线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2. 矩阵的秩矩阵的秩3. 线性方程组的解线性方程组的解经过初等行变换经过初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 其其特点特点是是: 可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线, 线的下方全为线的下方全为0; 每个台阶每个台阶只有一行只有一行, 台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元也就是非零行的第一个非零元.经过初等行变换经过

2、初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以进一步化行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵为行最简形矩阵, 其其特点特点是是: 非零行的非零首元为非零行的非零首元为1, 且且这些非零元所在列的其它元素都为这些非零元所在列的其它元素都为0. 如果矩阵如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则则称称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价. 记作记作A B. 若在矩阵若在矩阵A中有一个中有一个r 阶子式阶子式D非零非零, 且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零, 则称则称D为为矩阵矩阵A的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式, 称称数数 r 为为

3、矩阵矩阵A的秩的秩, 记作记作R(A). 若若A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则(1) A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n;如果如果A中有一个中有一个r 阶子式非零阶子式非零, 则则 R(A) r .如果如果A的所有的的所有的r+1阶子式都为零阶子式都为零, 则则 R(A) r . 性质性质5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B), 特别当特别当B = b时时, R(A) R(A b) R(A) + 1;性质性质6: R(A + B) R(A) + R(B); 性质性质7: R(AB) minR(A), R(B);性质性质8:

4、若若Am nBn l =O, 则则R(A)+R(B) n.性质性质1: 0 R(Am n) minm, n;性质性质2: R(AT) = R(A);性质性质3: 若若A B, 则则R(A) = R(B);性质性质4: 若若P, Q可逆可逆, 则则R(PAQ) = R(A); 把矩阵用初等行变换变成为把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵, 行阶行阶梯形矩阵中非零行的梯形矩阵中非零行的行数行数就是矩阵的秩就是矩阵的秩 (2) 初等变换法初等变换法 (1) 利用定义利用定义 (矩阵的阶数矩阵的阶数 )3 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法寻找矩阵中非零子式的最高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数

5、; 定理定理1: n元线性方程组元线性方程组Am nx=b (1) 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(A,b); (2) 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n. 定理定理1: (克拉默克拉默(Cramer)法则法则)如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零, 那么那么, 线性方程组线性方程组(1)有解有解, 且且解是唯一的解是唯一的.n元线性方程组元线性方程组An nx=b 把把行最简形行最简形中中r 个非零行的个非零

6、行的所对应的未所对应的未知量取作知量取作, 其余其余nr个未知量取作自由未个未知量取作自由未知量知量, 并令自由未知量分别取并令自由未知量分别取c1, c2, cnr , 由由B(或或A)的行最简形即可写出含有的行最简形即可写出含有nr个参数的通解个参数的通解. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯增广矩阵化成行阶梯形矩阵形矩阵, 便可判断其是否有解便可判断其是否有解. 若有解若有解, 化成行最简形化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 齐次线性方程组的解法齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形系数矩阵化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便

7、可写出其通解.)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换.1BAX BA 1BAE初初等等列列变变换换.1 BAX)(TTBA)(1TTBAE 初初等等行行变变换换TTTBAX1)( 或者或者(1) AX=B(2) XA=B.1 BAX 注意注意: 用初等行变换求逆矩阵时用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终用必须始终用行变行变换换, 其间其间不能作任何列变换不能作任何列变换. 同样地同样地, 用初等列变换求用初等列变换求逆矩阵时逆矩阵时, 必须始终用列变换必须始终用列变换, 其间不能作任何行变换其间不能作任何行变换.2009年期末考题年期末考题七、（七、（1010分分) ) 求非齐次线性方程组求

8、非齐次线性方程组 31311579313432143214221xxxxxxxxxxxx的通解的通解。类型一：求解线性方程组类型一：求解线性方程组121234122231100010 xxccxx 答答案案： 002120110719214321ccxxxx答答案案： 6242163511325)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx通通解解：求求下下列列非非齐齐次次方方程程组组的的分分四四2009年期末考题年期末考题(线代线代II).432636242232)12.(543215432154321 xxxxxxxxxxxxxxx解方程组：分四是任意常数），（通解：2121c

9、 ,c2100300101c00012c 2011年期末考题年期末考题四、（12分）设有线性方程组：23213213211xxxxxxxxx问 取何值式时，此方程(1)有唯一解，(2) 无解，(3) 有无限多解？并在有无限多解时求其通解。2010年期末考题年期末考题课后题课后题16类型二、含参数线性方程组解的讨论类型二、含参数线性方程组解的讨论 001101c011cxxx132)2(21)1(21321有无限多解，）（无解；有唯一解；且答案：- - -.334536223231,)12.(5432154325432154321的的一一般般解解有有解解？如如有有解解，试试求求它它取取何何值值时

10、时，线线性性方方程程组组当当分分四四 dxxxxxxxxxcxxxxxxxxxxdc),(00032100650102100121. 2, 0321321为为任任意意实实数数，通通解解：答答案案：ccccccdc 2011年选考题年选考题.4x2xxkxkxx4xxxk)15.(3212321321时写出其通解穷多解？并在无穷多解有唯一解、无解、有无取何值时，方程组当分六 k.040113k4k)3(1k)2(4 , 1k)1( 是有无穷多解，为时无解；时有唯一解；答案：-2012年期末考题年期末考题.3kxxkx2xkxx2xxxk)15.(321321321时写出其通解穷多解？并在无穷多解

11、有唯一解、无解、有无取何值时，方程组当分六 k 002101k011k1k)3(2k)2(21k)1(21是有无穷多解，为时无解；时有唯一解；，2012年选考题年选考题课后题课后题17非齐次线性方程组非齐次线性方程组 23213213212222 xxxxxxxxx 当当 取何值时有解？并求出它的通解。取何值时有解？并求出它的通解。11(1)101012(2)2,1210 答案：=1，通解c通解c课后题课后题18设设 1)5(4224)5(2122)2(321321321 xxxxxxxxx 问问 取何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？取何值时，此方程组有唯一解、无解或无穷多解？并在有无

12、穷多解时求其通解。并在有无穷多解时求其通解。12(1)10,2211,100010 答案：1或10，有唯一解，(2)(3)通解cc(A)(A)存在且唯一存在且唯一 (B) (B)存在但不唯一存在但不唯一(C)(C)不存在不存在(D)(D)存在与否不确定存在与否不确定4. 4. 设设B B是数域是数域K K上的上的n n阶可逆矩阵，对应阶可逆矩阵，对应K K中任意中任意n n个数个数b b1 1,b,bn n, ,线性方程组线性方程组 的解的解( )( ) nnbbbxxxB21212009年期末考题年期末考题A A类型三、判断线性方程组的解类型三、判断线性方程组的解4设非齐次线性方程组设非齐次

13、线性方程组Ax = b有有n个未知量个未知量, m个方程个方程, 且且R(A) = r, 则此方程组则此方程组( )。(A) 当当r = m时时, 有解有解; (B) 当当r = n时时, 有唯一解有唯一解; (C) 当当m = n时时, 有唯一解有唯一解; (D) 当当r n; (D) R(A) n时，必有行列式0|AB(B) 当mn时，必有行列式0|AB(C) 当nm时，必有行列式0|AB(D) 当nm时，必有行列式0|AB2010年期末考题年期末考题B类型四：矩阵的秩类型四：矩阵的秩|;| -|; 0|0|;|;|)(2BADBACBABBAABAn ）（，则则）若若（）（）（等等价价，

14、则则与与阶阶方方阵阵、设设C2011年选考题，年选考题，2012年期末考题年期末考题._2966364232212为何值，则的秩为、设矩阵ttA 4 t2011年期末考题年期末考题._3)(1111111111114 kARkkkkA，则则，且且、设设-32011年选考题年选考题B2.设设A, B为为n阶非零方阵阶非零方阵, 且且AB=O , 则则A和和B的秩的秩( ) A. 必有一个为零必有一个为零 B. 都小于都小于nC. 一个小于一个小于n，一个等于，一个等于n D. 都等于都等于n2009年期末考题年期末考题(线代线代I)2.已知 P为3阶非零方阵，且满足PQ=O,则( ),96342

15、321tQ(A) t=6时，P的秩必为1；(B) t=6时，P的秩必为2；(C) 时，P的秩必为1；(B) 时，P的秩必为2；6t6t2010年期末考题年期末考题C2已知A= BO, B为3阶矩阵, 且AB = O, 则t = .,03032321 t(A) 9, (B) 27, (C) 18, (D) 27.2008年期末考题年期末考题(II)D.,)()(0)8(2阶单位矩阵为其中证明，阶矩阵，且满足是已知分七、nEnEARARAAnA 86和性质质提示：利用矩阵秩的性2011年期末考题年期末考题所以所以, 由由矩阵秩的性质矩阵秩的性质8结论可知结论可知: R(A)+R(EA) n.再由再

16、由矩阵秩的性质矩阵秩的性质6结论得结论得:R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA) R(A+(EA) = R(E) = n.因此因此, 有有R(A)+R(AE)=n.证明证明: 由条件由条件A2=A得得, A(EA)=O, 5. 设设A为为4阶方阵阶方阵, 且且R(A)=2, 则则R(A*)= .0例例9: 设设A*为为n 阶方阵阶方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明证明:(1) 当当R(A) = n 时时, R(A*) = n ;(2) 当当R(A) = n 1 时时, R(A*) = 1;(3) 当当R(A) n 1 时时, R(A*) = 0.二、填空题（每题3分，共12分）1.1.设设 则则 ,343332312423222114131211 aaaaaaaaaaaaA._10001001 Ak2009年期末考题年期末考题11121314112112221323142431323334aaaakaakaakaakaa,aaaa 类型五：初等变换、求解矩阵方程类型五：初等变换、求解矩阵方程 2235231727171121X答案：答