场波教案-7平面电磁波1--44

1、第七章第七章 平面电磁波平面电磁波主主 要要 内内 容容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界上的垂直投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边上的垂直投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。界上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。 1. 波动方程波动方程2. 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波3. 导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波4. 电磁波的群速电磁波的群速5. 平面波的极化平面波的极化6. 均匀平面波垂直投射到两种媒质均匀平面波垂直投射到两种媒质 分界面分界面7. 平面波垂直投射多

2、层媒质中平面波垂直投射多层媒质中8. 任意方向传播的平面波任意方向传播的平面波9. 平面波斜投射到两种理想介质分界面平面波斜投射到两种理想介质分界面10. 无反射与全反射无反射与全反射11. 平面波斜投射到两种导电媒质分界面平面波斜投射到两种导电媒质分界面12. 平面波斜投射到理想导电表面平面波斜投射到理想导电表面13. 等离子体中的平面波等离子体中的平面波14. 铁氧体中的平面波铁氧体中的平面波1. 1. 波动方程波动方程 已知在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电已知在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场满足下列方程磁场满足下列方程 ),(),(),( ),(1),(),(),

3、(222222ttttttttttrJrHrHrrJrErE上式称为上式称为非齐次波动方程非齐次波动方程。 若所讨论的区域中没有外源，即若所讨论的区域中没有外源，即 J = 0 ， = 0，则上，则上述波动方程变为述波动方程变为 0),(),( 0),(),(222222ttttttrHrHrErE此方程称为此方程称为齐次波动方程齐次波动方程。对于研究平面波的传播特性，仅。对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。需求解齐次波动方程。 对正弦电磁场齐次波动方程变为对正弦电磁场齐次波动方程变为 0)()( 0)()(2222rHrHrErEkk此式称为此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程齐次矢量亥

4、姆霍兹方程，式中，式中 k 在直角坐标系中，电场强度在直角坐标系中，电场强度 E 及磁场强度及磁场强度 H 的各个分的各个分量分别满足下列方程：量分别满足下列方程： 0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxEkEEkEEkE0)()(0)()( 0)()(222222rrrrrrzzyyxxHkHHkHHkH这些方程称为这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程齐次标量亥姆霍兹方程。在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。有关，则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。

5、 例如，若场量仅与例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明变量有关，则可证明 ，因为若场量与变量因为若场量与变量 x 及及 y 无关，则无关，则0zzHEzHzHyHxHzEzEyExEzzyxzzyxHE因因 ，由上两式得由上两式得0, 0H E0zHzEzz代入波动方程，即得代入波动方程，即得 z 坐标分量坐标分量 。 0zzHE1.1.等相位面：等相位面： 在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。等相位面。 等相位面又称为波阵面。等相位面又称为波阵面。2.球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。球面波：等相位面是球面的电磁波称为

6、球面波。3 3.平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。2.1、平面电磁波的概念平面电磁波的概念2. 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波 电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播电磁波：变化的电磁场脱离场源后在空间的传播。 x方向传播的一组均匀平面波方向传播的一组均匀平面波平面电磁波的波阵面为相互平行、与平面电磁波的波阵面为相互平行、与波的传播方向垂直的一组平面波的传播方向垂直的一组平面均匀平面电磁波：同一波阵面上均匀平面电磁波：同一波阵面上E、H 处处相等的电磁波处处相等的电磁波若电磁波沿若电磁波沿x 轴方向传播轴方向传播,则则

7、H=H(x,t),E=E(x,t)相位相位振幅振幅方向方向2.2、 理想介质中正弦均匀平面波电场强度的通解理想介质中正弦均匀平面波电场强度的通解 正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程正弦电磁场在无外源的理想介质中满足下列方程0)()( 0)()(2222rHrHrErEkk 若电场强度若电场强度E 仅与坐标变量仅与坐标变量 z 有关，则不可能存在有关，则不可能存在 z 分量。分量。 令电场强度方向为令电场强度方向为 x方向，即方向，即 ，因，因xExeE 0yExExx0dd222xxEkzE得得0dzd222yyHkH同理同理此为正弦均匀平面波满足的方程。此为正弦均匀平面波满足的方程。

8、上述方程上述方程通解通解为为kzxkzxxEEEjjee00仅考虑向正仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即轴方向传播的波，即 kzxxEzEje0)(式中式中 为为 z = 0 处电场强度的复振幅。处电场强度的复振幅。 Ex(z) 对应的瞬对应的瞬时值为时值为 0 xE)cos(),(10 xxxkztEtzE 式中式中 为初相位。为初相位。1x 电场强度随着时间电场强度随着时间 t 及空间及空间 z 的变化波形如图示。的变化波形如图示。Ez(z, t)zO223t1 = 0 上式中上式中 t 称为称为时间相位时间相位。kz 称为称为空间相位空间相位。空。空间相位相等的点组成的曲面称为间相位相等

9、的点组成的曲面称为波阵面波阵面。在某一时间在某一时间t,t,电场电场强度随着强度随着空间坐标空间坐标 z 作作周期变化周期变化。42Tt 23Tt 电磁波向正电磁波向正 z 方向传播。方向传播。)cos(),(10 xxxkztEtzE 在某一位置在某一位置z,z,电场电场强度随着强度随着时间时间 t作作周期变化。周期变化。2.32.3、均匀平面波的基本参数、均匀平面波的基本参数时间相位时间相位 t t 变化变化 2 2 所经历的时间称为所经历的时间称为周期周期( T )( T )。2 T空间相位空间相位 kz kz 变化变化 2 2 所经过的距离称为所经过的距离称为波长波长( ( ) ) 。

10、2k频率描述电磁波的相位随时间的变化特性频率描述电磁波的相位随时间的变化特性。k 表示单位长度内的相位变化，因此称为表示单位长度内的相位变化，因此称为相位常数。相位常数。k 又称为又称为波数波数，还可称为空间频率。，还可称为空间频率。波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。波长描述电磁波的相位随空间的变化特性。一秒内相位变化一秒内相位变化 2 2 的次数称为的次数称为频率频率( f )( f )。fT12k22k2k 根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这种相位速度以化速度，这种相位速度以 vp 表示。令表示。令 常数，常数，得得

11、，则相位速度，则相位速度 vp 为为 kzt 0dd zktktzvddp由由k1pkv相位速度相位速度又简称为又简称为相速。相速。电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表能量传播速度能量传播速度。ccrrrr0011fv p由上述关系可得由上述关系可得平面波的平面波的相速、波长相速、波长与媒质特性有关。与媒质特性有关。rr0rr00p1ffv式中式中0001f0 是频率为是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。由上式可的平面波在真空中传播时的波长。由上式可见见 ， ，即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这种，即平面波在媒质的波长

12、小于真空中波长。这种现象称为现象称为波长缩短效应波长缩短效应，或简称为，或简称为缩波效应缩波效应。0给定电场强度后，根据麦克斯韦方程中的电磁感应定律，给定电场强度后，根据麦克斯韦方程中的电磁感应定律，磁场强度磁场强度 H 为为 EjHzEHxyj2.32.3、磁场强度的通解、磁场强度的通解kzxxEzEje0)(将将 代入，得代入，得kzxyEHje0其瞬时表达式为：其瞬时表达式为：)cos(),(10 xxykztEtzH 在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同相位相同，且，且两者空间相位均与变量两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变

13、。有关，但振幅不会改变。电场强度与磁场强度幅值之比称为电磁波的电场强度与磁场强度幅值之比称为电磁波的波阻抗波阻抗，以，以 Z 表示，即表示，即Z真空中波阻抗真空中波阻抗 Z0)(377120000Z 均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式表示为量形式表示为 xzyZEeH1zyxZeHE或或ExHyz左图表示电场及磁场随空间的左图表示电场及磁场随空间的变化情况。变化情况。HyExz2.42.4、理想介质中的传播特性、理想介质中的传播特性)cos(),(10 xxxkztEtzE )cos(),(10 xxykztZEtzH 即对于

14、传播方向而言，电场及磁场仅具有即对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向横向分量，因此这分量，因此这种电磁波称为种电磁波称为横电磁波横电磁波，或称为，或称为TEM波波。以后我们将会遇。以后我们将会遇到在传播方向上具有电场或磁场分量的到在传播方向上具有电场或磁场分量的非非TEM波波。横向：与波的传播方向相垂直的方向横向：与波的传播方向相垂直的方向。波的传播方向即为能量的传输方向，由能流密度矢波的传播方向即为能量的传输方向，由能流密度矢量的表达式：量的表达式：纵向：与波的传播方向平行的方向。纵向：与波的传播方向平行的方向。例：波向例：波向ez方向传播，那么其横向即方向传播，那么其横向即ex 、 ey

15、方向。方向。HESS S为为ez方向，方向，E E为为ex 、 H H为为ey三者的方向符合右手定则。三者的方向符合右手定则。根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc ZExzyx220*eHESc此时复能流密度矢量为此时复能流密度矢量为实数实数，其虚部为零。这就表明，电，其虚部为零。这就表明，电磁波能量仅向正磁波能量仅向正 z 方向单向流动，空间不存在来回流动的方向单向流动，空间不存在来回流动的交换能量。交换能量。电磁波能量传输过程中，电场能量密度与磁场电磁波能量传输过程中，电场能量密度与磁场能量密度相能量密度相等等。若沿能流方向取出

16、长度为若沿能流方向取出长度为 l ，截面为，截面为 A 的圆柱体，的圆柱体，如图示。如图示。 lSA 设圆柱体平均能量密度为设圆柱体平均能量密度为 wav ，能流密度的平均值为能流密度的平均值为Sav ，则柱体中，则柱体中总平均储能为（总平均储能为（ wav A l ），穿过端），穿过端面面 A 的总能量为（的总能量为（ Sav A ）。若圆柱）。若圆柱体中全部储能在体中全部储能在 t 时间内全部穿过端时间内全部穿过端面面 A ，则，则tlAwtlAwASavavav式中式中 比值显然代表单位时间内的能量位移，该比值称为比值显然代表单位时间内的能量位移，该比值称为能能量速度量速度，以，以 ve

17、 表示。表示。tlavavewSv 已知已知 ， ，代入上式得代入上式得 ZESx20av20eavav2xEwwpe1vv在理想介质中在理想介质中，平面波的能量速度等于相位速度平面波的能量速度等于相位速度。 当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，则可以仅限于局部区域，则可以近似近似作为均匀平面波作为均匀平面波。利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和。面波之和。例例 已知真空中均匀平面波电场强度的瞬时值为已知真空中均匀平面波电场强度的瞬时值为 )V/m( )2106cos

18、(220) ,(8zttzxeE试求：试求： 频率及波长；频率及波长； 电场强度及磁场强度的复电场强度及磁场强度的复矢量表示式；矢量表示式； 复能流密度矢量；复能流密度矢量； 相速。相速。 解解 频率频率 (Hz) 1032106288f(m) 1222k波长波长V/m e20)(2jzzxeE 电场强度电场强度A/m e611)(2j0zyzZzeEeH磁场强度磁场强度2*cW/m 310zeHES 复能流密度复能流密度m/s p8103kv 相速相速3. 导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波 当媒质具有一定电导率当媒质具有一定电导率 时，则在无源区域中时，则在无源区域中EEEH)j

19、(jj若令若令 jcEjHc则上式可写为则上式可写为 式中式中 c 称为称为等效介电常数等效介电常数。导电媒质中正弦电磁场应满足齐次矢量亥姆霍兹方程导电媒质中正弦电磁场应满足齐次矢量亥姆霍兹方程 HHEEcc002222)(jcck若令若令zkxxcEEje0kc 为复数，令为复数，令 kkjk jc)rad/m( 1122k)Np/m( 1122 k 0 0e22e22HHEE 0 02c22c2HHEEkk 若仍然令若仍然令 ，且，且 ，则只要，则只要以以 kc 代替代替 k 即可求得其解为即可求得其解为 xxE eE 0yExExxzkzkxzkxxEEE j0j0eeec电场强度可表示

20、为电场强度可表示为相速为相速为11212pkvk 称为称为相位常数相位常数，单位为，单位为rad/m；k 称为称为衰减常数衰减常数，单位为，单位为Np/m，kc 称为称为传播常数传播常数。 平面波在导电媒质中传播时，其相速不仅与媒质参数有关，平面波在导电媒质中传播时，其相速不仅与媒质参数有关，而且还与频率有关。而且还与频率有关。导电媒质中的相速导电媒质中的相速11212pkv各个频率分量的电磁波以不同的相速传播，经过一段距离传各个频率分量的电磁波以不同的相速传播，经过一段距离传播后，电磁波中各个频率分量之间的相位关系必然发生改变，播后，电磁波中各个频率分量之间的相位关系必然发生改变，导致信号失

21、真，这种现象称为导致信号失真，这种现象称为色散色散。所以导电媒质又称为。所以导电媒质又称为色色散媒质散媒质。 导电媒质中平面波导电媒质中平面波的波长为的波长为 112222k导电媒质中的波阻抗导电媒质中的波阻抗 Zc cj1CZ复数复数jeZZccu复数波阻抗表明电场强度与磁场强度复数波阻抗表明电场强度与磁场强度不同相不同相。导电媒质中磁场强度为导电媒质中磁场强度为 zEHxyjxEkcxcEZ1zkzkxjCyEeZH jee01因为电场强度与磁场强度的相位不同，复能流密因为电场强度与磁场强度的相位不同，复能流密度的实部及虚部均不会为零，这就表明平面波在导度的实部及虚部均不会为零，这就表明平

22、面波在导电介质中传播时，既有单向流动的传播能量，又有电介质中传播时，既有单向流动的传播能量，又有来回流动的交换能量。来回流动的交换能量。 HyExOz下面分别讨论两种特殊情况下面分别讨论两种特殊情况。 第一第一，若，若 ，如具有低电导率的介质或非理想介质，如具有低电导率的介质或非理想介质可以近似认为可以近似认为222111 k2 k cZ电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减，电导率电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减，电导率 愈大，则振幅衰减愈大。愈大，则振幅衰减愈大。 第二第二，若，若 ，如良导体，可以近似认为，如良导体，可以近似认为 21 2fkk fZ) j1 (jc那么

23、那么u电场强度与磁场强度不同相，且因电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，两者振幅发生较大，两者振幅发生急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，仅可存在急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，仅可存在其表面附近，这种现象称为其表面附近，这种现象称为集肤效应集肤效应。 为了描述平面波在良导体中的衰减程度，通常把场强振为了描述平面波在良导体中的衰减程度，通常把场强振幅衰减到表面处振幅幅衰减到表面处振幅 的深度称为的深度称为透入深度透入深度，以，以 表示，则表示，则由由e11ee kfk11 透入深度透入深度与频率与频率 f 及电导率及电导率 成反比。成反比。下表给出了三种频率时下表给出了三种频

24、率时铜铜的透入深度。的透入深度。4103f /MHz0.051 /mm29.80.0660.00038具有一定厚度的金属板即可具有一定厚度的金属板即可屏蔽屏蔽高频时变电磁场。高频时变电磁场。对应于比值对应于比值 的频率称为的频率称为界限界限频率频率，它是划分媒质属于低耗介质，它是划分媒质属于低耗介质或导体的界限或导体的界限。1310154101116109 .1616104 .104媒媒 质质频频 率率 （MHz）干干 土土2.6 （短波短波）湿湿 土土6.0 （短波短波）淡淡 水水0.22 （中波中波）海海 水水 890 （超短波超短波）硅硅 （微波微波） 锗锗 （微波微波）铂铂 （光波光波

25、）铜铜 （光波光波）几种媒质的界限频率几种媒质的界限频率当平面波在导电媒质中传播时，其传当平面波在导电媒质中传播时，其传播特性与比值播特性与比值 有关有关。 这些数据说明：一般厚度的金属外壳在无线电频段有很好的这些数据说明：一般厚度的金属外壳在无线电频段有很好的屏蔽作用，如中频变压器铝罩、晶体管的金属外壳等都很好地起屏蔽作用，如中频变压器铝罩、晶体管的金属外壳等都很好地起屏蔽作用，但对低频无工程意义。低频时可采用铁磁性导体（如屏蔽作用，但对低频无工程意义。低频时可采用铁磁性导体（如铁铁 S/mS/m， ， ）进行屏蔽。）进行屏蔽。710410r1r 集肤效应在工程上有重要应用，如用于表面热处理

26、：用高频集肤效应在工程上有重要应用，如用于表面热处理：用高频强电流通过一块金属，由于趋肤效应，它的表面首先被加热，强电流通过一块金属，由于趋肤效应，它的表面首先被加热，迅速达到淬火的温度，而内部温度较低，这时立即淬火使之冷迅速达到淬火的温度，而内部温度较低，这时立即淬火使之冷却，表面就会变得很硬，而内部仍保持原有的韧性。却，表面就会变得很硬，而内部仍保持原有的韧性。 电导率电导率 引起引起热热损耗，所以损耗，所以导电介质导电介质又称为又称为有耗有耗介质介质，而，而理想介质理想介质又称为又称为无耗介质无耗介质。 jc jc 复介电常数和磁导率的复介电常数和磁导率的虚部代表损耗虚部代表损耗，分别称

27、为，分别称为极化损耗极化损耗和和磁化损耗磁化损耗。对于非铁磁性物质可以不计磁化损耗；对于微。对于非铁磁性物质可以不计磁化损耗；对于微波波段以下的电磁波，媒质的极化损耗也可不计。波波段以下的电磁波，媒质的极化损耗也可不计。解解 10 Hz10576f1180801036110497良导体良导体rad/m 89. 8fkNp/m 89. 8 fk求得求得 例例 已知向正已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz ， 处电场强度为处电场强度为 x方向，其有效值为方向，其有效值为100V/m。若若 区域为海水，其电磁特性参数为区域为海水，其电磁特性参数为试求试求

28、: 该平面波在海水中的该平面波在海水中的 。 在在 处的处的 。 S/m 4 , 1 ,80rrp, , ,k k vZc( , ),( , ),ttE rH rS0z 0z 0.8mz (m) 707. 02k波长为波长为 )( e) j1 (2) j1 (4jcfZ波阻抗波阻抗 Zc 为为 (m/s) 1053. 36pkv相 速 为相 速 为 (m)112. 01f集肤深度集肤深度 为为(V/m) ee100)(j zkzkxz eE 海水中电场强度的复振幅为海水中电场强度的复振幅为)(1)(czZzzEeH(A/m) ee100jczkzkyZ e磁场强度复振幅为磁场强度复振幅为在在

29、z = 0.8m 处，电场强度及磁场强度的瞬时值为处，电场强度及磁场强度的瞬时值为)8 . 089. 8710cos(8 . 089. 82100), 8 . 0(txtee E)11. 710sin(115. 07xte)411. 7710cos(115. 0), 8 . 0(tyte H)70. 7710cos(0366. 0tye复能流密度为复能流密度为 )(W/m e106644e10024j62*c2*czzzkZeeHES 4. 电磁波的群速电磁波的群速 电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，因此，相速无法描述含

30、有多种频率分量的电磁速进行传播，因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速度。本节介绍的波在色散媒质中的传播速度。本节介绍的群速群速，可以用来描，可以用来描述述窄带信号窄带信号在色散媒质中的传播特性。在色散媒质中的传播特性。 设设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率非常接近的频向传播的电磁波信号仅具有两个频率非常接近的频率分量如下：率分量如下： )cos(),()cos(),(22021101zktAtzAzktAtzA其合成信号为其合成信号为21AAA)cos()cos(2000zktkztA式中式中)(21)(211210)(21)(2110210kkkkkk 由于由于 ， ，因而在一个足够小的时间间，因而在一个足够小的时间间隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个余弦项已经历了几个周期的变化，所以余弦项已经历了几个周期的变化，所以 代表载频，代表载频， 代表代表调制频率。调制频率。210021AAA)cos()cos(2000zktkztA 由上式可见，该载波是一个正弦波，其振幅也