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文档简介
1、考点14 解三角形【考点分类】热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】在中,则()(A)(B)(C)(D)2.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】在ABC中, 则 = () (A)(B) (C) (D) 3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】在,内角所对的边长分别为()A B C D4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】的内角的对边分别是,若,则()A. B. C. D.5.【2013年全国高考新课标(I)文科】已知锐角的内角的对边分别为,则()(A)(B)(C)(D
2、)6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理】在锐角中,角所对的边长分别为.若()A B C D7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】设的内角所对边的长分别为,若,则角=()(A) (B) (C) (D) 8(2012年高考(天津理)在中,内角,所对的边分别是,已知,则()ABCD9(2012年高考(陕西理)在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为()ABCD10(2012年高考(湖北文)设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,则为()A432B567C543D65411.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】如图,在中,已知点
3、在边上,, ,则的长为_ _ . 12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】已知ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_(结果用反三角函数值表示).13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】中,,是的中点,若,则_.14(2012年高考(重庆文)设的内角的对边分别为,且,则_.15(2012年高考(北京理)在ABC中,若,则_.16(2012年高考(湖北理)设的内角,所对的边分别为,. 若,则角_.17.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】设的内角A、B、C的对边分别为.()求B;()若,求C.18.【2013年普通高
4、等学校招生全国统一考试(北京卷)理】在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(I)求cosA的值,(II)求c的值.19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】在中,角的对边分别为,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.21.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图,旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为 m/min,在甲出发2 min后,乙从乘缆车到,在处停留1 min后,再从匀速
5、步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路长1260m,经测量,.(1)求索道的长;(2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理】设的内角所对的边分别为,且,.()求的值;()求的值.23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1)求角的大小;(2)若,求的取值范围.24.【2013年全国高考新课标(I)理科】如图,在ABC中,ABC90°,AB
6、=,BC=1,P为ABC内一点,BPC90°.(1)若PB=,求PA;(2)若APB150°,求tanPBA.ABCP25.(2012年高考(安徽文)设的内角所对的边为,且有()求角的大小;(II) 若,为的中点,求的长.26(2012年高考(课标文)已知,分别为三个内角,的对边,.()求;()若=2,的面积为,求,.27(2012年高考(江苏)在中,已知.(1)求证:;(2)若求A的值.28(2012年高考(大纲文)中,内角A.B.C成等差数列,其对边满足,求.29(2012年高考(辽宁理)在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.()求的值;()
7、边a,b,c成等比数列,求的值.解:(1)由已知(2)解法一:,由正弦定理得【方法总结】(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意(3)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用热点二、利用正余弦定理判断三角形形状30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为()(A)锐角三角形(B) 直角三角形(C)钝角三角形(D) 不确定31
8、.(2012年高考(上海理)在中,若,则的形状是()A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D不能确定.【方法总结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用ABC这个结论热点三、利用正余弦定理求三角形面积32.【2013年高考新课标数学(文)卷】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则ABC的面积为()
9、(A)(B)(C)(D)33.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】在锐角ABC中,内角的对边分别为,且,()求角A的大小.() 若,求ABC的面积.34.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标数学(理)卷】ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.()求B;()若b=2,求ABC面积的最大值.35.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】如图,在等腰直角中,点在线段上.() 若,求的长;()若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值.因为,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值即2时,的面积的
10、最小值为36.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】在中,角,对应的边分别是,.已知.()求角A的大小;()若的面积,求的值.37.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】在中,角,对应的边分别是,.已知.()求角A的大小;()若的面积,求的值.38.(2012年高考(山东文)(本小题满分12分)在ABC中,内角所对的边分别为,已知.()求证:成等比数列;()若,求的面积S.39.(2012年高考(江西理)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.(1)求证:(2)若,求ABC的面积.40(2012年高考(浙江理)在ABC中,内角A,B,C的对边分别
11、为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.()求tanC的值;()若a=,求ABC的面积.【方法总结】1利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化;2除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有Sp·r(p是周长的一半,即p,r为内切圆半径);S(R为外接圆半径)【考点剖析】一明确要求1考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法二命题方向1利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形
12、状的判断等.三规律总结基础梳理1正弦定理:2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为:(1)abcsin Asin Bsin C;(2)a2Rsin_A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(3)sin A,sin B,sin C等形式,以解决不同的三角形问题2余弦定理:a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为:cos A,cos B,cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.4已知两边和其中一边的对角,
13、解三角形时,注意解的情况如已知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在ABC中,ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状,主要有两
14、种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换【考点模拟】一扎实基础1.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角B为( )(A) (B) (C)(D) 2.【天津一中20122013学年高三数学一月考】在ABC中,A,B,C为内角,且,则ABC是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形3.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】在ABC中,角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,若asinA+bsinB<csinC,则ABC的形状是( )(A)锐角三
15、角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)正三角形4.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】在ABC中,若,则角C为( )A.B. 或C.D. 5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若C = 120.,c=a,则()A.a>bB.a<bC.a =bD.a与b的大小关系不能确定6.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】在中,若,则_;【答案】B【解析】由题得,由正弦定理.7.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试文】在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则 .8.【山东
16、省济宁市2013届高三上学期期末考试文】在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,则.9.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】在中,若,则,.,即,解得.10.【北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习】在中,分别为角,C所对的边.已知角为锐角,且,则.【答案】【解析】由得,所以,,即.二能力拔高11.【湖南师大附中2013届高三第六次月考】已知三个向量,,共线,其中分别是的三条边和三个角,则的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形12.【河北省唐山一中、衡水一中2013届高三4月联考】在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角A的大小为()A B
17、C D13.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】在中,内角所对的边分别为,其中,且面积为,则( )A. B. C. D. 14.【天津耀华中学2013届高三年级第一次月考】在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=,b=,且1+2cos(B+C)=0,则BC边上的高等于( )A、-1 B、+1 C、D、15.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】在中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若且,则的面积为16.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】在ABC中,则_.17.【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】在中,角A,B,C新对的边分
18、别为a,b,c,若,则角B=_.【答案】【解析】由得,所以.由正弦定理得,即,解得,所以,所以.18.【2013年安徽省安庆市高三模拟考试(三模)】在三角形ABC中,若角A、B、C所对的三边a、b、c成等差数列,则下列结论中正确的是_.b2ac;19.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知、分别为三个内角、的对边,若,则的值等于20.【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】(本小题满分14分) 在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且.(I)求角B的大小;(II)若,求ABC的面积最大值.(II)由余弦定理得,得.当时,ABC的面积最大值为14分三提升自我21.【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】在中,的对边分别是a,b,c若是锐角三角形,则它的外心到三边距离之比为若且,则若的面积为S,则若为等边三角形,且边长为1,O为内任一点,,则,则上述命题是真命题的是.(写出所有真命题的序号)22.【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】在三角形中,.求角的大小;若,且,求的面积. 所以由,可知. (10分)所以. (11分) 综上可知 (1
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