参数数方方程程为为 ,sin,costbytax.4处处的的切切线线方方程程求求椭椭圆圆在在 t13若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2

7、t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xyy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得)()(dd22ttxy注意注意 :14(P110(P110例例9)9)已已知知摆摆线线的的参参数数方方程程为为 ),cos1(),sin(tayttax.)(的的二二阶阶导导数数求求函函数数xyy 15例例6. 抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小:水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)d

8、d()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy16)(, )(tyytxx为两可导函数，已知相关变化率问题解法:方程两边对 t 求导2.4.5 相关变化率相关变化率.),(, 0),(dtdytxyxF求求 满满足足的的方方程程找找出出)(, )(tytx满满足足的的方方程程得得出出)(, )(tytx )()(tytx 求求出出利利用用17例例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多

9、少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(182.4.6 2.4.6 分段函数的求导分段函数的求导19解解因因为为(P87 (P87 第第1717题题) )设设 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常数数可可导导在在点点 1,1,2)(xaxxxf所所以以, 2)1( faf )1(所所以以左左右右导导数数相相等等处处可可导导函函数数在在,1 x.)1()

10、1(2aff 20解解因因为为(P87 (P87 第第1717题题) )设设 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常数数可可导导在在点点 1,1,2)(xaxxxf所所以以, 2)1( faf )1(?2)1( f问题一：为什么问题一：为什么21( (反例反例1)1)设设 1, 11,)(2xxxxxf?,1)(?2)1(怎怎么么会会可可导导点点根根本本不不连连续续在在那那么么 xxff问：问：如果如果 1, 11,2)(xxxxf22解解因因为为(P87 (P87 第第1717题题) )设设 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常数数可可导导在在点点 1,1,2)(x

11、axxxf所所以以, 2)1( faf )1(?)1(af 问题二：为什么问题二：为什么?lim)(lim)1(11aaxffxx 23001sinlim)0(20 xxxfx01sinlim0 xxx)1cos1sin2(lim)(lim)0(00 xxxxffxx 反例反例2 2 求函数求函数 0,0,1sin)(22xxxxxxf在在x=0点的导数。点的导数。不存在？不存在？)0( f但是根据左导数的定义计算可得但是根据左导数的定义计算可得24注意：注意：分段函数在分界点的导数分段函数在分界点的导数必须必须按导数的定义求导按导数的定义求导axafxfafax )()(lim)(axafxfafax )()(lim)(25解解所所以以有有可可导导必必连连续续,)(lim1)(lim)1(11baxxffxx ba 1处处的的左左导导数数为为函函数数在在1 x211lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx(P87 (P87 第第1717题题) )设设 1,1,)(2xbaxxxxf.,1bax求求常常数数可可导导在在点点 26处处的的右右导导数数