非线性磁悬浮转子系统的稳定性分析

1、非线性磁悬浮转子系统的稳定性分析1李娜1,鲍文博1,王凤翔 21沈阳工业大学工程力学研究所,沈阳 (110023 2沈阳工业大学电气工程学院,沈阳(110023摘 要:通过数值分析方法研究某非线性磁悬浮转子的稳定性问题。根据磁力轴承的工作原理,考虑系统非线性因素的影响,建立了刚性磁浮轴承转子系统动力学模型和空间状态方程,用数值积分法对其进行分析,得到了该系统在某些参数域中的波形图、相图以及轴心轨迹,直观显示了系统在某些参数域中的稳定运行状态。分析结果表明该磁悬浮转子系统在60000r/min 转速和一定的偏心量范围内处于稳定运动状态。 关键词:磁悬浮转子;非线性:数值积分法;稳定性 中图分类号

2、: O347.61.引言磁悬浮轴承转子系统是非线性的系统1-8。但是为分析简单起见,有关学者往往忽略非线性因素的影响。然而,对于高速磁悬浮轴承-转子系统,采用线性化的电磁力形式,往往不能获得满意结果,系统稳定性较差,因此必须考虑系统中的非线性因素对系统行为的影响9-10。文献11分析了高转速下磁浮转子系统的非线性动力特性,随着转速升高,系统将在临界转速处产生Hopf 分岔,平衡点解失稳为极限环周期解。文献12采用了延续PNF 法研究不同模型及参数下油膜轴承-转子系统的动态分岔特性。本文主要是通过非线性理论和数值方法对一磁悬浮转子系统的稳定性进行分析,得到了系统在某些参数域中的波形图、相图以及轴

3、心轨迹,从而直观显示了系统在某些参数域中的稳定运行状态。2. 磁悬浮转子系统的动力学模型2.1 非线性电磁力由电磁学的基本理论,每一磁极的X 、Y 电磁力13可表示为:222000000004y y y I i i I i i A N C Y C Y F µ+=+(12220000004x x x A N I i I i F C X C X µ+=+(2 式中,µ0为真空磁导率;A 0为气隙横截面积;N 为线圈匝数;I 0为偏磁电流;C 0空气气隙;i 0为平衡转子自重所需要施加的静态控制电流;i y 为动态控制电流。将式(1(2用Taylor 级数在平衡点展开,

4、并忽略高次项得:2y yi yy iy yy F k i k Y k iY k Y =+ (3x xi xx F k i k X =+ (41本课题得到国家自然科学基金重点项目“微型燃气轮机-高速发电机分布式发电与能量转换系统研究”( 项目编号:50437010的资助。2.2转子运动状态方程 图1磁悬浮轴承的结构简图Fig.1 Structural sketch of magnetic suspended bearing图1为磁悬浮轴承的结构简图。定子有8个均匀分布的磁极,假定所有磁极有相同的结构参数。为简中起见,考虑水平放置的转子系统。转子的运动微分方程为.211.211cos sin x

5、y m X F me tmY F me t +=+=(5 式中,m 为转子总质量的一半,e 1为转子质量偏心,1为转子旋转角速度,F x 、F y 为作用 在转子上的x 、y 向的悬浮力。上式中的F x 、F y 为非线性电磁力,考虑转子正常工作范围保持在平衡点(X =0. I =0附近,将式(3式(4代入式(5,并综合考虑PD 控制策略,得则系统的运动微分方程为(=+=+sin(cos(121121211t me Y K k k Y k K k Y Y K k Y K k Y m t me X k K k X K k X m p iy yy yy p yi d iy d yi xx p xi

6、 d xi &&&&&&& (6其中222222000000000032302220000000000234000(,23,xx xi yy yi iyyy A N I A N I A N I i k k k C C C A N I A N i A N I i k k k C C C µµµµµµ+=引入以下无量纲因子11,d d x t dt dt= =即010101011,X C x Y C y X C x Y C y =&&&&&&a

7、mp;&&&&&&则系统的无量纲化运动微分方程为=+=+sin cos 2242312112211e y k y k y y k y k y e x k x k x y y y y x x &&&&&&& (7 其中1x k = 02(xi p xx x C k K k k mg+=,1y k =,2y k =03(yi p yy y C k K k k mg+=,204(yy iy p y C k k K k mg+=引入相应的状态空间变量1234Tx x x x xy x y=&

8、& 则系统的状态方程为231e x k x k x x k x k y x e x k x k x x x xx x y y y y x x &&&&&&&& (8 3. 数值分析结果轴承转子系统的主要参数及PD 控制参数见表1。表1 系统参数值 Tab.1 System parameters参数名 参数值 参数名 参数值 磁极面积A 0 6.594×10-4m 2 线圈匝数N 180匝 径向气隙C 0 4.5×10-4m 偏置电流I 0 2A 磁导率µ0 4×10-7NA -2转子

9、质量m 1.5kg 比例系数K p2.5微分系数K d0.01用Lung-Kutta 法求解方程(8,分别得到无量纲因子在=1000 时系统的时域波形、轨迹图以及相图。以上条件下的转子转速为60000转/分。数值结果分析如下:(1图2为波形图,可以看出在无量纲偏心e =0.1时无量纲振幅均在-4.2e-44.2 e-4范围内,保证了系统在许可范围0.045mm 内稳定悬浮。 (ax向波形图(by向波形图图2波形图Fig.2 Wave-shape figures(2图3为磁浮轴承转子系统轴心运动速度图,反映了轴心的运行的速度性态。 (ax向速度图(b y向速度图图3速度图Fig.3 Speed

10、figures(3图4和图5分别是磁悬浮转子系统的轴心轨迹图和空间波形图。 图4 轴心轨迹图图5 空间波形图Fig.4 Tracks of the crankshaft figure Fig.5 Spacial wave-shape figure(4图6为磁悬浮转子系统的相图,可以看出相图上出现了极限环,表明此时系统处在周期运动状态。图7为磁悬浮转子系统的空间相图。 (ax向相图(b y向相图图6相图Fig.6 Phase figure (ax向空间相图(by向空间相图图7 空间相图Fig.7 Spacial phase figure4. 结论运用非线性理论和数值分析的方法对磁悬浮转子系统进行分析,较好的反映了系统在参数域中的运行状态。同时数值分析结果表明,系统在60000r/min的转速下,当偏心量在0.045mm范围内转子系统处于稳定的运转状态。参考文献1 LU Yan-jun,YU Lie, etal. Complex nonlinear behaviors of a rotor dynamical system with non-analytical journal bearing supportsJ. Journal of Shanghai Univers