第二章不等式学生版

1、第二章 一元二次不等式第三讲 基本不等关系【知识整合】1. 导入在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。例如：（1）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？（2）某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册。经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？2. 不等式的有关概念2.1 用不等号（<、>、）表示不等关系的式子叫不等式，记作fx>gx

2、,f(x)g(x)等。2.2 关于ab的含义不等式“ab”的含义是“或者a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b”，即若a>b或者a=b之中有一个正确，则有ab正确。3. 实数的特征与实数比较大小3.1 实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即aRa20；（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。3.2 实数比较大小的依据和方法（1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图1），可以看出a、b之间具有以下性质：如果a-b是正数，那么a>b；

3、如果a-b是负数，那么a<b；如果a-b等于零，那么a=b，反之也成立，从而a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b。（2）实数比较大小的基本方法：作差法，即a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b。作商法，即a、b>0,ab>1a>b；a、b<0,ab>1a<b例1 已知a+b>0，则有ab2+ba2与1a+1b的大小关系是 4. 不等式的性质（1）a<bb>a（对称性）；（2）a>b,b>ca>c（传递性）；（3）a>ba+c>b

4、+c（可加性）；（4）a>b,c>da+c>b+d（同向相加原理）；（5）a>b,c>0ac>bc而a>b,c<0ac<bc；（6）a>b>0,c>d>0ac>bd；（7）a>b>00<1a<1b；例2 适当增加不等式条件使下列命题成立。（1）若a>b，则acbc；（2）若ac2>bc2，则a2>b2；（3）若a>b，c>d 则ad>bc；例3 若0<<,-4<<4，求-的范围例4 如果15<x<25,10<y

5、<30，求xy的取值范围5. 不等式的解法5.1 绝对值不等式的解法（1）fx>gxf2x>g2(x)；（2）fx>gx（gx>0）fx>gx或fx<-g(x)；（3）fx<gxgx>0-gx<fx<g(x)；（4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值号求解，也可用图像法求解。例5 不等式2x-1-x-2<0的解集为 5.2分式不等式的解法（1）f(x)g(x)0fx0gx>0或fx0gx<0f(x)g(x)0g(x)0（2）f(x)g(x)>0fx>0gx>0或f

6、x<0gx<0 fxgx>0f(x)g(x)<0fx>0gx<0或fx<0gx>0 fxgx<0例6 求下面不等式的解集1. 0 2. 30【典例精析】1. 如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（ ）A. -a-b<1 B. a2>ab C. 1b2<1a2 D. 1a<1b2. 在下列命题中，正确的命题是（ ）A. 若a>b，则a2>b2 B. 若a2>b2，则a>bC. 若a>|b|，则a2>b2 D.若a>b，则a2>b23. 已知-1<a+

7、b<3且2<a-b<4，求2a+3b的取值范围4. 设fx=px2+qx且2f(-1)4，4f(1)6，求f(-2)的取值范围5. 若a>b>0,c<d<0,e<0，求证：ea-c>eb-d。6. 求下面不等式的解集（1） 3 （2） 17. 不等式1|2x-3|>2的解集为 x|54<x<74且x32 8. 用锤子以均匀的力量敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度，后一次为前一次的1k(kN*)。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长

8、的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组是 9. 若关于x的不等式2x-1>a(x-2)的解集是R，则实数a的取值范围是（ ）A. a>2 B. a=2 C. a<2 D. A不存在10. 解关于x的不等式a(x-1)x-2>1【重点题型强化】1. 下列命题中正确的是（ ）A. 不等式1|x|>1与不等式x<1同解B. 不等式1|x|<1与不等式x2>1同解C. 不等式1x>x与不等式x2<1同解D. 不等式1x<x与不等式x2>1同解2. 若不等式3x-b<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为 3.

9、 设fx=ax2+bx，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的取值范围4. 不等式x+1+2x-1<6的解是 5. 若a+1>0，则不等式xx2-2x-ax-1的解集为 6. 解关于x的不等式：x-1x-2>1a。7. 若q<0<p，则不等式q<1x<p的解集为（ ）A. x|1q<x<1p且x0 B. x|x<1q或x>1pC. x|-1q<x<-1p且x0 C. x|1p<x<-1q8. 不等式ax-1x>a(aR+)的解是（ ）A. x|x>1a B. x|x<12aC.

10、x|12a<x<1a C. x|x<0或0<x<12a9. （1）解关于x的不等式x+2k>1+x-3k2（其中kR,k0）（2）若上述不等式的解集是x(3,+)，求k的值（3）若x=3在上述不等式的解集中，试确定k的取值范围10. 若p1、p2、q1、q2都是正数，且有a<p1q1<b,a<p2q2<b，求证：a<p1+p2q1+q2<b第四讲 一元二次不等式的解法【知识整合】1. 复习回顾在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢?我们共同来看下面问题：y2x7 其部分对应值表x22

11、.533.544.55y3210123图象：（如图1）填表：当x 时，y0，即2x70当x 时，y0，得2x70当x 时，y0，得2x70 图12. 新课2.1 一元二次不等式的一般解法。下面我们用类似的方法来研究一元二次不等式的解法。观察图2，我们发现，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图像（抛物线）位于x轴上方的点所对应的x值得集合。因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x轴交点的横坐标，再根据图像写出不等式的解集。图2 图3下面我们求解不等式x2-7x+12<0。第一步：解方程x2-7x+12=

12、0，得x1=3,x2=4；第二步：画出抛物线y=x2-7x+12的草图（如图3）；第三步：根据抛物线的图像，可知x2-7x+12<0的解集为x|3<x<4。上例表明，根据抛物线及它与x轴的交点，就可以确定相应的一元二次不等式的解集。例1 解不等式：-x2-2x+30 对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），我们有：判别式=b2-4ac>0=0<0方程ax2+bx+c=0的根有两个相异实根x1,x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=-b2a没有实根二次函数y=ax2+bx+c的图像ax2+bx+c>0的解集ax2+bx+

13、c<0的解集例2 解下列不等式：(1) 2x2-5x+3<0； (2) 3x2-x-4>0。2.2 x+ax+b>0,(x+a)(x+b)<0的解法探讨例3 1.（x4)(x1)0 2.(x4)(x1)03.x(x2)8 4.(x1)23(x1)40此题组题目可以按上节课的解法解决，但若我们能注意到题目1、2不等式左边是两个x的一次式的积，而右边是0，不妨可以借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化并求出结果。2.3 含参数的不等式解法的探究1.解不等式x2(a2a)xa202.不等式1的解集为x|x1或x2，求a.【典例精析】1. 不等式x-1(x-3)>

14、;0的解集为（ ）A. x|x<1 B. x|x>3C. x|x<1或x>3 C. x|1<x<32.已知不等式-x2+2x+3>0的解集为A，不等式x2+x-6<0的解集是B，不等式x2+ax+b<0 的解集是AB，那么a+b等于（ ）A. -3 B. 1 C. -1 D. 33. 解不等式（1） 2x23x20 （2）3x26x24. 求不等式x22x150(xR)的解集5. 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是x|x<-2或x>-12，求ax2-bx+c>0得解集。6. 若不等式0对一切x恒成立，求实

15、数m的范围.7. 解关于x的不等式：x2（mm2）xm308. 讨论：x是什么实数时，函数y=-x2+5x+14的值是：（1）0； （2）正数； （3）负数。9 用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？10. 解关于x的不等式3x2-mx-m>0【重点题型强化】1. 解不等式 （1） 4x24x10 （2）x22x302. 下列不等式中，与不等式x-32-x0同解的是（ ）A. x-3(2-x)0 B. 0<x-21C. 2-xx-30 C. x-32-x>03. 设不等式ax2bxc0的解集是xx(0，求不等式cx2bxa0的解集.4. 解关于x的不等式：x2（mm2）xm305. 解关于x的不等式ax22（a1）x406. 某小型服装厂生产一种那个风衣，日销量x件与货价p元/件之间的关系p=160-2x，生产x件所需成本为C=500+30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？7. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才会停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两