圆锥曲线问题全攻略

1、圆锥曲线问题全攻略第一、知识储备:1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2) 与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k二ta n，0,二)点到直线的距离dAx0 By0 CA2 B2夹角公式：曲彳雹(3) 弦长公式AB直线 y =kx +b上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB =寸1 +k2 x, -x2=.(1 k2)(x! X2)2 -4x1X2(4) 两条直线的位置关系 12 = Kk2=-1 hl2 二 k1 二 k2且d =b22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)2 2标准方程： =1

2、(m 0,n0且m = n)m n距离式方程：,(x C)2 y2.,(x-c)2 y2 =2a参数方程：x 二acosr,y 二bsin v(2) 、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程： =1(m n ： 0)m n距离式方程：|【(x c)2 y2 - .(x -c)2 y2 | = 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？2 2椭圆：也；双曲线：也；抛物线：2paa、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？2 2如：已知R、F2是椭圆=1的两个焦点，平面内一个动点 M满足MF1 - MF? =2则动点M43的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D 条射线第1页共16页、焦点三

3、角形面积公式：P在椭圆上时，S.Fipf2 =b2tan寸2 日 P在双曲线上时， S f PF2 = b2 cot -(其中.F,PF2 - HCOS J -|PF1 4 ,PF1 PF2 =|PF1 |FPF2 |cos，)| PF, | -| PF21(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a ex0；焦点在y轴上时为a ey°，可简记为 左 加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e| Xo | _a(3)抛物线焦点在x轴上时为|为| ,焦点在y轴上时为| % | 卫2 2(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备1、点差法(中点弦问题

4、)设 A x1, y1、Bx2,y2，M a,b为椭圆=1的弦AB中点则有2 2 2 2 2 2 2 2乞.崔=1, x_.生=1 ；两式相减得至4.上4=0434343-次1 一X2 X1 X2 _ 屮-y y1 y2k 二_至_4_3ab= 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个 参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式厶-0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点乂冷)月化2)，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找至沱们的联系，消去一

5、个，比如直线过焦点，贝冋以利用三点 A、B、F共线解决之。若有向量 的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y = kx b，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x25y2 =80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点 A在y轴正 半轴上)(1 )若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；(2)若角A为900，AD垂直BC于 D,试求点D的轨迹方程分析：第一问抓住"重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC的斜率，从而写出直线 BC的方程。第 二问抓住角A为900可得出AB丄AC,从而得x1x2y1y2-14(y1

6、y2)10，然后利用 联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；2 2 2 24XiViX2 V2解：(1 )设 B ( Xi, Vi),C( X2, V2),BC 中点为(X0,y°),F(2,O)则有一 =1,一 -= 12016 2016两式作差有(jX2)(X1 -X2)(y1 -y2)(y1y2)=0 卫卫=0 (1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由X1冬=2，得x0 =3，由V1 V24 = 0得y0二2，代入(1 )得k = 63 35直线BC的方程为6x 5y - 28 =02)由 AB丄 AC得 x1x2 y1y2 -14(y1 y2) 10(2)设直线 B

7、C方程为 y 二 kx b,代入4x2 5y2 =80，得(4 5k2)x2 10bkx 5b2 - 80 = 02-10kb5b -80X1 X22 , X1x224 +5k4 +5kV18k4 5k22 24b -80k4 5k2代入(2)式得第4页共16页4直线过定点(0，-)，设9所以所求点D的轨迹方程是4yD (x,y )，贝H x_ = 一1，即 9y2 +9x2 _32y _16 = 0xx2 (y -£)2 =(70)2(z4)。99x20 -4、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中 AB =2CD，点E分有向线段AC所成的比为23，双曲线过C D E三点，且以A

8、、B为焦点当才二时，求双曲线离29b - - 32b -1644 5k2=0，解得b =4(舍)或b =-9心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设2 2求得h斗11,进而求得Xe =川必=川，再代入 务-召1，建立目标函数f(a,b,c,)=0，整理a bf (e, 1) =0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略建立目标函数f (a,b,c, ) =0，整理f (e, ) =0 ,化繁为简.2 eh242 e-24T.2 2h-皂 1I21，b 4

9、解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDL y轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记 A(c,0 ), G；,hj，E(xo, y° )，其中的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得c 、斗2“ (九-2上ZhXo，yo :1 2 1 1 c =*|AB |为双曲线设双曲线的方程为冷a2 2b-1，则离心率咗由点C E在双曲线上,将点C、E的坐标和e二E代入双曲线方程得a由式得将式代入式，整理得244 =12'，4，=1e21由题设2 _ . J得，-<1-3343e2

10、 +2 4解得.7乞e乞J0分析：考虑AE , AC为焦半径,可用焦半径公式,AE , AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算,所以双曲线的离心率的取值范围为'；7, .10 12第5页共16页达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,AE = (a+exn AC-cXeAEAC，代入整理“畀，由题设3乙得,解得"乞e 10所以双曲线的离心率的取值范围为I.7, .10 15、判别式法2 2例3已知双曲线C: y_ _2X_，直线I过点A . 2,0，斜率为k，当0 :： k :： 1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线I的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析1:

11、解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析 几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与I平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 厶=0.由此出发，可设 计如下解题思路：I : y 二 k(x .2)0 ： k :：: 1直线I'在I的上方且到直线I的距离为、2I': y =kx 2k22 2k把直线I'的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式尺=0解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为 血”

12、，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：问题关于x的方程kx -、. 2 x2 - 2k=x.'：20 :：: k : 1 有唯第6页共16页J转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M (x, . 2 x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线I的距离为:kxf2+x -v2kk2 1于是，问题即可转化为如上关于 x的方程.由于0 : k : 1，所以2 x2 x kx，从而有kxY2+x2 &2k=-kx 2 x2 亠2k.于是关于x的方程:二 _kx -.-2 x2 .2k = 2(k2 1) 2 _二 (*2 +x2 ) =(j2(k2 +1) 一逅k +k

13、x)2,.2(k21) - . 2k kx 0* _ _ 2二 水2 _1 x2 +2k©'2(k2 +1) _V2kX +C2(k2 +1) 7办)_2 =0, y'2(k2 +1) _*2k +kx >0.由 0 : k ： 1 可知： 2方程 k2 -1x2 2k 2(k2 1 .2k 2(k2 1 .2k -0 的二根同正，故. 2(k21) -、.2k kx 0恒成立，于是 等价于k2 -1 x2 2k . 2(k21) - . 2k x ._2(k21) - . 2k -2=0.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式尺=0 ,就可解得k=?.5点评：

14、上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:和点P(4，1)，过P作直线交椭圆于A B两点，在线段AB上取点Q使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该 想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用 参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何 将x, y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A B、P

15、、Q四点共线，不难得到 4(Xa +xb)2xaXb，要建立x与k的关系，只需将直线 ABx .8 -(Xa +xb )的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中 有数.在得到x = f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y=k（x4）+1解得k=g，直接代入x= f（k ）即可得到轨迹方程。从而简x 4 化消去参的过程。简解：设A x1,y12?y2）,Q（x,y），则由APPBA2可得:QB4 捲 xX!x2 4x2 x解之得：X=4(X1 Xzi

16、g8% +X2)(1)第12页共16页(2)设直线AB的方程为：y =k（x4） 1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一元二次方程:X2x-,x2 =2k2 1x24k(1_4k)x 2(1_4k)2_8=04k(4k -1)-2k2 1 '22(14k) -822k2 1代入（1），化简得：x=.k +2与 y = k(x -4) 1 联立，消去 k 得：2x y - 4 (x - 4) = 0.2-.10 ：.k ：.-10，结合（3 ）可求得44在（2）中，由厶二-64k264k24 . 0，解得16 -2 10 :：: x ：16 2 10故知点Q的轨迹方程为：2x y -

17、4 =0（16 一2 10 ,x ,16 2 10）.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定 理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、 消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法2 2例5设直线I过点P（0，3），和椭圆X +y =1顺次交于A B两点，试求的取值范围.94分析：本题中，绝大多数同学不难得到：塑，但从此后却一筹莫展，问题的根源在于对PBXb题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或 某几个）参数的函数关系式（或方

18、程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的 一个不等关系.分析1：从第一条想法入手，二-丄已经是一个关系式，但由于有两个变量 xA,xB，同时这Xb两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量一一直线AB的斜率k.问题就转化为如何将Xa,Xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元次方程，其求根公式呼之欲出简解1:当直线I垂直于x轴时，可求得APPB当I与x轴不垂直时，设A X" m , B(x2, y2)，直线I的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消解之得X1,2-27k _6.9k2 -59k2 +4因为椭圆关于y轴

19、对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.-27k +6加2 -5x1 :当k 0时,所以27k6*'9k2 59k2 49k2 4-9k +29k2 -5 =118k=18PBx2 9k +29k2 -59k + 29k2 -5J_5kXi9k2 418k去 y 得 9k2 4 x2 54kx 45 = 0所以-(-54k)2 -1809k2 4-0,解得 k=，18 1 =<-，52综上一仁空1.PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源 .由 判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k联系起来.

20、一般 来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于圧乂-乂不PBx2是关于Xi,X2的对称关系式原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于Xi,X2 的对称关系式.简解2:设直线I的方程为：y = kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0（ *）Xi +x2 匚XiX2 -54k9k24459k24令 乂，则，丄 2 二 324k2 .X2'45k20在（* ）中，由判别式厶-0,可得k2 一5，9从而有 4 _ 一36，所以 4 2乞36，解得-'-5 .45k +205丸551结合0 :： 空1得

21、丄一 _1.5综上，-1 一空一 -丄.PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法， 函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部 所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能 决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解 的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达 到解题目标，得出结论的一系列推理过程。

22、在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系 （充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大 脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A, B , O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AFFB=1 , OF =1.(I)求椭圆的标准方程；(n)记椭圆的上顶点为M，直线丨交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为.PQM的垂心？若存在，求出直线丨的方程;若不存在，请说明理由 思维流程：由 AF *FB =1，OF(a c)(a - c) = 1，c = 1a- 2,b =1写出椭圆方程k pqJ y = x + m消元3x2 +4mx +2m2

23、_2 =022小x + 2 y =2由F为PQM的重心 PQ 丄 MF ,MP 丄 FQ两根之和，J T得出关于两根之积*MP FQ = 0一m的方程解出m解题过程：2 2(I)如图建系，设椭圆方程为 $ 气=1(a b 0),则c=1a b又 AF FB = 1 即(a + c) (a c) = 1 = a2 c2a2 = 22故椭圆方程为y 12(n)假设存在直线丨交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则设 P(知 y,Q(X2,y2)，： M (0,1), F (1,0)，故 kpQ =1，工 y = x m22于是设直线丨为y = x m，由 22 得，3x2 4mx 2m2 -

24、2 = 0x + 2 y = 2I T MP FQ = 0 二 X1(X2 T) y2(y1 -1)又 y = Xj m(i 二 1,2)得 x(x2 -1) (x2 m)(x m T) = 0 即2x1x2 (x1 x2)(m T) m2 - m = 0 由韦达定理得2m2 - 2234m2(m -1) m 34-3或心(舍)4经检验m二-符合条件.3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、B(2,0)、C 1,?I 2丿占八、(I)求椭圆E的方程：(n)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意

25、一点，F( 1,0), H(1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标；由 DFH内切圆面积最大转化为 DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点思维流程：由椭圆经过 A、B、C三点一 设方程为 mx2 + ny2 =1一得到m,n的方程解出m, n1SDFH =2周长内切圆lDFH面积最大值为3得出D点坐标为33 解题过程： (I)设椭圆方程为 mx2 + ny2=1(m>0,n>0)将 A(-2,0)、B(2,0)、C(1, )代 ， 2入椭圆E的方程，得4m =1, 1 1 、x2 y2/9 解得m = ,n=.二椭圆E的方程一十一=1

26、 .m n =14343L 41(n) |FH| = 2，设 DFH 边上的高为 S dfh 2 h 二h当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S dfh的最大值为 3 .第11页共16页设厶DFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6所以，S-DFhR 6所以R的最大值为丰所以内切圆圆心的坐标为(°,爭点石成金：1S.的内切圆= < =的周长 r 的内切圆例&已知定点C(_1,0)及椭圆x2 3y2 =5，过点C的动直线与椭圆相交于 A B两点.(I)若线段AB中点的横坐标是一1，求直线AB的方程；2(U)在x轴上是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求

27、出点 M的坐标；若不存在, 请说明理由思维流程：(I)解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线AB的方程为y =k(x 1)，将 y =k(x V)代入 x2 3y2 =5， 消去 y 整理得(3k2 1)x2 6k2x 3k2 5 = 0.设 A(X!，yi)，B(X2，y2)，(1):=36k4 -4(3k2 1)(3k2 -5) 0, 则6k2& X22.3k2 1由线段AB中点的横坐标是一1，得 x 3k 1，解得k三，符合题意<2 2 3k +12- 3所以直线AB的方程为x-、.,3y1=0，或x3y，1=0.(U)解：假设在x轴上存在点M (m,0)，使MA MB为

28、常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知x1 x26$ ， x1x2 = 3k2 5.3k +13k +1所以 MA MB =(% -m)(x2 -m) %y2 = (% - m)(x2 - m) k2(x1 1)(x2 1)= (k2 1)m><2 (k2-m)(X1 X2) k2 m2.将(3)代入， 整 理 得MA MB 二(6m-1)k2 -53k2 1m21214(2 m )(3k2 1)-2m 1333k2 +1m212m 一一一36m 1423(3k1)注意到MA MB是与k无关的常数,从而有6m WO,，此时MA MB 当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标

29、分别为亦有 MA MB =4.综上，在x轴上存在定点M9点石成金：1214(6m 1)k2 52(2m_3)(3k2 1) 2m_ 3?MA MB 邛6 严 5 m2323 m23k2 +13k2+1行町，使MA MB为常数.2小 1 6m 14=m 2m23 3(3k2+1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M( 2，1)，平行 于0M的直线I在y轴上的截距为m(说0)，l交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(U)求m的取值范围；(川)求证直线MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：2 2解：(1)设椭圆方程为笃爲=1(a b 0)

30、a =2b则$ 4厶12 .2 1 £ b解得a2b2二 8=22 2椭圆方程为=18 2a b第15页共16页直线I与椭圆交于A B两个不同点,(E)设直线MA MB的斜率分别为k1,k2，只需证明k1+k2=0即可(n)v直线|平行于om且在y轴上的截距为m又Ko=!. l的方程为：y m2 2、 2设 A(xyj, B(X2, y2),且捲x? = -2口公凶=2m -4y tx2 2由 x2 ' 2mx 2m2 -4 二 0可得2x1 x2-2m, x1x 2m -4而 k1k2 =% -1y2 -1x1 -2 x2 -2(y -1)-区 -2)仏") -2

31、)(X! 2)(X2 2)(lx! m-1)(X2 -2) (1x2 m 1)(xi 2)(X1 - 2)(x2 - 2)%x2 (m 2)(x-, x2) -4(m -1)(x1 -2)(x2 - 2)2m2 -4 (m _2)(_2m) _4(m _ 1)(x1 -2)(x2 -2)2 22m -4 -2m4m -4m 40 (% -2)(X2 -2).匕 k2 =0故直线MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线MA MB与 x轴始终围成一个等腰三角形二k1 k 0例10、2已知双曲线x2a2_ yb2=1的离心率 卄红3，过A(a,0),B(0,-b)的直线到原点的距离是3

32、 .32(1)求双曲线的方程;已知直线(2) 的值思维流程:y二kx5(k=0)交双曲线于不同的点 C, D且C, D都在以B为圆心的圆上，求k解：T( 1)原点到直线AB x的距离d二abab故所求双曲线方程为X 22Vy2 i.(2)把 y = kx ' 5代入 x2_3y2 = 3中消去y,整理得2 2(1 -3k )x -30kx-78 = 0 .设 C(x“ yj,。区,y2),CD 的中点是 Egy。)，则X。x1x215 kk BE2y。1X01 - 3k 21y。二 kx 0521 - 3kX0 ky0 k = 0,即工1 - 3k1 - 3k2第16页共16页故所求k

33、=± ,7 .点石成金：C , D都在以B为圆心的圆上二 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；BC=BD BEL CD;x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3,(II )若直线I ：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.思维流程:2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为 笃a由已知得：a，c=3, a'C=1 ,a = 2, c = 1,.b a -c 32yT2=1(a b 0),b2 2椭圆的标准方程为-=1 .43(II)设 A

34、(X1, yj, B(X2, y2).Ty = kx m,联立x2 y2彳i十丄一 =143.得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 -3) =0,占=64m k _16(34k )(m _3) >0,即 3+4k -m >0, x +x _ 8mkI 1 23+4k2'4( m2 J)X1X22 .1 23 4k22 2223(m -4k2)又 y1y2 =(kx., m)(kx2 m) = k x-|X2 mk(x-i x2) m2 -3 + 4k因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，yiy2kADkBD = -1，即21 .y2 X1X2 - 2(X1 X2) 4 = 0 .X1 2 X2 22 2 23(m4k ) 4(m -3) 15mk22二2+2 十 2+4=0 . 二 7m +16mk+