2012年北京市西城区高三一模理科数学含答案纯word版

1、(C)cb： ：a(D)b：c：a北京市西城区 2012 年高三一模试卷一、选择题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分. .在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. .11 1 已知全集U二 R R，集合A二x|1，则euA=()x(A A)(0,1)(B B)(0,1(c)(：,0U(1,=)若a = log23,b = log32,c = log46，则下列结论正确的是(数 学(理科)第I卷(选择题共 4040 分)2012.42012.4执行如图所示若输入x = 2，则输出y的值为()(A)(B(B)(C(C)11(D)23若实数x,y满足条件x y _ 0

2、,I I y yx-y+30,则2x-y的最大值为(0兰x兰3,(A)9(B(B)3(C)0(D)- 3已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12, 3cm3其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是(A) 413cm2(B)23 cm2(C(C)8cm24 cm244已知函数f (x) =sinx-cosx的最小正周期是n,那么正数(A)2(B(B) 1 1(C(C)(D)(D)(C)cb： ：a(D)b：c：a(A)ba :：c(B)ab：c37 7.设等比数列an的各项均为正数，公比为q，前n项和为S.若对-n N*，有S?.：3&,则q的取值范围是（）(A)(0,1(B

3、)(0, 2)(C) 1,2)(D) (0.2)23&已知集合A二x|x二a。a!3 a?3a?3 ，其中a 0,1,2 (0,1,2,3)，且a3=0. .则A（A A）3240（ B B）3120（ C C）2997第n卷（非选择题共 110110 分）二、填空题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分. .9.9.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间将测试结果分成5组：13,14）,14,15）,15,16）,16,17）,17,18，得到如图所示的频率分布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在16,1

4、8的学生人数是 _(D)28891010.（x11.11.如图，AC为OO的直径，OB_AC，弦BN交AC于点M若OC=厲,OM =1，则MN =_12.12.在极坐标系中，极点到直线| :Psin（0 +n）= J2的距离是41313. . 1x0兰x兰c已知函数f (x)其中c 0那么f (x)的零点是2lx +x, 2兰xcO,;若f (x)的1值域是才，则c的取值范围是_14.14.运在直角坐标系xOy中，动点A,B分别在射线y二x (x - 0)和y=-.3x (x - 0)上3动，且OAB的面积为1则点A,B的横坐标之积为 _ ; OAB周长的最小值三、解答题共 6 6 小题，共

5、8080 分. .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.15.(本小题满分 1313 分)在厶ABC中，已知sin( A B)二sin B sin( A - B).(I)求角A;16.16.(本小题满分 1313 分)乒乓球单打比赛在甲、 乙两名运动员间进行， 比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜, 比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同(I)求甲以4比1获胜的概率；(n)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；(川)求比赛局数的分布列. .1717.(本小题满分 1414 分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DAB DBF =60，且FA二FC.(I)求证：AC_平面B

6、DEF;(川)求二面角A - FC - B的余弦值.18.18.(本小题满分 1313 分)已知函数f(xeax(aa 1)，其中a _ -1. .x(I)当a=1时，求曲线y二f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)求f (x)的单调区间19.19.(本小题满分 1414 分)2 2已知椭圆C :2 7 -1 (a b 0)的离心率为a b点是B1,B2，且MB1 MB2. .(I)求椭圆C的方程;(n)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点. .试问x轴上是否存在定(n)若|BC| = 7,AB AC =20，求|7B AC |.(n)求证：FC/平面EAD;，定点MC使PM

7、平分.APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由20.20.(本小题满分 1313 分)对于数列An :a1,a2j|,an(a N,i =1,2川|,n)，定义“T变换” :T将数列An变换 成数列Bn：b1,b2j11,bn，其中bia _ ai 11 (i=1,2,1H,n _ 1)，且bn=丨an -ai，这种 “T变 换”记作Bn二T(An). .继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列C.,，依此类推，当得 到的数列各项均为0时变换结束.(I)试问A3：4,2,8和A4：1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写 出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由

8、；()求A3:a1,a2,a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；(川)证明：A :a1,a2,a3,a4定能经过有限次“T变换”后结束.北京市西城区 2012 年高三一模试卷数学(理科)参考答案及评分标准2012.42012.4一、选择题:本大题共8 8 小题，每小题5 5 分，共 4040 分. .1.1. C C；2.2. D D；3.3. A A；4.4. A A；5.5. B B；6.6. D D；7.7. A A；8.8. D D二、填空题:本大题共6 6 小题，每小题5 5 分，共 3030 分. .9.9.54；10.10.-160；11.11.1；12.12. -2-2

9、 ；13.13.-1和0,(0,4；1414.二,2(12-.2).注：1313 题、 1414 题第一 问 2 2 分，第二问 3 3 分. .三、解答题:本大题共6 6 小题，共 8080 分. .15.15.(本小题满分 1313 分)(I)解：原式可化为sin B = si n(A B) - si n( A - B) = 2cos As in B3 3 分因为B(0,n,所以sinB0,1所以cosA2.5 5 分因为A (0,n,n所以A=-.3解：由余弦定理，得IBC|2=IAB|2- I AC I2-2I ABIIAC因为|BC| = 7,ABAC=|AB II AC I cos

10、 20,所以IABI2- |AC|2=891010 分因为| AB1 1222= 129,1212 分所以AB AC ,129.1313 分16.16.(本小题满分 1313 分)解: 由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是“甲以4比1获胜”为事件A，1314 _31P(A)r)(2)2cos A .丄 .2 .4 4分(n)解:记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B. .31315_31因为， 乙以4比2获胜的概率为P=C5()()一2 2 23211 1乙以4比3获胜的概率为P2二C6()3()6”2 25所以P(B) =R +P2= 16(出) 解：设比赛的局数为X，则X的

11、可能取值为P(X=4) =2C：(2)4冷,2 8P(X=5F24中讨(4晋-1010 分324,5,6,731315 215P(X吋屮号卞1313 分BDEF为菱形，且DBF =60，所以DBF为等边三角形.因为0为BD中点，所以F0 _ BD，故F0_平面ABCD由0A,0B,0F两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系0 xyz.9 9 分设AB =2因为四边形ABCD为菱形，DAB =60，贝U BD=2，所以OB=1,OA PF所以0(0,0,0), AC，3,0,0), B(0,1,0),C(- . 3,0,0), F (0,03)1111 分P(X二7)=2 161212 分比赛局

12、数的分布列为:161617.17.(本小题满分1414 分)(I)证明：设AC与BD相交于点0,连结F0因为 四边形ABCD为菱形，所以AC _ BD,且0为AC中点.又FA =FC，所以AC _ F0.因为F0 BD =0,所以AC_平面BDEF(n)证明:因为四边形ABCD与BDEF均为菱形,所以AD/BC,DE/BF,FBC/ / /EAD又FC二平面FBC,FC/ / /EAD(川)解：因为四边形(0,所以CF =(.3,0, ,3),CB =C.3,1,0).In，CF =0,设平面BFC的法向量为n = (x,y,z)，则有j n CB = 0.所以 产x +心0,取X= 1，得n

13、= (1,J3,1). 需x + y =0.1212 分易知平面AFC的法向量为v= (0,1,0).1313 分所以二面角A - FC - B的余弦值为.51414 分18.18.(本小题满分 1313 分)x1x1 1(I)解：当a = 1时，f (x)二ex( 2),f (x)二ex( 2- 飞).xx x2 2 分由于f(1)=3e,f (1) = 2e,所以曲线y二f(x)在点(1,f (1)处的切线方程是2ex-y，e = 0 .当a - -1时，令f (x) =0，解得x - -1.f (x)的单调递减区间为(：，-1);单调递增区间为(-1,0),(0, 7). . 8分1当a

14、 = -1时，令f (x) = 0,解得x = -1，或x =a + 11当- 1：a；：0时，f (x)的单调递减区间为(-：，-1),( ,=)；单调递增区a + 1由二面角A-FC -B是锐角，得(n)解:分f (x)ax二(x 1)(a 1)x-12xcos n, v155(0,1010 分当a= 0时，f (x)为常值函数，不存在单调区间.依题意MB1B2是等腰直角三角形,= =1.1.942 2(4m9) y 16my -20 = 0. .kPA kPB- 0. .捲一aX2 aX2= my2 2代入上式,整理得2叽2(2 aXY1泌=01111 分当a 0时,f (x)的单调递减

15、区间为J。)，(占单调递增区间为1(,：)-a 11313 分19.19.(本小题满分1414 分)a2-b2彳1b2(n)解：设A(X1,yJ,B(x2,y2)，直线AB的方程为x = my 2. .将直线消AB的方程与椭圆C的方程联立,一16m所以y1y4m2-2024m 9若PF平分APB,所则直线PA,PB的倾斜角互补,设P(a,0)，则有亠亠=0.=0.(myr+2_a)(my2+2_a)所以2m% y2(2-a)(% y2)=0. .整理得（_2a 9） m = 0. .1313 分9由于上式对任意实数m都成立，所以a. .2综上，存在定点P(|,0)，使PM平分.APB. .14

16、14 分20.20.(本小题满分 1313 分)(I)解：数列A3：4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0, 2；2,2,0；0,2,2；2,0, 2;从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形.2 2 分数列A4：1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8;1,5,1,5;4,4,4,4;0,0,0,03 3 分(n)解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a a a3 .4 4 分若aa2= a3，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0，从而结束. .5 5 分当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(As)为常数列，则A为

17、常数列”.当a1 a?-a3时，数列T(A3):- a?, a?- a3, a1- a3.由数列T (A3)为常数列得a1- a2= a2- a3= a1- a3,解得a1 = a =a3,从而数列A也为常数列.其它情形同理，得证.在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0,0,0( (常数列) )，由以上命题,它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数歹 U.U. 8 8 分1212 分将yiy2 =-16m24m 9yy =2代入上式,4m 9所以，数列A经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是印=a2二a3.(川)证明：先证明引理：“数列T(An)的最大项一定不大于数列A

18、的最大项，其中n_3”.证明：记数列A中最大项为max( An)，则0乞a max(An).令Bn=T(An),bi=ap_aq，其中ap_aq.因为aq 0, 所以 0 乞ap乞max(An),故max(Bn) _max(Aj,证毕.9 9 分现将数列A分为两类.第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻)，此时由引理可知,max(B4) _ max( A4)-1.第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max( B4) = max( A4).下面证明第二类数列A经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列.不妨令数列A的第一项为0，第二项a最大( (a 0) ).(其它情形同理) 当数列A4中只有一项为0时，若A4：0,a,b,c( (a b,a c,bc=0) ),则T (A4): a a b,|b c|,c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若At: 0,a, a,b (a b, b式0),