甘肃省2021年中考数学总复习第四单元图形初步与三角形第15讲全等三角形课件

1、第1515讲全等三角形考点一考点二考点三考点一考点一全等三角形的概念和性质全等三角形的概念和性质1.全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等;(2)全等三角形周长相等,面积相等;(3)全等三角形对应的中线、高、角平分线都相等.考点一考点二考点三考点二考点二全等三角形的判定全等三角形的判定 考点一考点二考点三考点一考点二考点三考点三考点三角平分线的性质及判定角平分线的性质及判定1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.3.三

2、角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.考法1考法2考法3选用适宜的方法判定三角形全等选用适宜的方法判定三角形全等全等三角形的五种判定方法全等三角形的五种判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)中中,选用哪选用哪一种方法一种方法,取决于题目中的条件取决于题目中的条件,假设两边对应相等假设两边对应相等,那么找它们的那么找它们的夹角或第三边夹角或第三边;假设两角对应相等假设两角对应相等,那么必须再找一组对边对应相那么必须再找一组对边对应相等等,并且得是两角的夹边并且得是两角的夹边;假设一边一角假设一边一角,那么找另一组角那么找另一组角,或找这个或找

3、这个角的另一组对应邻边角的另一组对应邻边.考法1考法2考法3例1(2021湖南郴州)在ABC中,ABC=ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.证明ABC=ACB,AB=AC.点D,E分别是AB,AC的中点,AD=AE.ABE ACD,BE=CD.方法点拨证明三角形全等有五种方法SSS,SAS,ASA,AAS, HL,它们各自独立,解题时应注意选择适宜的方法.当然,在解决一个问题时,有时会用到一种或多种三角形全等的判定方法.考法1考法2考法3综合运用全等三角形的判定与性质综合运用全等三角形的判定与性质全等三角形的性质有全等三角形的性质有“对应边相等对应边相等,对应角相等对应

4、角相等,全等三角形的全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判在判定三角形全等时定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件关键是选择恰当的判定条件.在应用全等三角形在应用全等三角形的判定时的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅必要时添加适当辅助线构造三角形助线构造三角形.考法1考法2考法3例2(2021贵州黔东南)如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,ACDF,请你添加一个适当的条件,使得ABC DEF.答案A=D(答案不唯一)解析添加A=D.理由如下:FB

5、=CE,BC=EF.又ACDF,ACB=DFE.ABC DEF(AAS). 考法1考法2考法3角平分线的判定和性质角平分线的判定和性质判定角平分线除了利用角平分线的定义以外,还有判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上.角平分线具有性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;角平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等.考法1考法2考法3例3(2021湖南怀化)如图,OP为AOB的角平分线,PCOA, PDOB,垂足分别是C,D,那么以下结论错误的选项是()A.PC=PDB.CPD=DOPC.CPO=DPO D.OC=OD答案B解

6、析OP为AOB的角平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是C,D,PC=PD,故A正确;OCP ODP,CPO=DPO,OC=OD,故C,D正确;不能得出CPD=DOP,故B错误.应选B.考法1考法2考法3方法点拨涉及角平分线的问题,应尽量直接应用定理,防止证明两个三角形全等,从而简化解题的过程.1.(2021甘肃天水甘肃天水)(1)如图如图1,ABC,以以AB,AC为边分别向为边分别向ABC外外作等边三角形作等边三角形ABD和等边和等边ACE,连接连接BE,CD,请你完成图形请你完成图形(尺规尺规作图作图,不写作法不写作法,保存作图痕迹保存作图痕迹),并证明并证明:BE=CD;(2)如图如图2

7、,ABC,以以AB,AC为边分别向外作正方形为边分别向外作正方形ABFD和正方形和正方形ACGE,连接连接BE,CD,猜测猜测BE与与CD有什么数量关系有什么数量关系?并说明理由并说明理由;(3)运用运用(1),(2)解答中所积累的经历和知识解答中所积累的经历和知识,完成下题完成下题:如图如图(3),要测量池塘两岸相对的两点要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离的距离,已经测得已经测得ABC=45,CAE=90,AB=BC=100米米,AC=AE,求求BE的长的长(结结果保存根号果保存根号).(1)证明:如图1,ABD和ACE都是等边三角形,AD=AB,AC=AE,DAB=EAC=60,DAC=

8、BAE,DAC BAE,BE=CD.(2)解:BE=CD.理由如下,如图2,在正方形ABFD和正方形ACGE中,DAB=EAC=90,DAB+BAC=EAC+BAC,即DAC=BAE,DAC BAE,BE=CD.(3)解:由(1)(2)的解题经历可知:过点A向ABC外作等腰直角三角形ABD,使DAB=90,AD=AB=100米,ABD=45,如图3,连接CD,那么由(2)可得:BE=CD,ABC=45,DBC=90,2.(2021甘肃张掖甘肃张掖)如图如图,矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=4,过对角线过对角线BD中中点点O的直线分别交的直线分别交AB,CD边于点边于点E,F.(1)求证求

9、证:四边形四边形BEDF是平行四边形是平行四边形;(2)当四边形当四边形BEDF是菱形时是菱形时,求求EF的长的长.(1)证明:四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,A=90,AD=BC=4,ABDC,OB=OD,OBE=ODF,BOE DOF(ASA),EO=FO,四边形BEDF是平行四边形.(2)解:当四边形BEDF是菱形时,BDEF,设BE=x,那么DE=x,AE=6-x,在RtADE中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,3.(2021甘肃天水甘肃天水)ABC和和DEF是两个全等的等腰直角三角是两个全等的等腰直角三角形形,BAC=EDF=90,DEF的顶点的顶点E与与ABC的斜边的斜边BC的中的中点重合点重合,将将DEF绕点绕点E旋转旋转,旋转过程中旋转过程中,线段线段DE与线段与线段AB相交于相交于点点P,线段线段EF与射线与射线CA相交于点相交于点Q.(1)如图如图,当点当点Q在线段在线段AC上上,且且AP=AQ时时,求证求证:BPE CQE;(2)如图如图,当点当点Q在线段在线段CA的延长线上时的延长线上时,求证求证:BPECEQ;并求当并求当BP=2,CQ=9时时,BC的长的长.(1)证明:ABC是等腰直角三角形,B=C=4