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文档简介

1、2011江苏高考数学试卷全部解析 - 李海林一、 填空题 1.已知集合,,则 。 解析:答案为。本题考查了集合的概念和运算,是B级要求,容易题。由集合的交集意义得。集合复习时要围绕概念及运算加强理解,适当把集合和方程、不等式等结合。2.函数的单调增区间是 。解析:答案为。本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质,是B级要求,容易题。由,得,所以函数的单调增区间是。要熟知各类函数的定义、性质,尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。3.设复数z满足,(为虚数单位),则z的实部是 。解析:答案为1。本题考查了复数的运算和复数的概念,是B级要求,容易题。由得,所以z的实

2、部是1。要熟练掌握复数的概念和运算,复数的几何意义也要了解。4.根据如图所示的伪代码,当输入分别为2,3时,最后输出的的值为 。 Read a,b If a>b Then Else End IfPrint 解析:答案为3。本题考查了算法的有关概念和算法中的基本算法语句,是A级要求,容易题。08、09和10年都考查了算法流程图,今年考查的基本算法语句与算法流程图都是算法中的基本内容。算法常与函数、方程、不等式和数列结合考查,要熟知基本的算法语句和流程图。5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 。解析:答案为。本题考查了概率的概念和古典概型的概

3、率计算,是B级要求,容易题。由题意得取出的两个数为:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4共六种基本情况,则其中一个数是另一个数的两倍的为1和2及2和4两种,所以所求的概率为。要熟知概率的概念和古典概型及几何概型的特征及计算方法。6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差 。解析:答案为。本题考查了统计中方差的概念和计算,是B级要求,容易题。由题意得该组数据的平均数为,所以方差为。要熟练掌握统计的相关计算和有关特征数的意义和作用。7.已知,则的值为 。解析:答案为。本题考查了三角函数的和差倍计算,是B、C级要求,中档题。由得,。两角和与差的正、余

4、弦和正切是高考的重点内容,二倍角也是较重要的考试内容,要熟练掌握公式应用和最常见的变形,且能根据问题特点选用相关的形式。8.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点,则线段长的最小值为 。解析:答案为4。本题考查了函数的图象及性质的应用,是B级要求,中档题。直接画图结合函数的对称性可知,当直线的斜率为1时,线段长的最小,最小值为4;或设直线为,由方程组解得两点的坐标,再求线段长的最小值,此法相对计算量较大,不如利用图象和性质快捷。合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法。要掌握各种常见函数的图象和性质,选用适当的方法求解问题。yxO9.函数(为常数,)的部分图

5、象如图所示,则的值为 。解析:答案为。本题考查了三角函数的图象及性质的应用,是A级要求, 中档题。由函数图象得,所以,再结合三角函数图象和性质知,所以。正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质是B级要求,函数的图象和性质是A级要求,这些都是三角函数的重要内容,要熟练掌握、灵活应用。对于三角函数的图象要能发现相关信息,恰当应用。10.已知是夹角为的两个单位向量,若,则实数的值为 。解析:答案为。本题考查了平面向量的概念和数量积的意义,是C级要求, 中档题。由得。单位向量及向量的夹角都是向量的基本内容,向量的线性运算及平面向量基本定理都是向量的重要内容,要熟练掌握,平面向量的数量积是解决平面上与长

6、度和角度有关的问题的重要方法,要有意识地应用。11.已知实数,函数,若,则的值为 。解析:答案为。本题考查了函数的概念及函数和方程的关系,是A级要求, 中档题。由题意得,当时, ,解之得,不合舍去;当时,解之得。本题只要根据题意对分类,把问题化为方程问题求解即可,而无需画图,否则较易错。要分析各类问题的特点,恰当转化是解决问题的关键,要培养相关的意识。12. 在平面直角坐标系中,已知是函数的图象上的动点,该图象在点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点,设线段的中点的纵坐标为,则的最大值为 。解析:答案为。本题考查了函数的导数的求法及导数的几何意义,导数用于求函数的最值,是B级要求;直线方程的

7、求法,C级要求,是中档题。设点坐标为,由得,的方程为,令得,过点的的垂线方程为,令得,所以,令,对函数求导,当时,函数的最大值为。要充分利用导数的特点,正确求导、计算,得出正确的结果。13.设,其中成公比为的等比数列,成公差为1的等差数列,则的最小值为 。解析:答案为。本题考查了等差数列、等比数列的意义和性质,是C级要求,中档题。由题意得,要求的最小值,只要求的最小值,而的最小值为1,所以,。正确利用条件得出数列中各项的关系,列出不等式组是解题的关键。14. 设集合。若,则实数的取值范围是 。解析:答案为。本题考查了集合、曲线方程和不等式及二元不等式表示的区域等内容,是多个B级要求考点的综合,

8、难题。由得,所以或。当时,且,又,所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分;当时,只要或解得或,所以,实数的取值范围是。解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必要的图形,得出求解实数的取值范围的相关条件。二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.在中,角的对边分别为。(1) 若,求的值;(2)若,求的值;.解析:本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查运算求解能力,是C级要求,容易题。解题说理要准确、完整,过程要合理、严谨。解:(1)由题意知,从而,所以,因为,所以。 (2)由,及

9、,得,所以是直角三角形,且,所以。16.如图,在四棱锥中,平面平面,,分别是的中点。求证:(1)直线平面; (2) 平面平面。FPACDEB解析:本题主要考查直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力,是B级要求,容易题。要准确画图,合理写出相关的推证理由,符号应用正确。证明:(1) 在中,因为分别是的中点,所以,又因为平面,PD平面,所以直线平面。 (2)连结BD。因为,所以为等边三角形。因为分别是的中点,所以。因为平面平面,,又因为,所以.又因为,所以平面平面。17.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿

10、虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设。(1)某广告商要求包装盒的侧面积S最大,试问应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V最大,试问应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。解析:本题主要考查函数的概念、导数等基础知识,考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力,是B级要求的综合问题,中档题。引入恰当的变量、建立适当的模型是关键。解:设包装盒的高为,底面边长为由已知得。(1),所以当时,S取得最大值。(2)。由得,(舍)或。当时;当时,所以当时取得极大值,

11、也是最大值,此时,即包装盒的高与底面边长的比值为。18.如图,在平面直角坐标系中,M,N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作轴的垂线,垂足为C。连结AC,并延长交椭圆于点B。设直线PA的斜率为。 (1)若直线PA平分线段MN,求的值; (2) 当时,求点P到直线AB的距离; (3)对任意的,求证:。解析:本题主要考查椭圆的标准方程及椭圆的几何性质、直线方程、直线的垂直关系,点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,是B、C级要求的综合,中档题。恰当应用椭圆的概念和几何性质,可以提高运算效率。解:由题意知,故,所以线段MN的中点的坐标为

12、,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以。(2)直线PA的方程为,代入椭圆方程得,解得,因此,于是,直线AC的斜率为,所以直线AB的方程为,因此。(3)解法一:将直线PA的方程为代入,解得,记,则,于是故直线AB的斜率为,直线AB的方程为,代入椭圆方程得,解得,或,因此,于是直线PB的斜率为, 因此,所以。解法二:设,则,.设直线PB,AB的斜率分别为。因为C在直线AB上,所以 ,从而,因此,所以。19(本小题满分16分)已知是实数,函数,和是和的导函数若在区间上恒成立,则称和在区间上单调性一致(1)设,若和在区间上单调性一致,求实数的取值范围;(2)

13、设且,若和在以为端点的开区间上单调性一致,求的最大值解析:本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力,B级要求,是难题。 解:。(1)由题意得,在上恒成立。因为,故,进而,即在区间上恒成立,所以,因此的取值范围是。 (2)令,解得,若,由得,又因为,所以函数和在上不是单调性一致的。因此。现设。当时,;当时,。因此,当时,故由题设得且,从而,于是,因此,且当时等号成立。又当时,),从而当时,,故函数和在上单调性一致的。因此的最大值为.20(本小题满分16分)设为部分正整数组成的集合,数列的首项,前项的和为,已知对任意整

14、数,当时,都成立(1)设,求的值;(2)设,求数列的通项公式解析:本题主要考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查学社分析探究及逻辑推理的能力,C级要求,是难题。解:由题设知,当时,即,从而,又,故当时,所以的值为8.(2) 由题设知, 当,且时,且,两式相减得,即,所以当时,成等差数列,且也成等差数列,从而当时, ,且。 所以当时,即,于是,当时,成等差数列,从而,故由式知,即,当时,设,当时,从而由式知,故,从而,于是。因此,对任意都成立。又由(可知,故且。解得,从而,。因此,数列为等差数列,由知,所以数列的通项公式为。B选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)

15、已知矩阵,向量求向量,使得解析:本题主要考查矩阵运算等基础知识,考查运算求解能力,B级要求,容易题。解: =,设,由得,,从而,解得,所以。C选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程解析:本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力,B级要求,容易题。解:由题意知,椭圆的长半轴长为,短半轴长,从而,所以右焦点为,将已知直线的参数方程化为普通方程得,故所求的直线的斜率为,因此所求的方程为,。22(本小题满分10分)如图,在正四棱柱中,点是的中点,点在上设二面角的大小为(1)当时,求的长;(2)当时,求的长解析:本题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量的解决问题的能力,B级要求,中档题。解:建立以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为轴的空间直角坐标系。设,则各点的坐标为,,所以,设平面DMN的法向量为,则,,即,令,则,所以是平面DMN的一个法向量为,设平面的法向量为,则,即,令,则,所以是平面的一个法向量,从而。(1) 因为,所以,解得,从而,所以.(2) 因为,所以因为,

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