四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 一元二次不等式解法

1、四川省南江四中高一数学初高中衔接教材 一元二次不等式解法二次函数yx2x6的对应值表与图象如下：x32101234y60466406由对应值表及函数图象(如图2.31)可知当x2，或x3时，y0，即x2x60；当x2，或x3时，y0，即x2x60；当2x3时，y0，即x2x60这就是说，如果抛物线y= x2x6与x轴的交点是(2，0)与(3，0)，那么xO23yx2x6yy0y0y0图2.31一元二次方程x2x60的解就是x12，x23；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60的解是 x2，或x3；一元二次不等式 x2x60的解是 2x3上例表明：由抛物线与x轴的交点

2、可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集 那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0时的一元二次不等式的解xyOx1x2xyOx1= x2yxO图2.32我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，=0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.32

3、所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）（1）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为 x1xx2 （2）当0时，抛物线yax2bxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解（3）如果0，抛物线yax2bxc（a0）

4、与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由图2.32可知不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式例 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解为 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解为 x12，x23所以，原不等

5、式的解为x2，或x>3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数（4）整理，得 (x3)20.由于当x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解为一切实数练习：解下列不等式：1.；2.3.4. 5. （十七） 一元二次不等式解法（2）例1 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题例2 解关于的一元

6、二次不等式为实数).分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式, 的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论. 解: , 当 所以,原不等式的解集为 或； 当0，即a±2时，原不等式的解为 x； 当为一切实数 . 综上,当a2，或a2时，原不等式的解是 或；当为一切实数 例3 已知函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是

7、需要对对称轴的位置进行分类讨论 解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa （1）若2a1，由图2.3-3可知,当xa时，该函数取最小值 n1a2； (2)若a-2时, 由图2.3-3可知, 当x-2时，该函数取最小值 n4a+5； (2)若a1时, 由图2.3-3可知, 当x1时，该函数取最小值 n-2a+2. 综上,函数的最小值为 练习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20 2.解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）3.解关于的不等式 4. 已知函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为1，求实数的值。习题 A 组1解下列方程组：（1） （2） （3）2解下列不等式： （1）3x22x10； （2）3x240； （3）2xx21； （4）4x20B 组1取什么值时,方程组有