值域求法--数形结合法等

1、本文格式为word版，下载可任意编辑值域求法-数形结合法等 函数值域求法小结 一、观看法（依据函数图象、性质能较简单得出值域(最值)的简洁函数） 1、求 2 42- + - = x y 的值域。 由肯定值函数学问及二次函数值域的求法易得：) ) ¥ + - Î ¥ + Î - + - = , 2 , , 0 2 4 ) (2y x x g 所以 2、求函数11 1yx=+ +的值域。 分析：首先由 1 x+ ³ 0，得 1 x+ +1 ³ 1，然后在求其倒数即得答案。 解： 1 x+ ³ 0 1 x+ +1 ³ 1

2、， 11 1 x+ +£ ， 函数的值域为（， 法 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数 ) 4 , 0 ( 4 22Î + - - = x x x y 的值域。 设： ) 0 ) ( ( 4 ) (2³ + - = x f x x x f 配方得： ) 4 , 0 ( 4 ) 2 ( ) (2Î + - - = x x x f 利用二次函数的相关学问得 4 , 0 ) ( Î x f ，从而得出： 2 , 2 - Î y 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式

3、等类型时要留意函数本身定义域的限制，本题为： 0 ) ( ³ x f 。 2、求函数3 42- + -=x xe y 的值域。 解答：此题可以看作是ue y = 和 3 42- + - = x x u 两个函数复合而成的函数，对 u 配方可得：1 ) 2 (2+ - - = x u ，得到函数 u 的最大值 1 = u ，再依据ue y = 得到 y 为增函数且 0 > y 故函数3 42- + -=x xe y 的值域为： , 0 ( e yÎ 。 3、若 , 4 2 = + y x 0 , 0 > > y x ，试求 y x lg lg + 的最大值。

4、 本题可看成一象限动点 ) , ( y x p 在直线 4 2 = + y x 上滑动时函数 xy y x lg lg lg = + 的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：2 ) 1 ( 2 lg ) 2 4 ( lg lg lg lg ), 2 , 0 ( ), 4 , 0 (2+ - - = - = = + Î Î y y y xy y x y x 而，y=1 时， y x lg lg + 取最大值 2 lg 。 三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易 反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可

5、以利用"原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域'这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数12+=xxy 的值域。 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 x，从而便于求出反函数。 12+=xxy 反解得yyx-=2即xxy-=2 故函数的值域为： ) , 2 ( ) 2 , ( +¥ -¥ Î u y 。（反函数的定义域即是原函数的值域） 2、求函数11+-=xxeey 的值域。 解答：先证明11xxeey-+= 有反函数，为此，设2 1x x < 且 r x x 

6、06;2 1 ,， 0) 1 )( 1 (211112 12 122112 1<+ +-=+-+-= -x xx xxxxxe ee eeeeey y 。 所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：xxy-+-=111ln 。此函数的定义域为) 1 , 1 (- Î x ，故原函数的值域为 ) 1 , 1 (- Î y 。 四 、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0 ) ( ) ( ) (2= + + y c x y b x y a 的形式，再利用判别式加以推断） 1、求函数3 27 4 222+ +- +=x xx xy

7、的值域。 由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为： 7 4 2 3 22 2- + = + + x x y xy y x 整理得： 0 7 3 ) 2 ( 2 ) 2 (2= + + - + - y x y x y 当 2 ¹ y时，上式可以看成关于 x 的二次方程，该方程的 x 范围应当满意 0 3 2 ) (2¹ + + = x x x f 即r xÎ 此时方程有实根即 0 ³ ， . 2 ,29 0 ) 7 3 )( 2 ( 4 ) 2 ( 22- Î Þ ³ + - -

8、 - = y y y y 留意：判别式法解出值域后肯定要将端点值（本题是29, 2 - = = y y ）代回方程检验。 将29, 2 - = = y y 分别代入检验得 2 = y 不符合方程，所以 ) 2 ,29- Î y 。 2、求函数2 212+ +=x xxy 的值域。 解答：先将此函数化成隐函数的形式得： 0 1 2 ) 1 2 (2= - + - + y x y yx ，(1) 这是一个关于 x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式0 ) 1 2 ( 4 ) 1 2 (2³ - - - = d y y y ， 解得：2121&#

9、163; £ - y 。 故原函数的值域为： , 2121- Î y 。 五、换元法（通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数 x x y 4 13 3 2 - + - = 的值域。 由于题中含有 x 4 13 - 不便于计算，但假如令： x t 4 13 - = 留意 0 ³ t 从而得：) 0 ( 32134132 2³ + -= -= t ttytx 变形得 ) 0 ( 8 ) 1 ( 22³ + + - = t t y 即： 4 , (-¥ Î y 留意：在使

10、用换元法换元时肯定要留意新变量的范围，否则将会发生错误。 2、已知 ) , ( y x p 是圆 42 2= + y x 上的点，试求 xy y x t 32 2- + = 的值域。 在三角函数章节中我们学过： 1 cos sin2 2= ¶ + ¶ 留意到 42 2= + y x 可变形为：1 )2( )2(2 2= +y x令 , 0 , sin2, cos2Î ¶ ¶ = ¶ =y x2p)则¶ - = ¶ ´ ¶ ´ - = 2 sin 6 4 sin 2 cos 2 3 4

11、t 4 , 0 2 Î ¶ 又 p)即 1 , 1 2 sin - Î ¶ 故 10 , 2 - Î t 3、试求函数 x x x x y cos sin cos sin + + = 的值域。 题中消失 x x sin cos + ，而 x x x x x x cos sin 2 1 ) cos (sin , 1 cos sin2 2 2+ = + = + 由此联想到将 x xsin cos 视为一整体，令 2 , 2 cos sin - Î + = x x t 由上面的关系式易得21cos sin cos sin 2 122-= &

12、#222; + =tx x x x t 故原函数可变形为： 2 , 2 1 ) 1 (21, 2 ) 1 ( 2 ) 2 , 2 (212 22- Î - + = - + = - Î-+ = t t y t y ttt y q 即 221, 1 + - Î y 六、数形结合法（对于一些能够精确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数xxycos 2sin 3-= 的值域。 分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 1 21 2x xy yk-= ，将原函数视为定点(2，3)到动点 ) si

13、n , (cos x x 的斜率，又知动点 ) sin , (cos x x 满意单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观看易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得： 33 2 6,33 2 6+ -Î y 2、求函数 1 3 y x x = - + - 的值域。 分析：此题首先是如何去掉肯定值，将其做成一个分段函数。 2 4, ( ,1,2, (1,3),2 4, 3, ),x xy xx x- + Î -¥ ìï= Îíï- Î +¥

14、38; 在对应的区间内，画出此函数的图像，如图 1 所示，易得出函数的值域为 ) , 2 +¥ 。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：ab b a ab b a 2 , 22 2³ + ³ + ），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要 使最终的乘积结果中不含自变量 ，同时，利用此法时应留意取 = 成立的条件。） 1、当 0 > x 时，求函数248 ) (xx x f + = 的最值，并指出 ) (x f 取最值时 x 的值。 因 为2 244 448 ) (xx xxx x f + + = + = 可 利

15、用 不 等 式33 abc c b a ³ + + 即 ：3244 4 3 ) (xx x x f × × × ³ 所以 12 ) ( ³ x f 当且仅当244xx = 即 1 = x 时取"='当 1 = x 时) (x f 取得最小值 12。 2、双曲线 12222= -byax的离心率为1e ，双曲线 12222= -axby的离心率为2e ，则2 1e e + 的最小值是（）。 a 2 2 b4 c2 d 2 依据双曲线的离心率公式易得：bb aab ae e2 2 2 22 1+= + ，我们知道 xy

16、y x 2 ³ +图1y=-2x+4y=2x-4yx4o23 1 所以abb ae e2 22 12+³ + （当且仅当bb aab a2 2 2 2+=+时取"='）而 ab b a 22 2³ +故 2 22 1³ + e e （当且仅当 b a = 时取"='） 2 2 ) (mi n 2 1= +e e 所以 。 说明：利用均值不等式解题时肯定要留意"一正，二定，三等'三个条件缺一不行。 3、求函数12+=xxy的值域。 解答： 2 11112³ + + = =+ +x xxx y

17、，当且仅当 1 = x 时 = 成立。故函数的值域为) , 2 +¥ Î y 。 此法可以敏捷运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。 4、求函数12 22+ +=xx xy的值域。 解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出 ) 1 ( + x 项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，方法是设：2 2 ) )( 1 (2+ + = + + + x x c b x x ， 将上面等式的左边绽开，有： ) ( ) 1 (2c b x

18、b x + + + + ， 故而 2 1= + b ， 2 = +c b 。 解得 1 = b ， 1 = c 。 从而原函数1111 ) 1 )( 1 () 1 (+ + + + + = =x xx xx y ； )当 1 - > x 时， 0 1> + x ， 011>+ x，此时 2 ³ y ，等号成立，当且仅当 0 = x 。 )当 1 - < x 时， 0 ) 1 ( > + - x ， 011> -+ x，此时有211) 1 (11) 1 (11 ) 1 )( 1 (- £úûùê

19、35;é+- + - - =+ + =+ + +=xxxxxx xy ， 等号成立，当且仅当 2 - = x 。 综上，原函数的值域为： ) , 2 2 , ( +¥ È - -¥ Î y 。 ） 八、部分分式法（分别常数法）（分式且分子、分母中有相像的项，通过该方法可将原函数转化为为 ) (x f k y ± = ( 为 k 常数)的形式） 1、求函数122+ -=x xx xy 的值域。 观看分子、分母中均含有 x x -2项，可利用部分分式法；则有 43)21(1111 11 22222+ - =+ - + -=+ -=xx x

20、x xx xx xy 不妨令：) 0 ) ( () (1) ( ,43)21( ) (2¹ = + - = x fx fx g x x f 从而 ) ¥ +êëéÎ ,43) (x f 留意：在本题中应排解 0 ) ( = x f ，由于 ) (x f 作为分母。所以ççèæúûùÎ43, 0 ) (x g 故 ) 1 ,31êëé -Î y 2、如对于函数2 31-=xxy ，利用恒等变形，得到：) 2 3 ( 3

21、1312 331) 2 3 (31- =- -=x xxy ， 简单观看得出此函数的值域为 ) , ( ) , (3131+¥ È -¥ Î y 。 留意到分时的分子、分母的结构特点，分别出一个常数后，再通过观看或配方等其他方法易得函数值域。 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域） 1、求函数 ) 4 ( log221x x y - = 的值域。 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：) 0 ) ( ( 4 ) (2³ + - = x f x x x f 配方得： ) 4 , 0 ) ( 4 ) 2 ( ) (2（ 所以 Î + - - = x f x x f 由复合函数的单调性（同增异减）知： ) , 2 +¥ - Î y 。 当函数 f 在 ) , ( b a 上单调，譬如 f 在 ) , ( b a 上递增时，自然有函数 f 在 ) , ( b a 上的值域为) 0 ( ), 0 ( ( - + b f a f (其中 ) ( lim ) 0 ( ), ( lim ) 0 ( x f b f x f a fb x a x- +® ®= - = + ，当+&