小学排列组合

1、排列组合阂视箫胸一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法, 就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地，从个不同的元素中取出，(，工)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从，?个不同元 素中取出加个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如 果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排 列顺序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从个不同的元素中取出小(山工

2、)个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出 切个元素的排列数，我们把它记做根据排列的定义，做一个?元素的排列由次个步骤完成：步骤1:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法：步骤2：从剩下的(-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(-1)种方法：步骤，：从剩下的个元素中任取一个元素排在第，个位置，有1) = -? + 1 (种) 方法；由乘法原理,从个不同元素中取出机个元素的排列数是小5-D,5-2)5-?+ 1),即 ?”=(-1)(-2)(-川+ 1),这里，且等号右边从开始，后而每个因数比前一个因数小1, 共有加个因数相乘.二、排列数一般地，对于机=的情况，排列数

3、公式变为1),5 2)3-2-1.表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数.这种个排列全部取出的排列，叫 做个不同元素的全排列.式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小1, 一直乘到1的乘积, 记为!,读做的阶乘，则疗还可以写为：匕"=加，其中! = ( -1)(-2) 3-2-1 .在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将 这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算.三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参 五年级奥数.计数综合.排列组合Page 4 of 10

4、加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分 组方法的问题.一般地，从个不同元素中取出机个（,4）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从，?个不 同元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素 完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不 同的组合.从，?个不同元素中取出机个元素（三加的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出加个不同元 素的组合数.记作C；.一般地，求从个不同元素中取出的卅个元素的排列数郡可分成以下两步：第

5、一步：从，个不同元素中取出?个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的?个元素进行全排列，共有成种排法.根据乘法原理，得到琛=C'； x P；.因此，组合数制=9=上"瞥二冬（一一P；：w-（/h-1）-（;m-2）一3x2x1这个公式就是组合数公式.四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：=，；-”'（/工）这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出“个元素组成一组的所有分组方法.C7”表示从 个元素中取出（-?）个元素组成一组的所有分组方法.显然，从个元素中选出?个元素的分组方法 恰是从个元素中选，个元素剩下的（-?）个元素的分组方法.例如，从

6、5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C；=C>规定C；=l，c； = i.五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求： 所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到1 个物体，不能有没分到物体的组出现.在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变 形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法.六、使用插板法一般有如下三种类型： 小个人分个东西，要求每个人至少有一个.这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的五年级奥数.计数综合.排列组

7、合Page 4 of 10(-D个空隙中放上(L1)个插板，所以分法的数目为 小个人分个东西，要求每个人至少有。个.这个时候，我们先发给每个人3-1)个，还剩下 n-m(a-l)个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了.所以分法的数目为一”“。-1)一| ?个人分个东西，允许有人没有分到.这个时候，我们不妨先借来小个东西，每个人多发1个，这 样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了5+，)个，因此分法的数目为工_1 .便施隔窗例1 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间 有多少种不同的排法？【巩固】4男2女6个人站成一排合影留念，

8、要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？【例2】 将A、B、C、。、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生8与C必须相邻.请问共有多 少种不同的排列方法？【巩固】6名小朋友A B、C、D、E、F站成一排，若A, 3两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若4 3两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？例3书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果 同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排 法？【巩固】四年级三班举行六一儿童节联欢活动.整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成.请问: 如果要求同类型的节目连续演出，

9、那么共有多少种不同的出场顺序？【例4】8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法?【巩固】”，b, c, d, e五个人排成一排，“与b不相邻，共有多少种不同的排法?例5 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈日目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序?【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一令晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开 始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【例6】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有

10、多少种不同的吃法?【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法?【巩固】有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有 种吃法.例7 10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着.请问一共有多少种不同的放法?【巩固】将13个相同的苹果放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有 种不同的放法°【例8】 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法?【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校 演出行目数的不同情况共有多少种？【例9】(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，

11、8天吃完，共有多少种不同吃法？(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?【巩固】有1。粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法?【例10马路上有编号为1, 2, 3,，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只 灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯 方法有多少种？【巩固】学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏 灯，但两端的灯不能熄火，也不能熄火相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？【例11】在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少?【巩固】

12、大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?例12所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个?【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？但邕检蒯【随练1】某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女 少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？【随练2】把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法?【随练3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个?【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。【作业2】学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法?【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有 个。【作业4】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生.某次比赛后他们站成一排照相，