专题二：与直线形中几何量相关问题

1、专题二：与直线形中几何量相关问题（一）求角的度数1（2008北京市中考）24在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；1Oyx2344321-1-2-2-1（3）连结，求与两角和的度数解：（1）（2）（3）参考答案：24解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，设直线的解析式为在直线上，解得直线的解析式为1分抛物线过点，解得抛物线的解析式为2分1Oyx2344321-1-2-2-1PEBDACF图1（2）由可得，可

2、得是等腰直角三角形，如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，过点作于点可得，在与中，解得点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或5分（3）解法一：如图2，作点关于轴的对称点，则连结，1Oyx2344321-1-2-1BDACF图2可得，由勾股定理可得，又，是等腰直角三角形，1Oyx2344321-1-2-2-1BDACF图3即与两角和的度数为7分解法二：如图3，连结同解法一可得，在中，在和中，即与两角和的度数为7分2（2010西城一模）25如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC yOABC11x（1）求证：ABC是等边三角形；（2）点

3、P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP若CP6，直接写出AEP的度数；若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度 EC与AP于点F，设AEF的面积为S1，CFP的面积为S2，yS1S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式参考答案：xOABC1PE图10y125（1）证明：如图10，一次函数的图象与x轴交于点A（3,0），B（0, ）C（3,0）OA

4、OC又y轴AC，ABBC在RtAOB中， BAC=60°.ABC是等边三角形.2分图9xOABCy11PHDMG（2）答：AEP=120°3分解：如图9，连结DC，y轴垂直平分AC，ABC是等边三角形，DA=DC，BDABDC，DBP=30°BDH=60°DH垂直平分CP， DC=DP DADCDP. 5分在CDP中，CDH=PDH，BDH=BDCCDH=60°ADB=ADCPDC120°6分（3）作PGx轴于点G， 在RtPGC中，PC= t，在RtBDH中，又yS1S2，（S1SACM）（S2SACM）， SDACSPACSDAC

5、=，SPAC=y（t>0）7分（二）三角形的面积3（2010通州一模）25在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标.（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标.（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使PBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积.（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.参考答案：25解：（1）.(2分)（2） .(3分)（3）过点P作y轴的

6、平行线与BF交于点M,，与轴交于点H易得F（-2，3），直线BF解析式为设P（x，），则M（x，x1）， .(4分)PMPM的最大值是. .(5分)当PM取最大值时的面积最大 PFB的面积 .(6分)（4）如图，当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则H（R-1，R），代入抛物线的表达式，解得.(7分)当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则H（r-1，-r），代入抛物线的表达式，解得 圆的半径为或 .(8分)4（2011大兴一模）25如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，点B在x轴的负半轴上，ABO=30°.（1）求过点A、O、B的抛

7、物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把AOB分成两个三角形使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案25.解： （1）过点A作AFx轴于点F，ABO=30°，A的坐标为（1，）， BF=3 . OF=1 , BO=2 . B(-2,0).设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得， 2分（2）存在点C.过点A作AF垂直于x

8、轴于点F，抛物线的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小. BCEBAF, .C（，）4分（3）存在. 如图，连结AO，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则 ， 直线AB为， = |OB|P|+|OB|D|=|P|+|D| =.SAOD= SAOB-SBOD =-×2×x+=-x+. =. x1=- , x2=1(舍去).p(-,-) .又SBOD =x+, = .x1=- , x2=-2.P(-2,0)，不符合题意. 存在，点P坐标是（-，-）. 8分（四）四边形的面积5（2011海淀一模）24已知平面直角坐标系xOy

9、中, 抛物线与直线的一个公共点为. （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.24解：（1）由题意，可得及，解得，所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为.2分 （2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则 所以，当时，的长度取得最大值为4. 4分（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所

10、以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得 即 解得 ，易得 ，所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）. 5分如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.所以，梯形AOMN的面积. 7分6（2011西城区一模）24如图1，平面直角坐标系xOy中，A，B将OAB绕点O顺时针旋转a角（0°a90°）得到OCD（O，A，B的对应点分别为O，C，D），将OAB沿轴负方向平移m个单位得到EFG（m0，O，A，B的对应点分别为E，F，G），a，m的值恰使点

11、C，D，F落在同一反比例函数(k0)的图象上（1）AOB= °，a= °；（2）求经过点A，B，F的抛物线的解析式；（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF上方的点P的坐标参考答案：24解：（1）AOB= 30 °，a= 60 °2分（2） A，B，OAB绕点O顺时针旋转a角得到OCD，（如图7） OA=OB=OC=OD=4由（1）得 点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为 点C，

12、D，F落在同一反比例函数（k0）的图象上， 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到， ，点F的坐标为3分 点F与点A关于y轴对称，可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为 解得 所求抛物线的解析式为 4分（3）满足条件的点P的个数为 5 5分 抛物线的顶点为 EFG是由OAB沿轴负方向平移m个单位得到， ，FEG=AOB=30° 点E的坐标为可得直线EF的解析式为 点H的横坐标是方程的解，整理，得解得 点H的坐标为由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为6分可知AFM是等边三角形，MAF= 60°由A，M两点的坐标分别为A，可得直线AM的解析式为过点H作直线AM的平行线l，设其

13、解析式为（b8） 将点H的坐标代入上式，得 解得，直线l的解析式为 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程 的解整理，得解得 点满足，四边形的面积与四边形MFAH的面积相等（如图8）7分 点关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为8分综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为，7（2011顺义一模）25 已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点的坐标为（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）设点是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形面积相等的四边形的点的坐标；（3）求的面积参考答案：25.解：（1）抛物线与轴交于点，与轴交于 解得 抛物线的解析式为 -1分 顶点的坐标为（ 1 ，4）