等差数列的性质练习含答案

1、课时作业 7 等差数列的性质时间： 45分钟满分： 100 分课堂训练1. 若一个数列的通项公式是an = kn+ b(其中b, k为常数)，则下 列说法中正确的是 ()A .数列an 定不是等差数列B .数列an是以k为公差的等差数列C. 数列an是以b为公差的等差数列D. 数列an不一定是等差数列【答案】 B【解析】a +1 an= k(n +1) + b kn b = k.2. 等差数列中，若 a3 + 84+85+ a6 + a7 + a8+ a9= 420，贝S a2 + aio等于 ()A. 100B. 120C. 140D. 160【答案】 B【解析】a + 34 + 35+a6

2、+ a7 + a8+ a? = 7a6= 420,则 a6= 60,.a2+ a10= 2a6 = 2X 60= 120.3. 在等差数列an中，ai5 = 33, a25= 66,则 a35=.【答案】 99【解析】a15, a25, a35成等差数列，°a35 = 2a25 a15= 99.4. 已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21,前三项之 积为231，求数列an的通项公式.【分析】关键是求出数列an的首项和公差.【解析】由于数列为等差数列，因此可设等差数列的前三项为a d + a+ a + d = 21,a d, a, a + d,于是可得I.：ad aa + d =

3、 231,3a= 21,a=乙即即a a2 d2 = 231,d2 = 16,由于数列为单调递增数列，因此 d= 4, a1 = 3,从而an的通项公式为 an=4n 1.【规律方法】此解法恰到好处地设定等差数列的项，为我们的解题带来了极大的方便，特别是大大降低了运算量.一般来说，已知三个数成等差数列时，可设成：ad, a, a+d,四个数成等差数列时，可设成：a 3d, a d, a+ d, a+ 3d,其余依此类推，如五个可设成：a 2d, a d, a, a+ d, a + 2d.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1.在等差数列an中，a5= 3, a9= 5,贝S a?=()A

4、 . 4B. 4C. 7D. 1【答案】 A1【解析】由题意知a7为a5, a9的等差中项，故a7=心厶+ ag) =1亡(3 + 5)= 4.2.在等差数列an中，若 a3 + 85+87+89+ an= 100,则 3a? ai3 的值为()A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C【解析】 + aii = a5 + a9 = 2a7,力3 + a5 + a7 + ag + an = 5a7= 100,a7= 20.3a9 a13= 3(a7 + 2d) (a7 + 6d) = 2a7= 40.3 .在等差数列an中，a + a4 + a?= 39, a? + a5 + a$ =

5、33，贝S a3 + a&+ a9的值为()A. 30B. 27C. 24D. 21【答案】B【解析】 方法一：由等差数列的性质知，a+a4 + a7, a2 + a5+ a8, a3 + a6 + a9 成等差数列，所以(a1 + a4 + a7)+ (a3 + a6 + a9)= 2(a2 + a5 + a8),贝卩 a3 + a6 + a9 = 2 x 33 39 = 27.方法:(a2 + a5 + a8) (a1 + a4 + a7)=3d（d为数列an的公差），则d= 2,83+ a6 + a9 = 2+85+ a8）+ 3d = 33 6= 27.4.把100个面包分给5

6、个人，使每个人所得成等差数列，且使较1大的三份之和的1是较小的两份之和，问最小的1份是（）103BD.116【答案】【解析】设这5份为a 2d, ad, a, a + d, a+ 2d,1由已知得 a= 20,且7(a + a+d + a+ 2d) = a 2d+ ad,555d= ,a 2d = 3.5. 等差数列an的公差d<0,且a2a4= 12, a +比=8,则其通项公式为（）A. an= 2n 2B. a*= 2n + 4C. an = 2n+ 12【答案】DD. an = 2n + 10【解析】由等差数列的性质得a2 + a4 = a1 + a5= 8.又a2a4 = 12

7、,所以a2, a4为方程x2 8x+ 12= 0的两根,a2=2,a2= 6,解得或a4=6a4= 2.a4 a2当 a2= 2, a4= 6 时，d= 2>0(舍去),4-2a4 a2当 a2= 6, a4= 2 时，d = 2.4 2所以数列的通项公式为 an = a2+ (n - 2)d= 6+ (n - 2)x ( 2)= 2n+ 10.即 an= 2n + 10.6. 设an,都是等差数列，且 ai= 25, b = 75, a? + b?= 100,则a37 + b37等于()A. 0B. 37C. 100D. 37【答案】 C【解析】设an, bn的公差分别是d1 , d2

8、,g+ 1 + bn+1) (an+ bn)= (an + 1 為)+ (bn+ 1 bn)= d1 + d2, Oi + bn为等差数列.又'.a + b1 = a2+ b2= 100,*a37 + b37 = 100.故正确答案为C.7. 一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A . 2B. 3C. 4D. 5【答案】 C【解析】 设该数列的公差为d,则由题设条件知:a6= a+ 5d>0, a7 = ai+6d<0.23d>23,又佝=23,d< 23石，即一2323石<d< 百.又.d是整数

9、，#= 4,故选C.8已知数列an、5都是公差为1的等差数列，其首项分别为 b1,且 a + b1 =5, a1, b1 N+设 q = abn(n N+)，则数列cn的 前10项和等于()A. 55B. 70C. 85D. 100【答案】C【解析】由题6= abn(n CN +),则数列cn的前10项和等于 ab1 + ab2 + abo = ab + ab + 1 + + ab1 + 9.ab = a + (d 1)=4,ad + ab1 + 1 + + ad + 9=4+5+ 13= 85.二、填空题(每小题10分，共20分)9.已知an为等差数列，a1 + a3 + a5= 105,

10、a2 + a4 + a6 = 99,则 a20=答案】 1【解析】归 + a3 + a5= 105,即 3a3 = 105,a3= 35,冋理 a4= 33,d = a4 a3= 2,力20 = a4 + (20 4)d = 1.10等差数列 an 中, a1+ a4+ a10+ a16+ a19= 150,则 a182a14【答案】30【解析】由 a1+a4+ a10+ a16+ a19= 5a10= 150,得 a10= 30, a182a14= (a10+8d)2(a10+ 4d)=a10=30.三、解答题(每小题 20分,共40分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 )11.

11、 (1)已知数列an为等差数列，若 ai a5 + a? ai3+ ai7= 117, 求 a3+ a15.(2)在等差数列an中，已知82+85+ a8= 9, 838587= 21,求数 列 an 的通项公式.【解析】(1)方法一：数列an是等差数列，设数列an的首 项为 a1，公差为 d,则由题意得 a1 (a1 + 4d) + (a1 + 8d) (a1 + 12d) + (a1+16d)=117， a1 + 8d= 117.从而 a3+a15= (a1+ 2d)+(a1+ 14d)=2(a1+8d)= 234.方法二：由等差数列的性质知, a1+ a17= a5+a13= a3+ a

12、15= 2a9.a a5 + a9 ai3 + ai7 = 117,&= 117,.力3 + ai5 = 2a9= 234.(2) .a2 + a5 + a8 = 9, a3a5a7= 21, a2+ a8= a3 + a7 = 2a5,a5 = 3, a3+ a7= 2a5= 6， a3a7= 7，解得 a3= 1 ， a7= 7 或 a3= 7， a7= 1.又 a7= a3+ 4d,当a3 = 1, a7= 7 时，可得 d= 2;当 a3= 7， a7= 1 时，可得 d= 2.根据 an = a3 + (n 3)d,可得当 a3 = 1, d = 2 时，an = 2n 7;当 a3= 7， d= 2 时， an= 2n+ 13.12. 已知无穷等差数列an中，首项a1 = 3,公差d= 5,依次 取出序号能被 4 除余 3 的项组成数列 bn(1)求 b1 和 b2;求5的通项公式；(3) bn中的第503项是an的第几项？【解析】 数列bn是数列an的一个子数列，其序号构成以 3 为首项，4为公差的等差数列，由于an是等差数列，则bn也是等差 数列.(1) *«a1 = 3， d = 5，an= 3+ (n 1)( 5) = 8 5n.数列an中序号能被4除余3的项是an中的第3项，第7项， 第 11 项，.b = a3 = 7， b2