高等数学课件：8-5 平面及其方程

1、2022-1-121第五节 平面及其方程 第八章第八章 （The Planes and Its Equations)四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角2022-1-122zyxo0Mn一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n(The Poi

2、nt-Normal Form Equations of a Plane)2022-1-123kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM例1 求过三点2022-1-124此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为

3、说明:2022-1-125此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c特别,当平面与三坐标轴的交点分别为2022-1-126二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方

4、程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.(General Equation of a Plane)2022-1-1270DCzByAx)0(222CBA特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 x

5、oy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn2022-1-128解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0ByCz代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy例2 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.2022-1-129三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn )

6、,(2222CBAn 2121cosnnnn （The Angle between Two Planes）2022-1-1210221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n特别有下列结论：特别有下列结论：2022-1-1211因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1

7、() 1(2zyx即20 xyz0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且例4 一平面通过两点2022-1-1212外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA000222AxB yC zDdABC0111DzCyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d . 0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式点到平面的距离公式)例5 设2

8、022-1-1213求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程.例6解解: 设球心为则它位于第一卦限,且, ),(0000zyxMxyzo0M2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx2022-1-1214内容小结1. 平面基本方程平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0

9、(abc2022-1-12150212121CCBBAA212121CCBBAA2. 平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 2022-1-1216作业习题习题85： 1； 2；7；8；9（1）（）（3）；）；10；11 思考与练习思考与练习答案：答案：,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk2132514kk.270 k2022-1-1217答案：答案：2022-1-1218)5,15,1